五方阵的行列式

五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或 detA。2、运算律;).1TAA;).2AAnBAAB).3 我们仅证明3），设A=(aij),B=(bij)。记 2n 阶行列式11111111011nnnnnnnnaaaabbbb D=AOEB 显然，D=|A|B|,而在 D 中以 b1j 乘第 1 列，b2j 乘第 2 列 ，bnj 乘第 n 列,都加到第 n+j 列上（j=1,2,n),有D=1112111 1112 211111 112 212122221 1122 212121 122 22121 112 2111 12 21 00010nn nnnn nnnn nnnn nnnnnnnnnn nnnnnnn nnaaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba baaaa ba ba ba ba ba b 0001 0ACDE 其中 C=(cil),cij=ai1b1j+ai2b2j+ainbnj,故 C=AB。再对 D 的行作 rj rn+j（j=1,2,n），有0(1),nEDAC 从而有D=(1)n|E|C|=(1)n(1)n|C|=|C|=|AB|。于是|AB|=|A|B|例例6：设A,B 均为 n 阶方阵且,1,TTBAEBBEAA.0 BA则证BAABABBATTBABA)(TTBBAAT)(BAB2BA.0 BA故 例例7 设 A 是 n 阶反对称矩阵，B 是 n 阶对称矩阵，则 AB+BA 是 n 阶反对称矩阵。证证 (AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=BAAB=（AB+BA）所以，AB+BA 为 n 阶反对称矩阵。例例 8 设1213112,3 令 A=T,求 An 及|An|。解 11232332111121,2123331 An =(T)n=TTT T=3n-1A|An|=|3n-1A|=(3n-1)n|A|1123123321(3)2131nn =0六、共轭矩阵1、定义 定义7 设A=为复矩阵，表示 的共轭复数，记)(ijaija).(ijaAija则 称为A的共轭矩阵。A2.运算律 设 A、B 为复矩阵，为复数.;)1BABA.)3BAAB2)AA 七、可换矩阵及方阵多项式1、可换矩阵设 A、B 均为n阶方阵，若 AB=BA，则称是可换的可换的。例例 9 设12,.1132abAB 若矩阵 A与 B 可交换，求 a,b 的值。解解 由于 AB=BA，即1212113 23 211a ba b 6423524aabbabab 亦 即故 a=8,b=6。6423254abababab 即 例例10 设100020003A 求与 A 可交换的所有矩阵。123123123xxxXyyyzzz A 与可交换，即有解解 设1231231231231231231 0 01 0 00 2 00 2 00 0 30 0 3xxxxxxyyyyyyzzzzzz 于是123123123123123123232222333323xxxxxxyyyyyyzzzzzz 从而 x2=2x2 ,x3=3x3 ,2y1=y1,2y3=3y3,3z1=z1 ,3z2=2z2 ,即 x2=x3=y1=y3=z1=z2=0,所以，与可交换的任一矩阵是000000abc其中 a，b，c 为任意实数。2、方阵多项式 设有 n 阶矩阵 A 和多项式 f()=amm+am-1m-1+a1+a0规定 f(A)=am Am+am-1 Am-1+a1A+a0称 f(A)为方阵 A 的矩阵多项式矩阵多项式。例例11 设有多项式 f()=2 3+2和矩阵112011121A 求矩阵多项式 f(A)。解解 因为2112112011011121121A3363033363A 325112231 则f(A)=A2 3A+2E3253362 0 01120330 2 02313630 0 2 251121.130 练习：1.计算下列矩阵的乘积.;21312 )2(;123321 )1(.)3(321333231232221131211321xxxaaaaaaaaaxxx2.11410,1102 PAPP 设其中.A 求