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2.1曲线和方程曲线和方程为什么为什么?(1)第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是第一、三象限里两轴间夹角平分线的方程是 x-y=0.点的横坐标与纵坐标相等点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）第一、三象限角平分线第一、三象限角平分线l含有关系含有关系：lx-y=0 xy0（1）l上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x-y=0的解的解（2）以方程以方程x-y=0的解为坐标的点都在的解为坐标的点都在 上上l曲线曲线条件条件方程方程曲线和方程之间有什么对应关系呢曲线和方程之间有什么对应关系呢？一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:v(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解;v(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.v那么,这个方程f(x,y)=0叫做v这条曲线C的方程;v这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线.定义定义:说明说明:1.:1.曲线的方程曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形反映的是数量关系所表示的图形.f(x,y)=00 xy 曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应曲线上所有点的集合与此曲线的方程的解集能够一一对应例例1判断下列结论的正误并说明理由判断下列结论的正误并说明理由 (1)过点过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线轴的直线的方程为的方程为x=3;(2)到到 x 轴距离为轴距离为 2 的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为 y=2;(3)到两坐标轴距离乘积等于到两坐标轴距离乘积等于k的点的的点的轨迹方程为轨迹方程为xy=k.对对错错错错0k例例2 2 证明以坐标原点为圆心，半证明以坐标原点为圆心，半径径等于等于5 5的圆的方的圆的方程是程是x2 2+y2 2=25.=25.证明：证明：(1)(1)设设M(M(x0 0,y0 0)是圆上任意一点是圆上任意一点.因为点因为点MM到坐标原点的距到坐标原点的距离等于离等于5 5，所以，所以 也就是也就是x0 02 2+yo o2 2=25=25.即即 (x0 0,y0 0)是方程是方程x2 2+y2 2=25=25的解的解.22005,xy(2)2)设设 (x(x0 0,y,y0 0)是方程是方程x2 2+y2 2=25=25的解的解，那么，那么x0 02 2+y0 02 2=25=25 两边开方取算术根，得两边开方取算术根，得 即点即点M(M(x0 0,y0 0)到坐标原点的距离等于到坐标原点的距离等于5 5，点点M(M(x0 0,y0 0)是这个是这个圆上的一点圆上的一点.,52020 yx 由由(1)、(2)可知，可知，x x2 2+y+y2 2=25,=25,是以坐标原点为圆是以坐标原点为圆心，半径等于心，半径等于5的圆的方程的圆的方程.第一步，设第一步，设M(M(x0 0,y0 0)是曲线是曲线C C上任一点，证上任一点，证明明(x0 0,y0 0)是是f(x,y)=0)=0的解；的解；证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设第二步，设(x0 0,y0 0)是是f(x,y)=0)=0的解，证明的解，证明点点M(M(x0 0,y0 0)在曲线在曲线C上上.小结小结课堂练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1)其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+=0;(3)曲线C是,象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y=。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221y 课堂练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？-=0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD课堂练习课堂练习3：设圆设圆M的方程为的方程为 ,直线直线 的方程为的方程为x+y-3=0,点点P的坐标为的坐标为(2,1)，那么（，那么（）2)2()3(22yxlA.点点P在直线上，但不在圆上在直线上，但不在圆上 B.点点P在圆上，但不在直线上；在圆上，但不在直线上；C.点点P既在圆上，也在直线上既在圆上，也在直线上 D.点点P既不在圆上，也不在直线上既不在圆上，也不在直线上C练习练习4、如果曲线、如果曲线C上的点坐标上的点坐标(x,y)都是方程都是方程F(x,y)=0的解，那的解，那么（么（）A、以方程、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线的解为坐标的点都在曲线C上。上。B、以方程、以方程F(x,y)=0的解为坐标的点，有些不在曲线上。的解为坐标的点，有些不在曲线上。C、不在曲线、不在曲线C上的点的坐标都不是方程上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解。的解。D、坐标不满足、坐标不满足F(x,y)=0的点不在曲线的点不在曲线C上。上。D我们的目标就是要找我们的目标就是要找x与与y的关系式的关系式先找曲线上的点满足的几何条件先找曲线上的点满足的几何条件2.定义法定义法1.直译法直译法3.代入法代入法等等等等小结小结:求曲线方程的方法求曲线方程的方法:一般情况下只需：一般情况下只需：建建，设，代（列），化并查漏除杂查漏除杂 即可lxy0(0,2)(,)x y直译法直译法直译法直译法xy0CBAM(,)x y注意：注意：“轨迹轨迹”、“方程方程”要区要区分：分：(2)若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量定形、定位、定量）。）。(1)求求轨迹方程轨迹方程，求得方程就可以了；，求得方程就可以了；例例4.4.已知定点已知定点A(6,0),A(6,0),曲线曲线C:xC:x2 2+y+y2 2=4=4上的动点上的动点B,B,点点MM满足满足 ,求点求点MM的轨迹的轨迹.xyA(6,0)A(6,0)OOB BMM12AMMB 代入法代入法(或相关点法或相关点法).练习练习1:点点A(3,0)为圆为圆x2+y2=1外一点外一点,P为圆上任意为圆上任意一点一点,若若AP的中点为的中点为M,当当P在圆上运动时在圆上运动时,求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.2231().24xy2:过点过点P(2,4)作两条互相垂直的直线作两条互相垂直的直线l1,l2,若若l1交交x轴于轴于A点点,l2交交y轴于轴于B点点,求线段求线段AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.x+2y-5=0变式变式1 1：已知等腰三角形底边的两个端点是：已知等腰三角形底边的两个端点是(-1,-1)、(3,7)，求第三个顶点求第三个顶点C的轨迹方的轨迹方程程ABC0 xyx+2y7=0，且不过点（，且不过点（1,3）注：求得的轨迹方程要与动点注：求得的轨迹方程要与动点的轨迹一一对应的轨迹一一对应,否则要否则要“多多退少补退少补”,多余的点要剔除多余的点要剔除(用用x,yx,y的取值范围来限制的取值范围来限制),),不足不足的点要补充的点要补充.f(x,y)=00 xy小结小结2.定义定义法法1.直译法直译法3.代入法代入法等等等等(3)求曲线方程的方法求曲线方程的方法:注意：注意：“轨迹轨迹”、“方程方程”要区要区分：分：(2)若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量定形、定位、定量）。）。(1)求求轨迹方程轨迹方程，求得方程就可以了；，求得方程就可以了；
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