2022年《运筹学》群决策

上一章所研究的多属性决策咨询题是由单个决策者从有限个方案中，选择一个决策者认为满意的方案。其决策行为主要表如今单一效用函数或单一优先关系的构造和分析，这一类决策是所谓的独断型决策。但在现代社会生活中，实际决策的构成往往不是一个人说了算的。由于各种经济决策咨询题变得越来越复杂，在许多情况下都有必要集中一群人的智慧来共同处理决策咨询题。即便是人们每天碰到的日常决策，尽管本质上不属于群决策的范畴，但也会征求亲友或同事们的意见，然后才作出决定。因而，依照群体各个成员的意见和偏好来制订统一的决策是人类决策的普遍方式。现代群决策(GDM)理论的研究范畴已经从早期的社会选举理论开展到近代的多属性群决策理论，又从多属性群决策理论进一步推行到现代的专家系统理论和对策理论，并与模糊集理论结合在一起，构成了一个十分活泼而广泛的研究领域。多属性决策咨询题从单个决策者的独断情形转变到多个决策者集议的情形，给决策分析带来许多复杂的要素，并提出一系列的新咨询题。由于不同的决策者对同一咨询题的理解和愿望彼此不同，甚至是互相抵触和矛盾的，如何依照每个成员的偏好构成整个群体的偏好，即从单一优先关系或单一效用函数构成群体优先关系或群体效用函数，进而陈列方案的优劣次序，便成为处理多属性群决策咨询题的关键。12.1 选举函数和福利函数12.1.1 社会选举理论选举是民主社会中表达民众意愿的根本方式，也是最典型的群决策方法之一。中选民在投票的时候，心中对候选人的各方面条件，如资历、才能、诚信度等，都已经作了综合性的衡量与比拟，才构成本人的选择意愿。因而，选举过程本质上是一个多属性的群决策过程，只是这里的决策属性没有以外在的方式表现出来而已。社会选举方法的构成和开展能够划分为三个主要的历史时期。第一个历史时期发生在十八世纪八十年代的法国，其代表人物为 Borda和Condorcet。第二个历史时期发生在十九世纪六十年代和九十年代之间的英国，其代表人物为Dodgson和Nanson。第三个历史时期发生在二十世纪五十年代至八十年代的美国，其代表人物为Arrow，Gibbard和 Satterthwaite。选举需要处理的根本咨询题是如何在充分考虑个人意愿的根底上构成合理的全社会的选举结果。关于只有两个候选人的选举情况，简单多数的选举原则被普遍认为是公正可行的。但假如有多名候选人存在时，简单多数的选举原则却有可能导致矛盾荒唐的结果。譬如，设有三个选民甲、乙、丙和三个候选人，假如甲认为 优于 ， 又优于 ；乙认为 优于 ， 又优于 ；而丙认为 优于 ， 又优于 。那么两两比拟的结果是： 优于 有两票赞成一票反对， 优于 也有两票赞成一票反对，但是 优于 只有一票赞成两票反对。因而，按简单多数原则得到的结果是不传递的，即 优于 ， 优于 ，但 却不优于 。这确实是十八世纪末由Condorcet提醒的选举咨询题中的多数悖论，称为Condorcet现象，或Condorcet效应。为了克服Condorcet 现象在选举理论上造成的极大困扰，许多不同的群决策程序相继提出，构成了社会选举函数和社会福利函数两大类别。前者主要用于政治选举咨询题，后者主要用于经济决策咨询题。当方案集为有限集时，社会选举函数和社会福利函数是完全等价的，只有当方案集为无限集时，社会福利函数才有别于社会选举函数。社会选举函数基于Condorcet建议的简单多数原理，并由Borda (1784)，Copeland (1951)，Nanson (1883)，Dodgson (1876)，Kemeny (1959)，Cook和Seiford (1978)，Fishburn (1977)，Bernardo (1981), Miller (1983)，Shepsle和Weingast (1984)，Banks (1985)，Mckelvey (1986)，Feld 及其合作者(1987)，Hartley和Kilgour (1987)，Dutta (1988)，Zavist 和Tideman (1989) 等人围绕着Condorcet现象从不同角度对社会选举函数进展了改良和推行。Black (1958) 和 Fishburn (1977) 以及Gehrlein (1983) 对早期的这些方法进展了总结，并从理论上作了详细的比拟性研究。社会福利函数的概念由Bergson (1938) 提出，通过Samuelson (1947)，Goodman- Markowits (1952) 的改良和开展，并由Arrow (1963) 加以创新和推行。此后，Kirkwood (1972)，Bowman-Colantoni (1973)，Gibbard (1973)，Blin-Whinston (1974)，Satterthwaite (1975)，Farris-Sage (1975)，Parks (1976)，Pollak (1979)，Dyer-Sarin (1979)，Mackay (1980)，Bowers (1981)，Grether-Plott (1982)，Fishburn (1983, 1987)，Nurmi (1987)，Merrill (1988)，Enelow-Hinich (1989) 等人在Arrow 的不可能性定理的根底上，提出了各种各样的改良方法。Luce-Raiffa (1957)，Rotheberg (1961)，Kelly (1978) 和Fishburn (1973, 1984, 1990) 对各种社会福利函数都有过精辟的阐述。下面我们将扼要介绍社会选举函数和社会福利函数的根本理论和方法。12.1.2 社会选举函数在社会选举咨询题中，候选人集合是一个非空有限集合，记为A。设有n位选民参加投票，每个人将按照本人的意愿对候选人进展排队。关于任何两个候选人x, yA，采纳符号# (i：x i y) 表示x优于y的票数，则有# (i：x i y) + # (i：y i x) = n, xy。那么简单多数原则能够被定义为：x y 当且仅当 # (i：x i y) # (i：y i x)假如 # (i：x i y) = # (i：y i x)，则认为x与y无差异。Condorcet认为，在简单多数原则下，假如存在某一个候选人能够击败所有的对手，则该候选人必定是最能代表大多数选民意愿的选举结果。换言之，Condorcet原则被定义为：x = x* 当且仅当xA, x y, yAx但是，中选举结果出现循环现象时，不存在以简单多数胜出的候选人。为此，许多学者对上述简单多数原则进展了推行，并由此产生了多种多样的社会选举函数。现选择其中有代表性的几种社会选举函数分别介绍如下。(1) Condorcet函数当简单多数胜出的候选人不存在时，Condorcet提议采纳下面的方法。设则候选人的优先顺序将按照函数fC (x)的值来陈列。这里，fC (x)的值表示x与其它候选人比拟时所处的最不利情形。因而，fC (x)是一个极大极小型的保守函数。(2) Borda函数在包含m个候选人的选举咨询题中，Borda提议对每一个候选人依照其排序名次分别记分，称为Borda分。记分原则是排在第一位得m 1分，第二位得m 2分，如此依次递减，直到最后一位得0分。候选人的最终排名取决于Borda总分的高低，其数学表示式为(3) CookSeiford函数Cook和Seiford引进了间隔函数d以度量排序的不一致性，并将总间隔最小的排序方式定义为一致性排序。设rij表示选民i对候选人j的排序结果，令rj*表示候选人j的一致性排序结果，那么选民i排序的不一致功能够表示为故排序的总偏向为由于rj*只能等于序数1, 2, , m中的某一个，设rj* = k，则可定义从而假定每个候选人都有m个不同的k值，则一共要计算mm个间隔系数djk , j, k = 1,2,m。显然，寻找使总间隔最小的一致性排序咨询题等价于求解一个mm的分配咨询题。限于本教材的撰写目的和篇幅，其它社会选举函数不再一一列举，有兴趣的读者可参阅书后所列的参考文献。例12.1 假设某班级60位学生拟从3名任课老师中评选1名优秀老师，投票结果为：23票：a b c17票：b c a 2票：b a c10票：c a b 8票：c b a(1) Condorcet函数：两两比拟结果为# (i：a i b) = 33，# (i：b i a) = 27，# (i：a i c) = 25，# (i：c i a) = 35，# (i：b i c) = 42，# (i：c i b) = 18。显然，这里不存在能以简单多数胜出的候选人。采纳Condorcet函数的计算结果可表示为如下矩阵方式：abcfC a332525b274227c351818结论：b a c。(2) Borda函数：abcfB a332558b274269c351853结论：b a c。(3) CookSeiford函数：已经明白i = 1,2,60，j = a, b, c，k = 1, 2, 3类似地，可算出：以上间隔系数被总结在下面的矩阵表中： kj123a624858b512969c674353这是一个使总偏向到达最小的分配咨询题，其求解过程为：62485814010000512969220408030674353240101000结论：a b c。12.1.3 社会福利函数福利经济学是西方的一种经济学派，主要研究社会资源和商品的分配理论与方法，旨在发觉某种合理的社会构造，以使由资源和商品产生的社会福利到达最大。福利经济学家从社会福利的观点去评价各种可能的社会构造，并用一个反映社会情况的实值函数 福利函数去度量和推断每种社会构造的优劣。早期的社会选举函数和社会福利函数对候选人或事所处状态的描绘采纳的都是序数型变量，即排序比拟方法。针对这种情形，Arrow提出了满足一致性要求的两条公理和五项条件，并在此根底上证明了著名的Arrow不可能性定理，即在一般情形下不可能找到一种程序或方法将所有社会成员的个人偏好集成为整个社会的群体偏好而不违犯一致性原则。为此，其它学者作出了种种假设，旨在将序数型的社会福利函数改写成基数型的效用函数，从而开展为现代的多属性群决策理论与方法。在介绍Arrow的不可能性定理之前，我们先引进二元关系和社会福利函数的定义与性质：定义12. 1 集合A上的一个二元关系R是域AA上的一个子集，定义为 A上全部有序对 (x, y) 的集合，记作x R y，并用符号 , 和 分别表示x, y之间的强序关系，弱序关系和无差异关系，记作x y，x y和x y。定义12. 2 设R是集合A上的一个二元函数。则：(1) R是自反的当且仅当：x R x, xA。(2) R是连通的当且仅当：。式中是逻辑或的符号，即关于集合A中的任何x, y不是x R y，确实是y R x。(3) R是不循环的当且仅当：不存在 ，使得式中是逻辑与的符号。(4) R是可传递的当且仅当：，即假如，而且y R z，则x R z。(5) R是一个弱序关系当且仅当：R是连通的和可传递的。定义12. 3 设有一组方案 和决策群体D = (D1, D2, , Dm)。社会福利函数f是将决策者个人在方案集A上的独立序关系合成为决策群体D在A上的总序关系R的法则，亦即f是从积空间R m到空间R的一个映射，记为, 或 定义12. 4 关于A中的任意方案x, y，当决策者Di认为x i y, x i y和x i y时，分别记 R i = 1, 0 和1。则由社会福利函数 f 确定的群决策法则具有以下性质：(1) 可决策性：；(2) 公正性：；(3) 平等性：假如是1,m上的任一陈列，则 (4) 正相关性：；(5) 均分性：关于任意正整数 m，；(6) 弱Pareto最优性：；(7) 强Pareto最优性：假如中的某些值等于1，而其它值等于0，则 假如中的全部值等于0，则。对定义10.4中的有关性质可作如下解释，(1) 可决策性：指由社会福利函数产生的群决策法则关于选民的每一种选择意向都应该能得到一个有意义的、唯一的决策结果。(2) 公正性：假如所有的人都改变原来的选择意向，则原决策的结果将会被推翻，其作用是防止任何候选人或候选方案被外部权力内定为决策的必定结果。(3) 平等性：防止某一个决策成员享有高于其它决策成员的权力，表达了一人一票的选举原则。(4) 正相关性：假如一个或几个决策成员的选择意向朝着对方案x有利的方面转化，而对其它方案的选择意向保持不变，则方案x所处的选举地位只会变好，不会变差。(5) 均分性：当某一个决策者认为方案x和方案y无差异时，可设想该决策者被一分为二，其中的半个人投票赞成x，另外半个人投票赞成y。假如有多个方案被认为无差异时，也可用类似的方式进展处理。(6) Pareto最优性(也称为全体一致性)：当所有的人都选择x时，则x胜，当所有的人都选择y时，则y胜。容易想见，满足上述定义的社会福利函数特别多，有些是能够接受的，有些是不能接受的。Arrow 在群决策理论上的严重奉献之一是为社会福利函数规定了一组看起来特别可信的公理和条件，从而导出了群决策理论上著名的不可能性定理。它们是：公理1 连通性：设有方案集 和决策群 ，决策者关于A中任意方案的偏好，不是，确实是，或者。公理2 传递性：关于方案集中的任意方案，假如断策者认为，则必有。条件1 (完备性) 方案集A中至少有三个方案，决策群D中至少有二个决策人，由社会福利函数产生的群决策法则必须考虑每一个决策者的选择意愿。条件2 (正相关性) 假如社会福利函数f给出x优于y的结果，则当决策者对x以外的方案进展两两比拟的结果不变，且对x与其它方案之间的比拟结果对x而言没有任何不利时，社会福利函数的结果将维持不变。条件3 (无关方案独立性) 设A 为方案集A中的一个子集，假如每一个决策者都保持对A 中方案两两比拟的结果不变，而只改变A 以外方案的比拟结果，则对A 中的方案来说，两种情况下的决策次序是一样的。条件4 (Pareto 最优性) 关于A中的任意方案，必须有某些决策者认为优于时，才有可能导致群体的选择结果是优于。条件5 (非独裁性) 关于A中的任意方案，没有任何一个决策者能够为群体指定一个优劣次序，或者，而不管其它决策者的意见如何。定理12. 1 没有任何一个社会福利函数 能同时满足上面的两条公理和五个条件。在Arrow之后，许多其它方式的不可能性定理相继提出。其中最有代表性的几种方式是：Mass-Colell和Sonnenschein (1972), Gibbard (1973) 和Satterthwaite (1975), Parks (1976) 和Pollak (1979) 以及Grether和Plott (1982)。每一条不可能性定理的后面都伴随着相应的可能性定理和一系列互相可比的条件，这些条件都是通过松弛或弱化Arrow 定理中的一个或多个条件以达成一致而得到的。感兴趣的读者能够查阅后面的参考文献或Kelly(1978) 和Fishburn (1987) 对此所作的精辟阐述。社会福利函数之因而不能同时满足Arrow定义的两条公理和五个条件，有原理和方法两方面的缘故。从条件本身来说，Goodman和Markowitz(1952) 曾用下面的例子说明了Arrow条件的局限性。设主人拟用茶或咖啡中的一种同时招待两位客人，假如主人只明白客人甲对咖啡的爱好胜于茶，而客人乙对茶的爱好胜于咖啡，则主人会认为以茶或咖啡待客是没有区别的。但假如主人还进一步明白甲的爱好是咖啡胜于茶，茶胜于可可，可可胜于牛奶；但乙的爱好是不仅茶胜于咖啡，而且可可、牛奶甚至白水都胜于咖啡。在这种情况下，主人要招待这两位客人显然是以茶为好。这说明外表上看起来大概无关的方案(在此为可可、牛奶和白水)关于群决策的集成法则并不是完全无关的，因而Arrow 定义的条件3 对社会福利函数而言并非绝对适当。同时，Fishburn (1970) 已经证明，当咨询题的决策集是无限集合时，Arrow 定义的五个条件将能够被满足。这里，决策集有限和无限的差异在于，原不可能性定理中独裁者的角色能够从幕前转到幕后。从方法上来看，序数型的社会福利函数仅仅给出了个人和群体对不同方案的偏好顺序，但忽略了他们对不同方案的偏爱程度，因而缺乏对事物的分辨力。以Goodman和Markowitz的例子来说，假如客人甲和乙各自对咖啡和茶的喜欢程度能够被量化，即用某种统一的尺度去衡量的话，譬如甲对咖啡的喜欢是8个单位，对茶的喜欢是6个单位，而乙对茶的喜欢是10个单位，对咖啡的喜欢是2个单位，则主人不难决定待客的饮料以茶为宜。如此得到的社会福利函数被称为基数型的社会福利函数。只要通过简单的变换，基数型的社会福利函数特别容易转化成所谓的的效用函数。容易证明，在个人效用函数根底上建立的群效用函数能够满足Arrow 提出的全部条件和公理。12. 2 群效用函数基于群效用函数作出的决策并不是一种简单的多数规则，它包含了更多个人效用的信息和人与人之间的效用的比拟。群效用函数的一般方式为：式中代表第i个决策者对方案x的个人效用函数值。假如群效用函数为已经明白，则群决策咨询题就能够写成下面的数学规划咨询题：为了便于构造群效用函数，Keeney和Raiffa(1976)为群效用函数的存在提出了某些必要的条件，并在此根底上定义了群效用函数的加法模型和乘法模型。现将这两种模型分别介绍如下：(1) 加法模型条件1 个人效用函数和群效用函数均应满足关于效用的Neumann-Morgenstern 公理系统，即方案集A上的二元关系是完备的、传递的、独立的、和连续的。条件2 假如群中每个决策成员都认为某两个方案是无差异的，则决策群也认为这两个方案是无差异的。条件3 个人效用函数的效用值是独立可加的。定理12. 2 满足上述条件的群效用函数能够表示为：式中是群中第i个成员的个人效用函数，而是的权值。(2) 乘法模型条件1 个人效用函数和群效用函数均应满足关于效用的Neumann-Morgenstern 公理系统，即方案集A上的二元关系是完备的、传递的、独立的、和连续的。条件2 假如群中所有的决策成员除第i个成员外都认为所有方案无差异，则群效用函数是第i个个人效用函数的正线性变换。换言之，如今的群偏好等价于第i个成员的偏好。条件3 假如群中所有的决策成员除第i个和第j个成员外都认为所有方案无差异，则决策群体对这些方案的偏好仅取决于第i和第j个成员的偏好。定理12. 3 满足上述条件的群效用函数能够表示为：式中为标度常数，, i = 1,2,m。Keeney(1974)已经证明：当时，群效用函数应采纳加法模型；当时，群效用函数应采纳乘法模型。群效用函数的存在性说明，能够由群中每个成员的偏好构成整个群体的偏好，并依照群体的偏好陈列方案的顺序。这为处理群决策咨询题提供了重要的理论根底。但在实际决策中，直截了当构造群效用函数有诸多不便，故特别少应用。我们在下一节将介绍如何将已经学习过的多属性决策方法移植过来，用以处理群决策咨询题。12.3 多属性群决策方法在前面讨论的群决策方式中，事物的属性并没有以外在的方式表现出来。群效用函数的集成对象是所有个人效用函数的效用值，但个人效用的获取过程并没有涉及。这里，我们将在本书第九章的根底上，介绍有多个决策者存在时多属性决策咨询题的处理方法。设有方案集A = A1, A2, , Am和决策群体D = D1, D2, ., Dn。每一位决策者将依照本人选定的一组属性C = C1, C2,Cl 对每一个方案独立地进展评价，并用权向量w = w1, w2, wl 表示各属性的重要程度，符合归一化条件w1 + w2 + + wn = 1。不同决策者调查的属性及采纳的权值能够一样，也能够不同。其决策方式写为： C1 C2 - Cl 与多属性决策一样，决策者采纳的评价方式有序数型和基数型两种：前者只给出每一属性上各方案的陈列顺序；后者则度量各方案每一属上的实际水平，并以数值方式说明其结果。不同之处在于多属性决策的决策矩阵是唯一的，它反映了决策者对多个属性的偏好构造；而群决策的决策矩阵有许多个，分别代表了不同决策者的决策意愿，其偏好构造互不一样，但都应遭到尊重，不能厚此薄彼，或有所偏废。为了使咨询题简化，假定个人效用函数的效用值是独立可加的。那么，求解群决策咨询题的关键在于：(1) 如何表示每一位决策者的个人优先关系；(2) 如何将个人优先关系合成为群优先关系；(3) 是先合成、后评价，依然先评价、后合成？这里，前者是先将不同决策者就方案属性作出的评价综合到一起，然后选用已经明白的多属性决策方法统一求解，其本质是将一个群决策咨询题整体转化为一个独裁决策咨询题，它要求所有的决策者采纳一样的属性和属性权值以方便合成；后者是由每一位决策者先按照本人的意愿分别对相应的多属性决策咨询题进展求解，其结果归结为社会选举咨询题，然后采纳本章讨论的社会选举函数作出最终的选择，其本质是将一个群决策咨询题分解成假设干个独裁决策咨询题，该方法对不同决策者调查的属性和采纳的属性权值不强求一致。综上所述，求解一个效用值独立可加的群决策咨询题，关键在于怎么样合成和什么时候合成。由于涉及两种数据构造(序数型和基数型)和两种合成顺序(先合成和后合成)，两两组合共有四种不同的决策程序，现通过实例分别介绍如下。例12. 2 NASA为宇宙飞船的科学实验拟定了六个可能的实验方案，它们分别是：通讯与航行实验(A1)，地面观测实验(A2)，物理化学实验(A3)，微生物实验(A4)，系统检测实验(A5) 和环境效应实验(A6)。对每一实验都要从需要性(C1)、研究性(C2)和开展性(C3)三个方面进展评价。NASA组织了六位专家(D1, D2, D3, D4, D5, D6)对方案施行调查，后因实验时间和条件的限制，通讯航行实验的方案被先行淘汰而退出了选择程序。其评定结果为：D1C1C2C3D2C1C2C3D3C1C2C3A2533A2344A2344A3212A3221A3112A4344A4535A4535A5455A5452A5451A6121A6113A6223D4C1C2C3D5C1C2C3D6C1C2C3A2413A2444A2155A3231A3122A3312A4545A4555A4544A5324A5332A5433A6152A6213A6221显然，这是一个序数型的多属性群决策咨询题，下面是两种不同的决策程序。(1) 先综合意见，后统一求解关于被调查的每一种属性Cj，j = 1,2,l，我们有以下序列矩阵其中矩阵元素1,2,n表示决策者k对方案Ai在属性 j上所排的名次。采纳任何一种社会选举方法，如Borda方法，可确定各方案关于属性j 的优劣次序。本例中，属性C1的序列矩阵为：C1D1D2D3D4D5D6A2533441A3221213A4355555A5444334A6112122现采纳Borda记分法求解，令排名第一至第五位的分值分别为4, 3, 2, 1, 0，可得分值矩阵C1D1D2D3D4D5D6C1DA2022114A210A3334342A319A4200000A42A5111221A58A6443433A621故各方案关于属性C1的优劣次序为：。类似地，可求得各方案关于属性C2和C3的优劣次序分别为：，。故各方案的综合序列矩阵为：C1C2C3A2334A3211A454.55A544.53A6122矩阵中的分值4.5表示方案4和方案5在属性C2上并列第四和第五的位置。然后计算加权的一致性矩阵，式中当方案排在第j位时，；否则。从而有： ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w1+w2w30A3w2+w3w1000A40000.5w2w1+0.5w2+w3A500w3w1+0.5w20.5w2A6w1w1+w2000设w = (0.2, 0.3, 0.5)，则 ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A2000.50.50A30.80.2000A40000.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000采纳匈牙利方法可解得其最大分配为： ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.50.50A30.80.2000A40000.150.85A5000.50.350.15A60.20.8000结论：A3 A6 A5 A2 A4。(2) 先个别求解，后综合决策每一位决策者Dk 将采纳本人选定的调查属性(C1,C2,Clk )和属性权值 (w1,w2,wlk )对方案进展独立评价。本例中调查属性已被确定为(C1,C2,C3)，但权向量能够自由设计。设决策者D1选用的权向量为w1 = (0.2, 0.3, 0.5)，则其个人的序列矩阵、加权一致性矩阵和排序结果分别为：D1C1C2C3A2533A3212A4344A5455A6121 ji第一位第二位第三位第四位第五位G =A200w2+w30w1A3w2w1+w3000A400w1w2+w30A5000w1w2+w3A6w1+w3w2000 ji第一位第二位第三位第四位第五位A2000.800.2A30.30.7000A4000.20.80A50000.20.8A60.70.3000故决策者D1的排序结果为：A6 A3 A2 A4 A5。类似地，我们有D2：w2 = (0.3, 0.3, 0.4) A6 A3 A2 A5 A4 或 A6 A3 A4 A2 A5。D3：w3 = (0.2, 0.4, 0.4) A3 A6 A4 A2 A5D4：w4 = (0.3, 0.4, 0.3) A2 A5 A3 A4 A6D5：w5 = (1/3, 1/3, 1/3) A3 A6 A5 A2 A4D6：w6 = (0.3, 0.2, 0.5) A6 A3 A5 A4 A2由于决策者D2 给出了两个不同的排队顺序，故分别综合如下(a) 故方案的陈列顺序为：A3 A6 A2 A5 A4。(b) 故方案的陈列顺序为：A3 A6 A2 A4 A5。例12. 3 某专家组正负责优秀论文的审评与选拔工作。该专家组由三位专家组成，记为D1, D2, D3，待审的论文为五篇，记为A1, A2, A3, A4, A5。评选工作分两步进展：第一步由每一位专家对论文独立考核，考核指标为理论价值、有用价值和难易程度三个方面，记为C1, C2, C3，其相对重要性商定为0.4, 0.4, 0.2。考核结果以计分的方式(而不是以排序的方式)给出。计分标准为10分制：特别好计10分，优秀计9分，良好计7分，一般计5分，较差计3分，特别差计1分，特别差计0分。第二步由专家组集中各位专家的意见，以构成最后的决议。专家的计分结果如下表所示：D1C1C2C3D2C1C2C3D3C1C2C3A1579A1559A1777A27107A2977A29105A3753A3535A3535A4355A4157A4559A5997A5975A5977标准方式为：标准矩阵为：D1C1C2C3D2C1C2C3A10.34260.41830.6167A10.34260.39900.5947A20.47960.59760.4796A20.61670.55870.4626A30.47960.29880.2056A30.34260.23940.3304A40.20560.29880.3426A40.06850.39900.4626A50.61670.53780.4796A50.61670.55870.3304D3C1C2C3A10.43330.45960.4626A20.55710.65650.3304A30.30950.19690.3304A40.30950.32830.5947A50.55710.45960.4626(1) 先综合意见，后统一求解首先计算综合的标准性决策矩阵：其结果为DC1C2C3A10.37280.42560.5580A20.55110.60420.4927A30.37720.24500.2888A40.19450.34200.4666A50.59680.51870.4242然后计算加权的标准性决策矩阵：D = dij = wjdij，w = (0.4, 0.4, 0.2)，其结果为 DC1C2C3A10.14910.17020.1116A20.22040.24170.0985A30.15080.09800.0578A40.07780.13680.0933A50.23870.20750.08481简单加权平均法： DC1C2C3A10.14910.17020.11160.4309A20.22040.24170.09850.5606A30.15080.09800.05780.3066A40.07780.13680.09330.3079A50.23870.20750.08480.5310结论：A2 A5 A1 A4 A3。2折衷算法：理想解： A+ = () = (0.2390, 0.2417, 0.1116)；反理想解：A= () = (0.0778, 0.0980, 0.0578)；与理想解间隔：= (0.1149, 0.0228, 0.1770, 0.1932, 0.0434)；与反理想解间隔：= (0.1149, 0.2065, 0.0730, 0.0526, 0.1965)；综合效用值：= (0.5000, 0.9005, 0.2920, 0.2140, 0.8191)。结论：A2 A5 A1 A3 A4。(2) 先个别求解，后综合决策1简单加权平均法：首先由每位专家独立评价，其中对D1而言，其评价过程为D1C1(0.4)C2(0.4)C3(0.2)A10.34260.41830.61670.4277A20.47960.59760.47960.5268A30.47960.29880.20560.3525A40.20560.29880.34260.2703A50.61670.53780.47960.5577 D1：A5 A2 A1 A3 A4类似地，能够求出D2：A2 A5 A1 A3 A4D3：A2 A5 A1 A4 A3然后采纳社会选举方法，如Borda方法，求出专家组综合排序结果。其过程为DD1D2D3A12226A234411A31102A40011A543310结论：A2 A5 A1 A3 A42折衷算法：专家D1的加权标准矩阵及评价过程为D1C1C2C3A10.13700.16730.1233A20.19180.23900.0959A30.19180.11950.0411A40.08220.11950.0685A50.24670.21510.0959理想解： A+ = (0.2467, 0.2390, 0.1233)；反理想解：A= (0.0822, 0.1195, 0.0411)；与理想解间隔：= (0.1311, 0.0584, 0.1551, 0.2106, 0.0364)；与反理想解间隔：= (0.1097, 0.1711, 0.1096, 0.0274, 0.1980)；综合效用值：= (0.4556, 0.7455, 0.4140, 0.1151, 0.8447)。D1：A5 A2 A1 A3 A4。类似地，能够求出专家D2和D3的排序结果为：D2：A2 A5 A1 A3 A4；D3：A2 A5 A1 A4 A3。然后采纳Borda的记分法综合三位专家的意见，其决策过程为：DD1D2D3A12226A234411A31102A40011A543310故导致结论：A2 A5 A1 A3 A4。显然，上述方法在本例中表现出良好的一致性，其共同结论为：A2 A5 A1 A3 A4。练习(1) 在西方的选举制度中，常见的选举方法有以下几种。1。简单多数原则：不管有多少候选人，每个选民只投一票，得票最多的候选人不管是否超过半数都将胜出。2。绝对多数原则：对选民来说，依然每人只投一票，但候选人得票必须超过半数才能胜出。假如第一轮投票无人得票超过半数，则需改用多轮投票或两轮投票方式来决出成功者。其中，多轮投票方式是每一轮将得票最小的候选人淘汰，投票不断接着到产生得票超过半数的候选人为止。而两轮投票方式则是由第一轮投票中得票数最多的两名候选人参加第二轮的投票选举。Dodgson通过以下的三个例子指出了上述选举方法的不合理性。假定11位选民各自对4位候选人按照优劣次序排队如下：例1 选民 序列12345678910111AAABBBBCCCD2CCCAAAAAAAA3DDDCCCCDDDC4BBBDDDDBBBB例2 选民 序列12345678910111BBBBBBAAAAA2AAAAAACCCDD3CCCDDDDDDCC4DDDCCCBBBBB例3 选民 序列12345678910111BBBCCCCDDAA2AAAAAAAAABD3DCDBBBDCBDC4CDCDDDBBCCB假如只有一名候选人能够胜出，试分析上述选举方法的选举结果是否能真正代表民意。(2) 奥林匹克运动会竞赛地点确实定是采纳练习一所介绍的哪一种选举方式？(3) 有一种常见于公司董事会和大学校董会选举的选举方式，称为累计投票方式，即每位选民掌握的票数不是一票，而是与待选董事会成员的数目相等，选民能够将本人的票数分散给不同的董事候选人，也能够将票数集中投给某一位董事候选人。请咨询该选举方式有什么特别意义？(4) 某家庭拟购置一部自用轿车，父母和子女(D1, D2, D3, D4)四个人一起去车市理解行情。在事先商定的价格范围内选择了三款轿车(A1, A2, A3)作详细比拟，主要包括车形设计(C1)，自动化程度(C2)，功能价格比(C3)，油耗(C4)，温馨性(C5)，平稳性(C6)和售后效劳(C7)等七方面的要素。为了能充分听取大家的意见，决定由每一个人按照本人的认识和偏好将对三款轿车的评价用一定的方式表示出来。其评价结果见下表：D1C1C2C3C4C5C6C7A1先进特别高一般大特别好好特别好A2一般高较高较小一般特别好好A3较先进一般高较大好较差一般D2C1C2C3C4C5C6C7A1先进特别高较高大好特别好好A2较先进高一般小一般特别好好A3一般一般高较大好差一般D3C1C2C3C4C5C6C7A1先进高一般较大特别好好好A2一般高较高小一般特别好好A3较先进一般较高较大特别好较差一般D4C1C2C3C4C5C6C7A1先进特别高高大特别好特别好好A2较先进高较高较小一般好好A3先进一般高大好较差较差试依照上述评价结果确定三款车型的优劣次序。(5) 假如上例中的评价结果改为以下方式，试重新确定三款车型的优劣次序。D1C1C2C3C4C5C6C7A1第一第一第三第三第一第二第一A2第三第二第二第一第三第一第二A3第二第三第一第二第二第三第三D2C1C2C3C4C5C6C7A1第一第一第二第三第一第一第一A2第二第二第三第一第一第一第一A3第三第三第一第二第三第三第三D3C1C2C3C4C5C6C7A1第一第一第三第一第一第二第一A2第三第一第一第二第三第一第一A3第二第三第一第二第一第三第三D4C1C2C3C4C5C6C7A1第一第一第一第二第一第一第一A2第三第二第三第一第三第二第一A3第一第三第一第二第二第三第三