D88多元函数的极值及其求法

第八章第八章第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值及最值的应用问题二、最值及最值的应用问题 三、条件极值三、条件极值 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 复习回顾复习回顾1 一元连续函数的极值一元连续函数的极值v 必要条件：v 第一充分条件：)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf 为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf 为极小值v 第二充分条件：0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxfv 定义:0()()f xf x0()()f xf x)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0()f xx在 可导并取得极值0()0fx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 最值点应在极值可疑点和边界点上找 常根据问题的实际意义判别 2 一元连续函数的最值一元连续函数的最值v 闭区间上连续函数的最值v 实际问题中的最值对于多元函数，该如何计算其极值与最值对于多元函数，该如何计算其极值与最值?目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一、一、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:则称函数在该点取得极大值例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.00(,)(,)f x yf xy00(,)(,)f x yf xy2243yxz22yxzyxz),(),(00yxyxfz在点定义,(极小值).的某邻域内有若对该邻域内异于 的任何点 ,都有00(,)xy(,)x y设函数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 注注:例如,定理定理1(必要条件必要条件)函数偏导数,证明证明:0000(,)0,(,)0 xyf x yf x y取得极值,取得极值 但驻点未必是极值点.且在该点取得极值,则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故yxz (2)可导函数极值点必为驻点,00(,)0 xf x y同理00(,)0yf x y(1)偏导数都为 0 的点称为驻点.(3)可疑的极值点：驻点、偏导数不存在的点又如,22yxz在点(0,0).在点(0,0)目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 时,定理定理2(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令则:A0 时取极小值.(2)(3)(证明略)时,时,若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC且(4)定理1的条件下,平行于xoy面的切平面.取得极值不取得极值.不能确定,需另行讨论.(1)当当当曲面z=f(x,y)在极值点处有 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 求函数解解:得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyyxyxyxyxf933),(2233第一步第一步 求可能的极值点求可能的极值点 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 （1，0）（1，2）（-3，0）（-3，2）(,)66,xxAfx yx(,)0,x yBfx y(,)66y yCfx yy BAC2ACB1212121200006666(1,0)5f(3,2)31f 极小值极大值无极值无极值驻点结论第三步第三步 判断判断xyxyxyxf933),(2233 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2 讨论函数及是否取得极值.解解:在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此222)(yxz(0,0)0z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)并且在(0,0)都有 02BAC33yxz可能为0)()0,0()0,0(222yxz而220 xy时，显然(0,0)都是它们的驻点,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、最值及最值应用问题二、最值及最值应用问题函数 f 在有界闭域上连续函数 f 在有界闭域上必取得最值 最值可疑点 驻点驻点或偏导数不存在的点边界上的最值点特别特别,)(Pf为极小值)(Pf为最小值(大大)(大大)在 上的最值.如求函数 32zxy22(,)1Dx y xy当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P 时,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例3解解:则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内必必存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?2m,xy2Ayx2yxy 2xxy 222xyxy00yx222()0 xAyx222()0yAxy因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.3m)2,2(333233322 22设水箱长、宽分别为 x、ym,则高为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制如例3化为无条件极值问题化为无条件极值问题2),Axyxzyz2xyz 2zxy若设水箱长、宽、高分别为 x,y,z m,则即求A在条件下的极值.将代入目标函数就转化为无条件极值问题.目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.例如例如设解方程组可得到条件极值的可疑点.求函数下的极值.在条件),(zyxfu,0),(zyx0),(zyx12(,)(,)(,)(,)L x y zf x y zx y zx y z120 xxxxLf 120yyyyLf 120zzzzLf (,)0 x y z(,)0 x y z 步骤:拉格朗拉格朗日函数日函数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4 求表面积为a2则问题就是令解方程组解解:下求函数的最大值在条件xL 2()0yzyzyL 2()0 xzxzzL 2()0 xyyx22()xyyzxza长方体的体积.而体积最大的Vxyz22()xyyzxza2(,)(222)L x y zxyzxyyzxzaxyz设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 得唯一驻点66xyza 由问题本身可知最大值一定存在,相等时，长方体体积最大.因此,当长、宽、高即长方体的表面积为a2时，以棱长为 的正方体的体积最大，66a最大体积为36.36a练习 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1)简单问题化为无条件极值问题,),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步 判别v 比较驻点及边界点上函数值的大小v 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)3 函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点.),(yxfz 0),(yx(,)(,)(,)L x yf x yx y0 xxxLf0yyyLf0 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1 已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解答提示解答提示:设 C 点坐标为(x,y),21031013yxkji)103,0,0(21yx221(0,0)94xyxy则 ACABS2110321yxCBAyxEDO思考与练习思考与练习 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.222(,)(310)(1)94xyL x yxy092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx1.646CS,54,53yx,5.3,2EDSS(0,0)xy 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.分析分析:,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为2112sin,SRx2212sin,SRy2312sinSRz0,0,0zyx设拉氏函数(,)sinsinsin(2)L x y zxyzxyz解方程组0cosx,得32zyx故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 32sin322maxRS.4332R0cosy0cosz2xyz则 小结设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示提示:sin21sin21dcbaS)0,0(目标函数目标函数:cos2cos22222dcdcbaba约束条件约束条件:dcba,abcd 答案答案:,即四边形内接于圆时面积最大.3 求平面上以 小结 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学