数值分析研究生复习题例题

复习题复习题31311.(1)1.0,(2)1.2,(3)1.3()_()_ffff x dxf x dx 已已知知，则则用用抛抛物物线线公公式式计计算算求求得得，用用复复合合梯梯形形公公式式计计算算求求得得。一一 填空填空 2.()()f xxf x 设设可可微微，求求方方程程的的牛牛顿顿迭迭代代公公式式是是_。33.()1,0,1,2,30,1,2,3,4f xxxff设设+则则差差商商_,_,_。2.3672.351()()1kkkkkf xxxxfx 102 16._1 2A,则则其其谱谱半半径径为为。7.数数值值求求解解积积分分的的梯梯形形公公式式具具有有_次次代代数数精精度度，辛辛甫甫生生公公式式具具有有_次次代代数数精精度度。8.1_n 个个求求积积节节点点的的插插值值型型求求积积公公式式的的代代数数精精度度至至少少为为次次。5.3.23.4 3.63.8()02410(3.6)_xf xf 已已知知函函数数表表用用三三点点公公式式计计算算。4._pO hp 解解常常微微分分方方程程的的四四阶阶龙龙格格库库塔塔公公式式的的局局部部截截断断误误差差为为(),则则。52031n3014009.()(0,1,),()_,(3)_innniiiiil x inxxxl xx l 设设是是插插值值基基函函数数，为为两两两两互互异异的的节节点点，则则。3122110.3_3kkkxxx 若若迭迭代代公公式式收收敛敛于于，则则迭迭代代公公式式收收敛敛阶阶为为。211.(1,1),(0,3),(2,4)_x 过过点点的的二二次次拉拉格格朗朗日日插插值值多多项项式式中中系系数数为为。811212 解：解：例例1 1：求一个形如：求一个形如 (为常数为常数)的拟合曲的拟合曲线，使它能和下表给出的数据相拟合线，使它能和下表给出的数据相拟合:bxyae (,)a b x 0 1 2 4 y 2.010 1.210 0.740 0.450对对 两边取对数得两边取对数得 bxyae lnlnyabx 01ln,ln,yy aa ab 令令01yaa x0 124 0.6981 0.1906 -0.3011-0.7985 ixiy原数据变为原数据变为01470.21097213.6056aa 010.59460.3699aa 00.36991.8123,0.36991.8123axaebye 法方程组为法方程组为解得解得33000333120004.0iiiiiiiiiiixyaaxxx y 即即 例例2 设有求积公式设有求积公式求求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公，使其代数精度尽量高，并问此时求积公式的代数精度式的代数精度 解：（解：（3个未知系数需三个方程）个未知系数需三个方程）令求积公式分别对令求积公式分别对f(x)=1、x、x2精确成立。即精确成立。即 解之得解之得A0=A2=4/3，A1=-2/3，1012111()()(0)()22f x dxA fA fA f 10121102112021210222344dxAAAAAxdxAAx dx 又易知求积公式对又易知求积公式对f(x)=x3也精确成立：也精确成立：但但所所以该求积公式具有以该求积公式具有3 3次代数精度。次代数精度。1120300AAdxx14441212112()2 02().56322x dx 11211()(2()-(0)2()322f xfff 即有320 1d Ixxx 利利用用龙龙贝贝格格算算法法求求的的近近似似值值,要要求求二二分分三三次次。例例3 3k k0 01 12 23 3()0kT()1kT()2kT()3kT14.230249511.171369910.443796810.266367210.151743410.201272510.207224010.204574410.207669110.2076207解解：计计算算结结果果列列表表如如下下：3201d 10.2076691xxx 例例4 4：用改进尤拉公式求解初值问题：用改进尤拉公式求解初值问题 要求取步长h，计算y(0.1)及y(0.2)的近似值，小数点后至少保留5位.解 设f(x,y)=-2xy2,x0=0,y0=1,改进改进尤拉公式为 220(0)1yxyy )(21),(),(11cpipiiciiipyyyyxhfyyyxhfyy2211221()2piiiciipipcyyhx yyyhxyyyy 于是有由y0=1计算得12(0.1)0.99,(0.2)0.961366yyyy20.9703900.9523330.961366pcyyy 110.980.99pcyyy 932184326AAAJacobiGaussSeidelAJacobiGaussSeidelxbxbxb 例例5 5设设的的系系数数矩矩阵阵分分别别写写出出解解方方程程组组的的、和和超超松松弛弛迭迭代代公公式式(=1 1.0 05 5)，并并判判断断解解的的迭迭代代法法和和迭迭代代法法的的收收敛敛性性。112233|9|2|3|8|1|4|6|3|2|aaaAJacobiGaussSeidel 解解：迭迭代代法法略略.因因为为，即即是是严严格格对对角角占占优优矩矩阵阵，故故迭迭代代法法和和迭迭代代法法收收敛敛。例 6 已知x=-1,1,2,4对应的函数值为y=3,1,-1,3，作三次Newton插值多项式.解 首先构造差商表 xi f(xi)一阶差商 二阶差商 三阶差商 -1 3 1 1 -1 2 -1 -2 -1/3 4 3 2 4/3 1/3三次Newton插值多项式为311()3-(1)(1)(1)(1)(1)(2)33Nxxxxxxx123246349251134xxx 例例7:7:用矩阵的直接三角分解法解方程组用矩阵的直接三角分解法解方程组或或 用用 Doolittle 分解法分解法 13246100246492210011011310010112 解解：14123123100321051411233,1,2yyyyyy (1)(1)解解方方程程组组得得12312324630110100103213953,20220139 53(,)20220Txxxxxxx （2 2）解解方方程程组组得得：，所所以以方方程程组组的的解解为为，。例例8 8：已知方程已知方程 在附近有根，把方程写成三在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式种不同的等价形式(1)(1)；(2)(2)。试建立相应的简单迭代格式试建立相应的简单迭代格式 ，并判断迭代，并判断迭代(3)(3)格式在格式在 附近的收敛性。附近的收敛性。31 0 xx 31+xx 31xx 211xx 01 5.x 解：解：（1 1）2331113(),()(),xxxx 1501810 1(.).（2 2）3213(),(),xxxx 1 56 751(.).（迭代格式略）（迭代格式略）迭代格式收敛；迭代格式收敛；迭代格式发散；迭代格式发散；（3 3）2221211(),(),()xxxxx 1 51 921(.).迭代格式发散。迭代格式发散。