虚位移原理及应用课件

12 虚位移原理虚位移原理应用功的概念应用功的概念分析系统的分析系统的平衡平衡问题问题，是研究，是研究静力学平衡问题静力学平衡问题的另一途径。的另一途径。概述概述 虚位移原理虚位移原理与与达朗贝尔原理达朗贝尔原理结合起来组成结合起来组成动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学题提供了另一种普遍的方法，构成了分析力学的基础。的基础。3第第1212章章 虚位移定理虚位移定理12.1 12.1 约束、自由度与广义坐标约束、自由度与广义坐标12.3 12.3 虚位移原理虚位移原理12.2 12.2 虚位移、虚功和理想约束虚位移、虚功和理想约束4表示这些限制条件的数学方程称为表示这些限制条件的数学方程称为约束方程约束方程。一、约束及其分类一、约束及其分类限制质点或质点系运动的各种条件称为限制质点或质点系运动的各种条件称为约束约束。约束方程：约束方程：222lyxxOyM(x,y)lA(xA,yA)B(xB,yB)Oxyrl222ryxAA)()(222lyyxxABAB0 By约束方程约束方程:5(1)(1)几何约束和运动约束几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。限制质点或质点系运动情况的运动学条件限制质点或质点系运动情况的运动学条件,称为运动约束称为运动约束。几何约束几何约束222lyxxOyM(x,y)l几何约束几何约束ryA0rvA0rxA或或运动约束运动约束CxyAvAr6(2)(2)定常约束和非定常约束定常约束和非定常约束xOyM(x,y)lv约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。设开始时摆长：设开始时摆长：l02022)(vtlyx222lyxxOyM(x,y)l7(3)(3)完整约束和非完整约束完整约束和非完整约束 如果约束方程中不含坐标对时间的导数，或者约束方如果约束方程中不含坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为算化为有限形式，则这类约束称为完整约束完整约束。如果约束方程中含有坐标对时间的导数如果约束方程中含有坐标对时间的导数(如运动约束如运动约束)而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为非完整约非完整约束束。非完整约束方程总是微分方程的形式。非完整约束方程总是微分方程的形式。),2,1(0);,(111sjtzyxzyxfnnnj完整约束方程的一般形式为完整约束方程的一般形式为式中式中n为质点系的质点数，为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。为完整约束的方程数。8例如：车轮沿直线轨道作纯滚动。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动。0rxAcrxA该约束仍为完整约束。该约束仍为完整约束。CxyAvAr积分，得积分，得约束方程约束方程9(4)(4)单面约束和双面约束单面约束和双面约束xOyM(x,y)l绳绳xOyM(x,y)l杆杆约束方程：约束方程：222lyx约束方程：约束方程：222lyx在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为制的约束称为双面约束双面约束。限制质点或质点系单一方向运动的约束称为限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束单面约束。10 本章只讨论本章只讨论定常的双面的几何约束定常的双面的几何约束，其约束方程的一，其约束方程的一般形式为般形式为),2,1(0),(111sj zyxzyxfnnnj式中式中n为质点系的质点数，为质点系的质点数，s为约束方程数。为约束方程数。11二、质点系的自由度与广义坐标二、质点系的自由度与广义坐标确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立的坐标，确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立的坐标，因此，一个自由质点在空间有三个自由度。一个由因此，一个自由质点在空间有三个自由度。一个由n个质点组成的质点系在空间的位置，在直角坐标系中个质点组成的质点系在空间的位置，在直角坐标系中需用需用3n个坐标来描述。个坐标来描述。如果质点系受有如果质点系受有s个完整约束，则质点系的个完整约束，则质点系的3n个坐标个坐标并不是完全独立的，只有并不是完全独立的，只有r=3n s 个坐标是独立的，个坐标是独立的，即需要有即需要有3n s个独立参变量才能确定质点系在空间个独立参变量才能确定质点系在空间的位置，即质点系具有的位置，即质点系具有r=3n s 个自由度。个自由度。12在完整约束的条件下，用来确定质点系在空间的位置在完整约束的条件下，用来确定质点系在空间的位置所需独立参变量的个数称为所需独立参变量的个数称为质点系的自由度质点系的自由度。这种确定质点系位置的独立参变量称为这种确定质点系位置的独立参变量称为广义坐标广义坐标。222lyxxOyM(x,y)lA(xA,yA)B(xB,yB)Oxyrl222ryxAA)()(222lyyxxABAB0 By13F1F2AOBF1F2AOB一、虚位移一、虚位移在某瞬时，质点系在在某瞬时，质点系在约束允许约束允许的条件下，可能实现的的条件下，可能实现的任何无限小的位移，称为任何无限小的位移，称为虚位移虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号符号表示虚位移。表示虚位移。ArBrArBr14必须注意：虚位移与实际位移必须注意：虚位移与实际位移(简称实位移简称实位移)是是不同的。不同的。对于无限小的实位移，我们一般用微分符号表示，例对于无限小的实位移，我们一般用微分符号表示，例如如 等。等。d,d,dxr实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，它除实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关。而虚位移仅与约束条件有关。条件有关。而虚位移仅与约束条件有关。因为虚位移是任意的无限小的位移，所以在定常约束因为虚位移是任意的无限小的位移，所以在定常约束的条件下，实位移只是所有虚位移中的一个，而虚位移视的条件下，实位移只是所有虚位移中的一个，而虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。对于非定常约束对于非定常约束,某个瞬时的虚位移是将时间固定后，某个瞬时的虚位移是将时间固定后，约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的，所以约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的，所以这时实位移不一定是虚位移中的一个。这时实位移不一定是虚位移中的一个。15二二、虚功、虚功rFmrF WrFWcos上式也可写成上式也可写成设某质点受力设某质点受力F作用。设想给质作用。设想给质点一虚位移点一虚位移 ，则力，则力F在虚位移在虚位移 上上作的功称为虚功，即作的功称为虚功，即rr因为虚位移是假想的，因此虚功也是假想的，是虚的。因为虚位移是假想的，因此虚功也是假想的，是虚的。力在虚位移中作的功称为力在虚位移中作的功称为虚功虚功。16NFFNr三、理想约束三、理想约束如果在质点系的任何虚位移上，所有约束力所作虚功如果在质点系的任何虚位移上，所有约束力所作虚功的和等于零，则称这种约束为的和等于零，则称这种约束为理想约束理想约束。即。即0NNNiiiWWrF理想约束的例子：理想约束的例子：1、光滑固定面、光滑固定面0NNrFWFNr2、光滑铰链、光滑铰链0NNNrFrFW173、连接两个质点的无重刚杆、连接两个质点的无重刚杆4、连接两个质点的不可伸长的柔索、连接两个质点的不可伸长的柔索F1F2121r2rABAB1r2r12F1F22211coscosrr2211NrFrFW222111coscosrFrF0185、刚体在粗糙面上的纯滚动、刚体在粗糙面上的纯滚动0)(NNCWrFFFFNC19miFiFNiri设有一质点系处于静止平衡状态设有一质点系处于静止平衡状态,取其中任一质点取其中任一质点mi 作用在该质点上的主动力的合力作用在该质点上的主动力的合力F Fi、约束力的合力、约束力的合力FNi 。因为质点系处于平衡状态，则这个质点也处于平衡状态，因为质点系处于平衡状态，则这个质点也处于平衡状态，因此有因此有0NiiFF若给质点系以某种虚位移，其中质点若给质点系以某种虚位移，其中质点mi的虚位移为的虚位移为 ,则作用在质点则作用在质点mi上上的力作虚功的和为的力作虚功的和为ir0NiiiirFrF对于质点系内所有质点，都可以得到与上式同样的等式。对于质点系内所有质点，都可以得到与上式同样的等式。将这些等式相加，得将这些等式相加，得0NiiiirFrF20如果质点系具有理想约束，则如果质点系具有理想约束，则0NiirF所以所以0iirF可证明可证明,上式不仅是质点系平衡的必要条件上式不仅是质点系平衡的必要条件,也是充分条件。也是充分条件。因此可得结论：对于具有理想约束的质点系，其平衡因此可得结论：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作虚功的和等于零。该结论称为位移中所作虚功的和等于零。该结论称为虚位移原理虚位移原理，又，又称为称为虚功原理。上式称为虚功方程。虚功原理。上式称为虚功方程。上式也可写成解析表达式，即上式也可写成解析表达式，即0)(iziiyiixizFyFxF0NiiiirFrF 0iFW21BFBFAAOl例例1 1：图示椭圆规机构，连杆：图示椭圆规机构，连杆AB长长l，滑块，滑块A、B、杆的自、杆的自重和滑道摩擦均不计重和滑道摩擦均不计,铰链为光滑的铰链为光滑的,求在图示位置平衡时，求在图示位置平衡时，求主动力求主动力FA和和FB之间的关系。之间的关系。解：取整体为研究对象。解：取整体为研究对象。给系统虚位移给系统虚位移(如图如图)ArBr0)tan(ABArFFtan FFBA0BBAArFrF rrBAcossin而而列虚功方程：列虚功方程：所以所以这种方法称为这种方法称为几何法几何法22BFBFAAOlArBr为求虚位移间的关系，也可以用所谓的为求虚位移间的关系，也可以用所谓的“虚速度法虚速度法”。假想虚位移假想虚位移 ，是在某个极短的时间是在某个极短的时间dt内发生的，这内发生的，这时对应点时对应点A和和B的速度的速度 和和 称为虚速度。称为虚速度。ArBrtAAdrv tBBdrv 0)tan(ABArFFtan FFBA0BBAArFrF而而列虚功方程：列虚功方程：所以所以ABABvvrrCcossinlltan23用用解析法解析法。建立图示坐标系，建立图示坐标系，由虚功方程：由虚功方程：0)(iziiyiixizFyFxF得得0AABByFxF写出写出A，B点的坐标，为点的坐标，为coslxB实施变分运算，有实施变分运算，有sinlxBcoslyA解得解得tanBAFF sinlyABFBFAAOlxy24F1F2CODEBAArBrErCr例例2：图示机构，已知：图示机构，已知OA/OB=1/3，求此系统在主动力，求此系统在主动力F1和压力和压力F2作用下的平衡关系。作用下的平衡关系。解：给系统虚位移。解：给系统虚位移。列虚功方程列虚功方程 0FW0)90cos(21ECrFrF虚位移关系：虚位移关系：sin)902cos(BCrr31OBOArrBAEArrcos32CBBACErrrrrrcot32sin21CErrFF所以所以 解得解得 练习：12-4，12-52512-4如图所示的平面机构中。已知各杆与弹簧的原长为如图所示的平面机构中。已知各杆与弹簧的原长为l，重量均略重量均略去不计。滑块重为去不计。滑块重为P，弹簧刚度系数为，弹簧刚度系数为k，铅直滑道是光滑的。试求，铅直滑道是光滑的。试求平衡时重力平衡时重力P与与之间的关系。之间的关系。PllllyxCDB图14-70DBAxFxFyP解：解：去掉弹簧的约束，以弹力F F、F F代替，体系的约束为理想约束，在主动力重力和弹力的作用下处于平衡。此体系具有1个自由度，广义坐标为则由虚位移原理式得262712-5 图示曲柄连杆机构图示曲柄连杆机构,在曲柄在曲柄OA上作用一力偶矩为上作用一力偶矩为M的力的力偶偶,欲使机构在图示位置保持平衡欲使机构在图示位置保持平衡,试求加于滑块试求加于滑块B上的水平力上的水平力P应为多大应为多大?已知已知OA=a,AB=b,在图示位置在图示位置AB与水平线的夹与水平线的夹角角=30。28解:这是属于求主动力的平衡条件的问题。作用于系统和主动力有和。系统受完整约束，有一个自由度，当机构有虚位移时，作定轴转动，曲柄作平面运动，滑块作平动。令杆的虚位移为，则点虚位移为rA,B点虚位移为rB,AB杆的虚位移为绕瞬心C的微小转角,机构的虚位移如图。2930ADCBaaaaFM例例3：在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为：在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M。手轮。手轮轴的两端各有螺距同为轴的两端各有螺距同为h,但方向相反的螺纹。螺纹上各套但方向相反的螺纹。螺纹上各套有一个螺母有一个螺母A和和B，这两个螺母分别与长为，这两个螺母分别与长为a的杆相铰接，的杆相铰接，四杆形成菱形框。此菱形四杆形成菱形框。此菱形框的点框的点D固定不动固定不动,而点而点C连接在连接在压缩机的水平压板上。求当菱形框的顶角等于压缩机的水平压板上。求当菱形框的顶角等于 时，压缩时，压缩机对被压物体的压力。机对被压物体的压力。231ADCBaaaaFArCrM解：给系统虚位移。解：给系统虚位移。列虚功方程列虚功方程 0FW0CrFM找虚位移关系：找虚位移关系：2coshrAcos2sinCArrcothrC所以所以 解得解得 cothMrMFC32例例4：如图所示两等长杆：如图所示两等长杆AB与与BC在点在点B用铰链连接用铰链连接,又在又在杆的杆的D,E两点连一弹簧。弹簧的刚度系数为两点连一弹簧。弹簧的刚度系数为k,当距离当距离AC等于等于a时，弹簧内拉力为零时，弹簧内拉力为零,不计各构件自重与各处摩擦。不计各构件自重与各处摩擦。如在点如在点C作用一水平力作用一水平力F，杆系处于平衡，求距离，杆系处于平衡，求距离AC之值。之值。lbBEDCAFx33lbBEDCAFxF1F1解：去掉弹簧，代之以力。解：去掉弹簧，代之以力。xy列虚功方程列虚功方程 011CEDxFxFxF而而 cos)(blxD求变分求变分 sin)(blxDsin)(blxEsin2lxC)(11axlbkFFcos)(blxEcos2lxC代入虚功方程，得代入虚功方程，得 0sin2)()()(Flblblaxlbk22kbFlax34GBECDAF例例5：图示结构：图示结构,各杆自重不计，在各杆自重不计，在G点作用一铅直向上的点作用一铅直向上的力力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE=l。求支座。求支座B的水平约束的水平约束力。力。35GBECDAFGBECDAFyxFBx解：将支座解：将支座 B 的水平约的水平约束解除，代之以相应的束解除，代之以相应的约束反力约束反力FBx,把此力当把此力当作主动力。作主动力。用解析法。用解析法。列虚功方程列虚功方程0GBBxyFxFcos2lxBsin2lxB0cos3sin2lFlFBxFFBxtan23写出坐标写出坐标其变分为其变分为代入虚功方程代入虚功方程cos3 lyGsin3lyG364m4m3m6m3m6m4mMAHGFEDCBFB例例6：多跨静定梁，：多跨静定梁，求支座求支座B处约束力。处约束力。解：解除支座解：解除支座 B的约束，代之约的约束，代之约束力束力FB,将将FB看看作主动力。作主动力。F1F2HrBrCrErGr给系统虚位移给系统虚位移4m4m3m6m3m6m4mF1F2MAHGFEDCB列虚功方程列虚功方程021MrFrFrFCBBHBBCBHBrMrrFrrFF21374m4m3m6m3m6m4mMAHGFEDCBFBF1F2HrBrCrErGrBBCBHBrMrrFrrFF2121BHrr811BCrrBEBrrr16MFFFB961181121219611811121BCrr16238例例7：用虚位移原理求图示桁架中杆：用虚位移原理求图示桁架中杆3的内力。的内力。解：截断杆解：截断杆3，用内力代替，如图。，用内力代替，如图。3F3F给定虚位移给定虚位移DrDr则有虚位移则有虚位移,rCBrCrBr设角度设角度DCrcroscos2sinBCrr代入虚功方程：代入虚功方程：03DBrPrFPPFcot2339练习：练习：12-17，12-1812-17 如图所示的无重静定多跨梁，已知：F1=25kN，F2=30kN，q=5kN/m，M=12kN.m。求支座E处的约束力。40N11220EEQFsFsFsQsM 01s85.10EQss81Es64398138322EDDEssssss414212-18 如图所示五根长度相同均为如图所示五根长度相同均为l的链杆与固定边的链杆与固定边AB形成正六边形，设将形成正六边形，设将CD两点用细杆连结，而连杆两点用细杆连结，而连杆EF的的中点受铅直力中点受铅直力Q作用；求作用；求CD上的拉力。上的拉力。建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系)sin1(sincos221lxlxlysincossin221lxlxly4311.()0nniiixiiyiiziiiwFxFyFzFr)sin1(sincos221lxlxlysincossin221lxlxly121200TxTxQyTxTxQy0)sin2.cos2(lQTlsintancosQTQ44BCAED例例8：均质杆：均质杆AB长长2l，一端靠在光滑的铅垂墙壁上，另一端，一端靠在光滑的铅垂墙壁上，另一端放在固定光滑曲面放在固定光滑曲面DE上。欲使细杆能静止在铅垂平面的上。欲使细杆能静止在铅垂平面的任意位置，问曲面的曲线任意位置，问曲面的曲线DE的形式应是怎样的？的形式应是怎样的？解：取杆为研究对象。解：取杆为研究对象。Pxy列虚功方程列虚功方程0CyP),(yx所以所以常数常数Cy当杆贴在墙上时，当杆贴在墙上时，lyC又又xxC21由两点间距离公式得由两点间距离公式得222)()(lyyxxCC得得2224)(4llyx45