D62二重积分的计算第二部分

目录 上页 下页 返回 结束 1三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分Oxkkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有在极坐标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2,1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数,分划区域D 为kkrkrkrkO目录 上页 下页 返回 结束 2kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrdO目录 上页 下页 返回 结束 3)(rDOxD)(1r)(2rOx)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别,对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(1r)(2rOxD目录 上页 下页 返回 结束 4此时若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:;0)1(问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2()(rDyxO)(rDyxO)(rDOx目录 上页 下页 返回 结束 5例例7.计算,dde22Dyxyx其中.:222ayxD解解:在极坐标系下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2ex的原函数不是初等函数,故本题无法用直角2erddrr20d由于故坐标计算.目录 上页 下页 返回 结束 6例例8.求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0(a所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解解:设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1(3322033a)322(3323axya2DO2 cosra xyza2O目录 上页 下页 返回 结束 7四、曲线坐标下二重积分的计算法四、曲线坐标下二重积分的计算法 在段中我们看到，运用极坐标变换有时候在段中我们看到，运用极坐标变换有时候可以使二重积分的计算简可以使二重积分的计算简化化特殊的坐标变换特殊的坐标变换使用其它的坐标变使用其它的坐标变换换坐标变换下计算二重积分的方法，也就是坐标变换下计算二重积分的方法，也就是二重积分二重积分的的一般一般换元法换元法但是，极坐标只是一种但是，极坐标只是一种为了计算二重积分，有时候需要为了计算二重积分，有时候需要下面我们来介绍在一般形式的下面我们来介绍在一般形式的目录 上页 下页 返回 结束 8 作变换若以下三个条件满足,则称变换(2.13)为正则变换正则变换.;,11Cvu函数 yxyxvvyxuu,2R vu,2R132.;,0,Jacobi2yxvvuuyxvuyxyx行列式 .3一一对应地映射为此变换将域yx OOvu 目录 上页 下页 返回 结束 9正则变换可以证明,132.存在唯一的逆变换 vuvuyyvuxx,142.它将该逆变换也是正则的,一一对应地区域.映射为区域.,边界对应边界外部对应外部,内部而两个区域的内部对应可以证明，在映射（）的作用下，可以证明，在映射（）的作用下，xoy坐标系坐标系下的二重积分与下的二重积分与uov坐标系下的二重积分之间的坐标系下的二重积分之间的关系为关系为 dvuyxvuyvuxfdyxf,162.目录 上页 下页 返回 结束 10 dvuyxvuyvuxfdyxf,162.在域行列式如果应当指出vuyx,Jacobi,上为零，上的个别点或一条曲线,零那么公式.仍成立162.而在其它点上不为目录 上页 下页 返回 结束 11例例2.10 求 ,1,xydxyI是由直线其中解解 四条直线交点的坐标分别为,61,617,65,61BA,3 xy.21.653973图所围成的区域及xyxy从上图中能看出,都要分成三部分，比较麻烦.4,3,3,6DC图图6.21不论先对 x 还是先对 y 积分,积分区域所以可改用曲线坐标曲线坐标.目录 上页 下页 返回 结束 12 的边界是由由于积分区域:变换这就启发我们作如下的17.2,31,xyvxyu uOvxOy映射成平面上的区域将变换17.2中的两条直线直线族1cxy,3111cc与对应于以及中的两条直线直线族231cxy.59/722所围成与对应于cc 直角坐标平面上的.22.6图图图6.22目录 上页 下页 返回 结束 13,431111,1,31yxvuvuyx由公式于是,162.可得.338dd43dd4313597uuvvuu见第五章公式由于(47.5)dvuyxvuvudxyI,43434341目录 上页 下页 返回 结束 14例例 计算 ,1,dxyxy为由曲线其中解解 由图 可见,此积分.,xyvxyu.,麻烦分成三个子域来进行必须将积分域:,我们采用曲线坐标变换所以.0,04,2所围成的区域yxxyxyxy18.2图6.23如果我们用直角坐标直接计算在此变换下,的边界曲线平面中的水平线映射成uOv.2,1,4,1vvuu和铅直线目录 上页 下页 返回 结束 15矩形区域这四条边界曲线,4,1,2,1vu图6.23从而,换式为了求得积分微元的变平面直角坐标系中的围成了uOv.,:xyvxyu变换41,21,vuvu我们求出,21,2xyxxyxyyxvu,21,1,vyxvuvuyx目录 上页 下页 返回 结束 16根据公式于是,.2ln12232dd1212141uuvv,21,1,vyxvuvuyx dvuyxvuyvuxfdyxf,162.162.就有 vuvuxydd21d,ddd,vuuxyyxf目录 上页 下页 返回 结束 17例例 计算 194,d222yxxI为椭圆其中解解 由于积分域是椭圆,如果采用极坐标变换，,sin9,cos4222222yx.,难以计算变得比较复杂积分域的边界曲线方程,方程简化积分域的边界曲线19.2即射成平面上所给的椭圆域映此变换的逆变换将 xOy.10,20,形域平面直角坐标系中的矩O.的内部.20,0,sin3,cos2yx为了:我们运用曲线坐标变换目录 上页 下页 返回 结束 18由于从而,dd6dd,dyx20103222ddcos24dd6cos4I.6dcos6202中所用的变换形如例 11.220,0,sin,cosbyax称为广义极坐标变换广义极坐标变换.面积微元在此变换下容易看出,.dddab.,1坐标变换广义极坐标变换就是极当 ba