杆件的扭转理论天

3-1 3-1 直杆的扭转直杆的扭转基本概念基本概念（1）何谓直杆扭转）何谓直杆扭转直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向相直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向相反的力矩（扭矩）作用，则发生扭转。反的力矩（扭矩）作用，则发生扭转。（2）一般直杆扭转变形的特点一般直杆扭转变形的特点 截面发生扭转变形截面发生扭转变形截面有可能发生翘曲截面有可能发生翘曲（3）直杆扭转划分直杆扭转划分圆断面杆的扭转、非圆断面杆的扭转圆断面杆的扭转、非圆断面杆的扭转 薄壁杆件扭转薄壁杆件扭转 开口、闭口薄壁杆件扭转开口、闭口薄壁杆件扭转（2）按杆件断面形状划分为：）按杆件断面形状划分为：（1）按翘曲变形是否受约束划分：）按翘曲变形是否受约束划分：自由扭转与非自由扭转自由扭转与非自由扭转u自由扭转自由扭转（纯扭转）：（纯扭转）：u非自由扭转非自由扭转（约束扭转）：（约束扭转）：如果一等断面杆仅在两端受到扭矩作如果一等断面杆仅在两端受到扭矩作用，并不受其他任何约束，杆在扭转用，并不受其他任何约束，杆在扭转时可以自由变形。翘曲一致。时可以自由变形。翘曲一致。如果杆在受到扭矩作用后，由于支座如果杆在受到扭矩作用后，由于支座或其他约束存在使它在扭转时不能自或其他约束存在使它在扭转时不能自由变形由变形。翘曲不一致。翘曲不一致dx式中式中 为扭矩，为扭矩，为为断面半径，断面半径，为为断面的断面的“极惯性矩极惯性矩”断面最大剪应力为：断面最大剪应力为：tmaxM rJ tM2rd/432Jd/（3-1）tMddxGJ 设设 为杆的扭角，则单位长为杆的扭角，则单位长度的扭角度的扭角 即扭矩为：即扭矩为：d/dx （3-2）圆断面杆的自由扭转圆断面杆的自由扭转研究杆件的扭转问题就是在给定的扭矩下求出杆件的扭转应力与研究杆件的扭转问题就是在给定的扭矩下求出杆件的扭转应力与变形（扭角）。满足刚周边假定条件。如下图：最简单的等断面变形（扭角）。满足刚周边假定条件。如下图：最简单的等断面圆杆圆杆 Mt Mt xlmax 如图：内径为和外径为如图：内径为和外径为 d=2r 和和 D=2R的空心的空心圆断面圆断面 如图可见断面剪力分布如图可见断面剪力分布极惯性矩为：极惯性矩为：JDd 4432ttrM rM RJJ R及及 JDdD t 4431324式中式中 为薄壁管壁厚中心线的直径；为薄壁管壁厚中心线的直径；为壁厚为壁厚D(Dd)/12t(Dd)/2内径及外径处的内径及外径处的剪应力分别为：剪应力分别为：对于薄壁杆件，对于薄壁杆件，r 与与R相差不大，可近似认为相差不大，可近似认为 与与 差不多相等差不多相等r R 由此：由此：式中式中 为薄壁管壁中心线所包围的面积为薄壁管壁中心线所包围的面积ttMMD ttJA 122AD/214剪流为：剪流为：Rr（3-3）（3-4）非圆断面的自由扭转非圆断面的自由扭转如果杆件断面不是圆形，则扭转变形特征如果杆件断面不是圆形，则扭转变形特征 有所不同，其主有所不同，其主要差别在扭转时段面不在保持要差别在扭转时段面不在保持 平面而发生平面而发生“翘曲翘曲”(warping)翘曲问题翘曲问题与圆截面自由扭转的最大区别：与圆截面自由扭转的最大区别：在自由扭转条件下，因杆扭转不受阻碍，所以各段面在自由扭转条件下，因杆扭转不受阻碍，所以各段面 的翘的翘曲都相同，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且曲都相同，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且仍为直线。仍为直线。但翘曲是但翘曲是自由的自由的应力分布不同应力分布不同如图：狭长矩形断面（矩形段面长边或高度如图：狭长矩形断面（矩形段面长边或高度h与短边或高度与短边或高度t之比为大于之比为大于5）的扭率：）的扭率：tMGJ 31Jht3 tmaxM tJ 称为断面的称为断面的“扭转惯性矩扭转惯性矩”变形变形断面在长边周界中点的剪应力最大，为：断面在长边周界中点的剪应力最大，为：狭长矩形断面的变形及应力分布狭长矩形断面的变形及应力分布尺度比：尺度比：应力分布及最大剪应力应力分布及最大剪应力t23Mht 3-2 薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件的自由扭转(a)(e)(d)(c)(b)薄壁杆件的定义薄壁杆件的定义薄壁杆件的划分：薄壁杆件的划分：开口薄壁杆件开口薄壁杆件闭口薄壁杆件闭口薄壁杆件本章学习的目的：本章学习的目的：求解位移及应力求解位移及应力开口薄壁杆件的自由扭转开口薄壁杆件的自由扭转 一等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发生自由扭转。一等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发生自由扭转。在自由扭转时，杆件断面不能保持平面而发生翘曲。如图（在自由扭转时，杆件断面不能保持平面而发生翘曲。如图（a）：工字）：工字形梁扭转时的变形情况。形梁扭转时的变形情况。可见梁的上下翼板相互转动了一个角度（即扭角），梁的断面不再为可见梁的上下翼板相互转动了一个角度（即扭角），梁的断面不再为平面，上下翼板向沿相反的方向发生翘曲。平面，上下翼板向沿相反的方向发生翘曲。薄壁杆件在扭转时断面虽然发生翘曲，但在小变薄壁杆件在扭转时断面虽然发生翘曲，但在小变形情况下可以假定杆件扭转后在其原来平面中的投影形情况下可以假定杆件扭转后在其原来平面中的投影形状与原断面形状相同，即形状与原断面形状相同，即 “刚周边假定刚周边假定”。(b)变形的基本假定条件变形的基本假定条件刚周边假定：刚周边假定：假定条件对分析产生的影响：假定条件对分析产生的影响：在计算杆件断面在其平面内的扭转位移时可把断面当作一在计算杆件断面在其平面内的扭转位移时可把断面当作一刚体一样发生平面运动，断面在扭转时各组成部分的扭角相同。刚体一样发生平面运动，断面在扭转时各组成部分的扭角相同。t1t2t3tMMMM，整个工字形断面的扭矩满足力的平衡条件整个工字形断面的扭矩满足力的平衡条件截面的力平衡条件截面的力平衡条件123截面的变形条件截面的变形条件工字形断面在扭转后的变形情况工字形断面在扭转后的变形情况:123ttttMMMM截面的力平衡条件截面的力平衡条件123123ttttMMMMGJGJGJGJ式中：式中：311131thJ 322231thJ 333331thJ，；变形条件变形条件ttJ MMJ 11每个狭长矩形承担的扭矩每个狭长矩形承担的扭矩提示提示:截面中的扭矩分布特点：按抗扭抗刚度比进行分配，截面中的扭矩分布特点：按抗扭抗刚度比进行分配，刚度较大的矩形，承受较大的扭矩。刚度较大的矩形，承受较大的扭矩。ittiJ MMJ ttttMMMM123ttM JMJ 11t2t2M JMJ t3t3M JMJ 23ttttM JM JM JMJJJ1截面的总扭转惯性矩截面的总扭转惯性矩JJJJh th th t 3331231 12 23 3111333n3i ii 1aJht3 推广到一般（推广到一般（n个狭长矩形）：考虑到实际个狭长矩形）：考虑到实际中薄壁型钢断面的各组成部分在连接处通过中薄壁型钢断面的各组成部分在连接处通过圆角连成一体，因此刚度略为增加，所以惯圆角连成一体，因此刚度略为增加，所以惯性矩一般公式为：性矩一般公式为：hi与与ti分别为第个狭长矩形断面的长边与短分别为第个狭长矩形断面的长边与短边的长度，系数边的长度，系数 与型钢断面形状有关与型钢断面形状有关 (3-9)截面上的应力分布：截面上的应力分布：tM tJ1 1max11截面上截面上最大应力最大应力出现在厚度最大的矩形的长边中点处。出现在厚度最大的矩形的长边中点处。右图为工字形断面在自由扭转时的右图为工字形断面在自由扭转时的 剪应力分布情况剪应力分布情况其分布规律为：其分布规律为：沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线处为零。处为零。tJ MJ1tJ 11tM tJ 1ti it iiiM tM tJJmaxlsJt ds 3013 任意曲线形状的开口薄壁断面亦可以看作任意曲线形状的开口薄壁断面亦可以看作 是狭长矩是狭长矩形断面组合的结果（图形断面组合的结果（图a），故其扭转惯性矩亦可用公式），故其扭转惯性矩亦可用公式（3-9）推广得到：）推广得到：式中式中s s为沿薄壁断面中心线的为沿薄壁断面中心线的坐标坐标;s1;s1为薄壁断面为薄壁断面的长度。的长度。开口薄壁断面的扭转惯性矩与壁厚的三次方成正比开口薄壁断面的扭转惯性矩与壁厚的三次方成正比例例,因此壁厚的大小对扭转惯性矩的影响甚为显著，即因此壁厚的大小对扭转惯性矩的影响甚为显著，即开口薄壁杆件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄开口薄壁杆件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄壁增加，抗扭能力大大增加。壁增加，抗扭能力大大增加。：ts1杆件在扭转时断面中的剪应力将沿着断面形成剪应力流。杆件在扭转时断面中的剪应力将沿着断面形成剪应力流。用用 表示。表示。因为壁厚很小，故可认为剪应力沿壁厚不变，因为壁厚很小，故可认为剪应力沿壁厚不变，闭口薄壁杆件的自由扭转闭口薄壁杆件的自由扭转f 其主要特征是：其主要特征是：ft t如图：如图：一等断面的闭口薄壁杆件，两端受到扭矩一等断面的闭口薄壁杆件，两端受到扭矩 M t作用而发生扭转。作用而发生扭转。X轴为型心轴。轴为型心轴。MtMt0 dxxf0s dsf薄壁杆件自由扭转时，断面上任意点的剪应力与壁厚的乘积始薄壁杆件自由扭转时，断面上任意点的剪应力与壁厚的乘积始终不变。终不变。由平衡条件：由平衡条件：dxxdsyzxo现杆件中取出现杆件中取出 的一微块（如图），在微块的断面上有剪流的一微块（如图），在微块的断面上有剪流 dxds 及及fdsfdxdsdxxff ffds dxs 剪力流等于常数剪力流等于常数o杆件断面中剪力流对断面上任一点的力矩应等于杆件断面中剪力流对断面上任一点的力矩应等于扭矩，现在把剪流对断面与扭矩，现在把剪流对断面与x轴的交点（左图中轴的交点（左图中O点）取矩，则有：点）取矩，则有：tMrdsffrds Ards2 tMAf 2AMtft2 式中式中r为剪流为剪流f到到O 点的垂直距离；点的垂直距离；rds为断面上为断面上 ds长度与长度与O点之间所形点之间所形成的三角形面积的两倍；成的三角形面积的两倍；rds沿断面周长的积分则为断面中心线所围成沿断面周长的积分则为断面中心线所围成的面积的两倍，我们用的面积的两倍，我们用2A表示之，即表示之，即这就是闭口薄壁杆件自由扭转时的剪流计算公式，称为这就是闭口薄壁杆件自由扭转时的剪流计算公式，称为 布雷特（布雷特（Bredt）公式。公式。于是得于是得 或或rfdsA(3-12)(3-13)以下用材料力学中的以下用材料力学中的“单位力法单位力法”推导联系扭角与剪应力的推导联系扭角与剪应力的“环流方环流方程程”将两端受扭矩作用的闭口薄壁杆件叫做第一状态，如图将两端受扭矩作用的闭口薄壁杆件叫做第一状态，如图（a）；同样这根杆两端受单位扭矩作用时叫做第二状态，如图（同样这根杆两端受单位扭矩作用时叫做第二状态，如图（b）。）。dsdx 为了计算应变能，在杆中考虑为了计算应变能，在杆中考虑 的微块，的微块，dxds MtMt11lds (a)(b)于是于是第二状态外力第二状态外力（单位扭矩）对（单位扭矩）对第一状态变形（扭角）第一状态变形（扭角）的的功功 1则有应变能为则有应变能为 :dx=第二状态的内力对第一状态应变的功即第二状态的内力对第一状态应变的功即应变能应变能。为第二状态中的剪应力为第二状态中的剪应力;为第一状态杆中的剪切角为第一状态杆中的剪切角 ldxtds00 At2/10 G/lldsAGldxAGdsdxtds00022 dsAGl 21所以所以：于是得于是得：或或此式为此式为环流方程式环流方程式。将（。将（3-13）式代入后，即得闭口薄壁自由扭转的）式代入后，即得闭口薄壁自由扭转的扭率为：扭率为：(3-14)dsds2AG2AG1 1闭口薄壁自由扭转的扭率为：闭口薄壁自由扭转的扭率为：闭口薄壁自由扭转的剪应力：闭口薄壁自由扭转的剪应力：AtMAMtftt2,2dsAG21024221GJMtdsGAMdsAtMAGttttdsAJ204环流方程式环流方程式闭口薄壁断面闭口薄壁断面的扭转惯性矩的扭转惯性矩(3-15)(3-16)batbatbtaabJ 22202224对于宽为对于宽为a，高为，高为b，厚度为，厚度为t 的盒形薄壁断面的盒形薄壁断面,由（由（3-16）式得：式得：a(3-17)bt对于直径为对于直径为D1，壁厚为，壁厚为t的圆管，由（的圆管，由（3-16）得）得t tD D4 4t tD D4 4D D4 4J J3 31 11 12 21 10 0左边左边ABCF为第为第 区，剪流为区，剪流为右边右边CDEF为第为第 区，剪流为区，剪流为213fff 将其分为两区：将其分为两区：方向如图，于是两个区公共壁（即方向如图，于是两个区公共壁（即CF）中的剪流为（方向向上）中的剪流为（方向向上）任取图中任取图中 O点，建立力矩等于扭矩点，建立力矩等于扭矩 Mt的方程式：的方程式：1f2f左图为双闭室断面。设此双闭室断面的薄壁左图为双闭室断面。设此双闭室断面的薄壁杆件在扭矩杆件在扭矩Mt作用下发生自由扭转，此时，作用下发生自由扭转，此时，断面中每一段的剪流断面中每一段的剪流 常数的结论常数的结论仍然成立。下面计算这个剪力流大小。仍然成立。下面计算这个剪力流大小。tCFCDEFFABCMrdsffrdsfrdsf 2121 tf 式中式中 为剪流到点为剪流到点O的垂直距离；积分号下面字母为积分的路线。的垂直距离；积分号下面字母为积分的路线。上式可改写为：上式可改写为：AFBC ED1f2fO1212121212FABCCDEFCFCFFABCCFCDEFCFFABCCFCDEFFCtf rdsf rdsf rdsf rdsfrdsrdsfrdsrdsfrdsrdsfrdsrdsfrdsfrdsM 12AtMfAfA22112222A可得：可得：(3-18)AFBC D1f2fOE补充方程式：补充方程式：变形的基本条件变形的基本条件 扭率相等扭率相等213fff 此方程有两个未知数和，所以不能求解，为此列补充方程式。此方程有两个未知数和，所以不能求解，为此列补充方程式。AFBCD1f 2fOE1f2f令令 ，可得：可得：联立方程（联立方程（3-18）和（）和（3-19），即可求出），即可求出 ，和扭率。和扭率。式中式中 为为CDEF段的壁厚段的壁厚同理对第同理对第 区有：区有：式中式中 为为FABC段的壁厚；段的壁厚；为为CF 段的壁厚。段的壁厚。FABCCFdstffdstfGA321111121 CDEFFCdstffdstfGA321222221 2t 21 FCCDEFCFFABCdstffdstfAdstffdstfA321222321111113t1t 1f2f(3-19)现具体计算现具体计算 一简单的例子。如图所示一简单的例子。如图所示的等厚度双闭室断面，这时公式（的等厚度双闭室断面，这时公式（3-18）将为：将为：tMfafa 221222 2212aMfft tafftafAtafftafA2122113131 2221133ffffff 2214aMfft 或或（3-20）公式（公式（3-19）将为：）将为：或或（3-21）公式（公式（3-21）给出）给出 ，代入（，代入（3-20）中，即得：）中，即得：21ff 1f2ftaa/2a0213 fff因而，断面中面壁上的剪流为因而，断面中面壁上的剪流为 。此杆扭率为：此杆扭率为：3830taJ 这个扭转惯性矩与宽为这个扭转惯性矩与宽为2a，高为，高为a，厚度为，厚度为t的单的单闭室断面得扭转惯性矩相同，这是因为所论的双闭室断面得扭转惯性矩相同，这是因为所论的双闭室断面的中间壁上没有剪应力，因此中间壁在闭室断面的中间壁上没有剪应力，因此中间壁在扭转中不起作用，所以其扭转惯性矩就和上述的扭转中不起作用，所以其扭转惯性矩就和上述的单闭室断面一样。单闭室断面一样。0322183342132GJMtGaMtaaMGataGAfttt 此双壁室断面的此双壁室断面的扭转惯性矩为：扭转惯性矩为：薄壁杆断面有两个及两个以上以上的闭口形成，求薄壁杆断面有两个及两个以上以上的闭口形成，求出自由扭转时的剪力流、扭率、断面扭转惯性矩出自由扭转时的剪力流、扭率、断面扭转惯性矩1、建立断面中、建立断面中每一室的剪流的力矩之和每一室的剪流的力矩之和等于等于扭矩扭矩的方程式；的方程式；2、建立各室扭率相同的方程式、建立各室扭率相同的方程式.3、联立求解剪流、联立求解剪流 和扭率和扭率 。4、在最后得出了扭率之后，将扭率写成、在最后得出了扭率之后，将扭率写成的式子，式中的式子，式中 就是所论断面的扭转惯性矩。就是所论断面的扭转惯性矩。0/GJMt0Jf20422bsiedAJBHbdBbttttt A=BH-bd 由于在同样的外形及壁厚情况下闭口断面比开口断面有更大的抗由于在同样的外形及壁厚情况下闭口断面比开口断面有更大的抗扭刚度，所以如果杆件断面既有闭口又有开口部分，则在计算扭转惯扭刚度，所以如果杆件断面既有闭口又有开口部分，则在计算扭转惯性矩时常可以不计开口部分的面积。单壁的集装箱断面性矩时常可以不计开口部分的面积。单壁的集装箱断面,如图（如图（a）就）就是这种例子。为使弦侧在扭转中发挥作用，目前有将集装箱船做成双是这种例子。为使弦侧在扭转中发挥作用，目前有将集装箱船做成双壁的，如图（壁的，如图（b）。）。bdBtbtstitetdH如图（如图（b），断面成了多闭式的，其抗扭刚度提高很多。计算时可将），断面成了多闭式的，其抗扭刚度提高很多。计算时可将其中的纵绗等略去而近似当作一闭室来处理。其中的纵绗等略去而近似当作一闭室来处理。(a)(b)抗扭弯抗扭弯矩为：矩为：式中式中(3-22)3.1 计算图示薄壁断面的扭转惯性矩（单位：计算图示薄壁断面的扭转惯性矩（单位：mm）a a）b b）433334.268.088.0201653131cmthJiii433336.602.1151352.1703131cmthJiii4 45 52 22 20 02 22 22 20 00 0t t2 2t tt tcmcm10102.7752.775131.68131.683023.23023.24 4t tdsds4A4AJ J131.68131.680.8)0.8)(20(202 22 240401.61.61 1t tdsds3023.2cm3023.2cm0.8)0.8)(20(2041.641.64040A At tdsds4A4AJ J,GJGJM Mt tdsdsG G4A4AM Mdsds2At2AtM M2AG2AG1 1闭口薄壁杆件：闭口薄壁杆件：3.2 设有两根同样长度的直杆，两端手扭矩发生自由扭转，一设有两根同样长度的直杆，两端手扭矩发生自由扭转，一杆为闭口断面，另一杆为开口断面，如下图。一直杆为闭口断面，另一杆为开口断面，如下图。一直a=40cm，t=2cm，此两杆在相同的扭矩作用下扭角相差多少倍？，此两杆在相同的扭矩作用下扭角相差多少倍？3 30 00 0(倍倍)2 24 44 40 03 3t ta a4 43 3a at t3 34 4t ta aJ JJ JG GJ JM Mt tG GJ JM Mt t两两者者扭扭转转角角之之比比(4 4a a)t t3 31 1t th h3 31 1扭扭转转惯惯性性矩矩J Jb b)为为开开式式薄薄壁壁断断面面，t ta at t4 4a a)4 4(a at td ds s4 4A A面面，扭扭转转惯惯性性矩矩J J解解：a a)为为闭闭式式薄薄壁壁断断2 22 22 22 23 33 30 00 0a ab ba ab b3 3i i3 3i ii i3 32 22 22 20 03.3 比较正方形管与圆管截面的杆件（如下图），若二者的壁厚及断面面积比较正方形管与圆管截面的杆件（如下图），若二者的壁厚及断面面积均相同，在受到同样大小的扭矩作用时，哪一个杆件的均相同，在受到同样大小的扭矩作用时，哪一个杆件的扭转剪应力大扭转剪应力大，大，大多少倍？多少倍？倍应力大，大扭矩相同时正方形管剪倍积相同正方形管与圆管截面面）（）（圆方方圆圆方圆方238.1)(238.14)2(4)2()(4422AA222222222tRattRtRRatatRatRtAMttAMtAMtftaata/2a/21f 2f3f3.5 计算下图所示三闭室薄壁断面的扭转惯性矩，假定壁计算下图所示三闭室薄壁断面的扭转惯性矩，假定壁厚厚t为常数。为常数。解：假定见刘方向为图示方向，各点编号如图解：假定见刘方向为图示方向，各点编号如图ACBDHEFGtDEFGGDGHDGCDHCCHHABCDEFGGHDGCDCHHABCMfffAfAfAfArdsfrdsfrdsfrdsfrdsfrdsfrdsfrdsfrdsfrdsfrdsfrdsfrdsfrdsffrdsfrdsffrdsf)2(2222)()()()()(32113322113213322221132322211o1、建立断面中每一室的剪流的力矩之和等于扭矩的方程式建立断面中每一室的剪流的力矩之和等于扭矩的方程式23121AAA（1）2、建立各（、建立各（、）室扭率相同的方程式）室扭率相同的方程式aAffaAfffaAffdstfdstfdstfdstfdstfdstfdstfGDDGHCCH12323121213212333122211343)()()(G G2A2A1 1G G2A2A1 1G G2A2A1 13 32 21 12223172143aMfaMfftt（2）3、(1)(2)联立求解联立求解taJGJMtaGMaMtaaMtaGadstfdstfttttCH3003222211514145)1441433(1)(G G2A2A1 11 14、求扭率及断面的扭转惯性矩、求扭率及断面的扭转惯性矩aata/2a/21f 2f1f ACBHGFED221332211231231321222222,2,aMffMfAfAfAaAAAMMAMfMMMMtttt又由对称性可知（1）解：解：212121211122211243)()(AffAffdstfdstfdstfdstfdstfDGHCCHG G2A2A1 1G G2A2A1 12 21 11、2、（2）利用结构对称性利用结构对称性222172143aMfaMftt3、(1)(2)联立求解联立求解taJGJMtaGMaMtaaMtaGadstfdstfttttCH3003222211514145)1441433(1)(G G2A2A1 11 14、求扭率及断面的扭转惯性矩、求扭率及断面的扭转惯性矩)(,:)(,0:0)2(2)()()()()()1(201000232302000vTvEIAvvEIvlxvTvEIAvMxllqqdxkxshkEIkqkxshkxEIkNchkxEIkMshkxkvvxll 边界条件其中2-8习题习题