D110连续函数性质(IV)

青青岛岛理理工工大大学学第十节一一、最值定理、最值定理 二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 青青岛岛理理工工大大学学一、最值定理一、最值定理1、定义：、定义：设设 f(x)在在 I 上有定义，若上有定义，若IxI,x 0)f(xf(x)0 都有都有)f(x(f(x)0，则称，则称)f(x0为为 f(x)在在 I 上的最大上的最大（小）（小）值值 M(m).注意：注意：1）f(x)在在 I 上的最值可能存在也可能不存在。上的最值可能存在也可能不存在。例：例：f(x)=x 在在 a,b 上有最大值上有最大值b,最小值最小值a;但在但在(a,b)上没有最大值和最小值。上没有最大值和最小值。2）最大值与最小值也可能相等。例）最大值与最小值也可能相等。例:常值函数。常值函数。3）最值是整体概念。）最值是整体概念。4）最值的可能点：端点、极值点、不可导点）最值的可能点：端点、极值点、不可导点机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学2、a,ba,b上的连续函数的最值定理上的连续函数的最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数即即:设设,)(baCxfxoyab)(xfy 12则则,21ba使使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值值和最小值.在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大(证明略证明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：1）定理的条件充分不必要。）定理的条件充分不必要。青青岛岛理理工工大大学学例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxf11xoy22也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2）若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,结论不一定成立结论不一定成立.或在闭区间内有或在闭区间内有间断间断 点点,青青岛岛理理工工大大学学推论推论.二、零点定理及介值定理二、零点定理及介值定理2、定理、定理(零点定理零点定理),)(baCxf至少有一点至少有一点,),(ba且使使xyoab)(xfy.0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 结束(证明略证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界.1、函数、函数f(x)的零点：的零点：设设f(x)在在I上有定义，若上有定义，若I,x 0使得使得,)f(x00 则称则称0 x为为f(x)的零点。的零点。注意：注意：1）,)f(x00 即即f(x)的零点为的零点为f(x)=0 的根。的根。2）函数的零点即为）函数的零点即为y=f(x)与与x轴的交点。轴的交点。（条件充分不必要！）（条件充分不必要！）青青岛岛理理工工大大学学分析：分析：的零点。为即 0c-f(x)0c)(fc)(f3、定理、定理(介值定理介值定理)设设,)(baCxf且且,)(Aaf,)(BABbf则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C,一点一点,),(ba证证:作辅助函数作辅助函数Cxfx)()(则则,)(baCx 且且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知故由零点定理知,至少有一点至少有一点,),(ba使使,0)(即即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使使.)(Cf至少有至少有在闭区间上的连续函数在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最必取得介于最小值与最大值之间的任何值大值之间的任何值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学注意：注意：1）定理的条件充分不必要。定理的条件充分不必要。2）证明的过程实际上就给出了含有中间值）证明的过程实际上就给出了含有中间值的等式的方法。的等式的方法。应用：应用：1）证明含有中间值）证明含有中间值的等式。的等式。2）证明方程的根。）证明方程的根。例例1、设、设.b)b(f,a)a(f,b,a C)x(f证明：证明：.)f(a,b)f(x)，使使得得中中至至少少存存在在一一点点在在证明：分析：证明：分析：.x,s.t.f(x)f(f(00)即求零点。即求零点。机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学.,00,f(b)-bF(b)f(a)-aF(a)Ca,bF(x)xf(x)F(x)且且易易知知令令故由零点定理知：故由零点定理知：.f(F(s.t.(a,b),)0)例例2、设、设.2020f(a)a)f()f(a,Cf(x)证明：证明：.)0a)f(f(,a)(，使得，使得中至少存在一点中至少存在一点在在分析：分析：.a)f(xf(x)s.t.,a)f(f(a)f(f(00)即求零点。即求零点。证明：令证明：令,a.xa),f(xf(x)F(x)0 易知易知,aCF(x)0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学且且)F()f(f(a)a)f(f(a)F(a),f(a)f()F(002000 故由零点定理知：故由零点定理知：a).f(f(F(s.t.,a),()0)0例例3、.g(b)f(b)g(a),f(a)Ca,b,g(x)f(x)、证明：证明：.g(f(s.t.(a,b),)（证明略（证明略.提示：令提示：令F(x)=f(x)-g(x)）例例4、证明方程的根：、证明方程的根：1）证明：）证明：135 xx至少有一个根。至少有一个根。机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学证证:显然显然,1,013)(5Cxxxf又又,01)0(f01)1(f故据零点定理故据零点定理,至少存在一点至少存在一点,)1,0(使使,0)(f即即135 xx至少有一个根至少有一个根.)1,0(2）证明：）证明：11tan162 )xx(x至少有一个根。至少有一个根。证证:显然显然,4011tan16)(,C)xx(xxf 2又又,01)0(f0)(142f故据零点定理故据零点定理,至少存在一点至少存在一点,)4,0(,0)(f即即至少有一个根至少有一个根.)4,0(11tan162 )xx(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学3）.证明方程证明方程01423 xx一个根一个根.证证:显然显然,1,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02)1(f故据零点定理故据零点定理,至少存在一点至少存在一点,)1,0(使使,0)(f即即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根内必有方程的根;)1,(21取取 1,21的中点的中点,43x,0)(43f内必有方程的根内必有方程的根;),(4321可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间在区间)1,0(的中点取1,0内至少有内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则则则青青岛岛理理工工大大学学内容小结内容小结则设,)(baCxf在在)(.1xf上达到最大值与最小值上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何上可取最大与最小值之间的任何值值;4.当当0)()(bfaf时时,),(ba使使.0)(f必存在必存在,ba上有界上有界;在在)(.2xf,ba在在)(.3xf,ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学练习练习1、设、设 0101101ln2x,x,xxxx,xx)(f(x)判断判断f(x)的连续性。若有间断点，并确定类型。的连续性。若有间断点，并确定类型。解：解：.x)(xx)(f(x)xxxx11lnlim1lnlimlim1000 机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学.)xxx(xxxxxf(x)xxx2111lim11limlim220200 )f()f()f(000 x=0为跳跃间断点。为跳跃间断点。x 0,or x 0 时，时，f(x)为初等函数，连续。为初等函数，连续。2、讨论函数的连续性：、讨论函数的连续性：112tan)11 xxeef(x)xxf(x)1机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学解：解：Z.kk且xkx,xxf(x)2tan1)(kkx)(kxxf(x)kxkx00tanlimlim 为无穷间断点。为无穷间断点。20tanlimlim22kxxxf(x)kxkx 为可去间断点。为可去间断点。01cossinlimlim00 xxxxf(x)xx为可去间断点。为可去间断点。机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学011211 x,eef(x)xx xxxxxex,eef(x)111001111limlim01111limlim11100 xxxxxex,eef(x)所以所以 x=0 为跳跃间断点。为跳跃间断点。机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学3、设、设1lim22 nnnxbaxxf(x)求求 1）f(x)2）讨论）讨论 f(x)的连续性。的连续性。解：解：1）1211211111lim22,xba,xbax,xb,axxbaxxf(x)nnn2）baf(x),f(x)xx 11lim1lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学时时，即即当当1211 babaf(x)在在 x=1点连续，点连续，时，时，1 bax=1为跳跃间断点。为跳跃间断点。1limlim11 f(x)a,bf(x)xx时，时，即即当当1211 b-ab-af(x)在在 x=-1点连续，点连续，否则，否则，x=-1为跳跃间断点。为跳跃间断点。机动 目录 上页 下页 返回 结束 青青岛岛理理工工大大学学1.任给一张面积为任给一张面积为 A 的纸片的纸片(如图如图),证明必可将它证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片一刀剪为面积相等的两片.提示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.xoy则面积函数则面积函数,)(CS因因,0)(SAS)(故由介值定理可知故由介值定理可知:,),(0.2)(0AS使机动 目录 上页 下页 返回 结束)(S青青岛岛理理工工大大学学,4,0)(上连续在闭区间xf备用题备用题 13xex至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的的 证证：证明证明令令1)(3xexxf且且)0(f13e)4(f1434e003e根据零点定理根据零点定理,)4,0(,0)(f使原命题得证原命题得证.)4,0(内至少存在一点内至少存在一点在开区间在开区间显然显然正根正根.机动 目录 上页 下页 返回 结束