对面积的曲面积分的定义

对面积的曲面积分的定义对面积的曲面积分的定义 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 性质性质则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,)3(21 ;),(),()1(dSzyxfkdSzyxkf dSzyxgzyxf),(),()2(;),(),(dSzyxgdSzyxf.),(),(),(21 dSzyxgdSzyxfdSzyxf特别特别，的面积。的面积。dS时，时，当当 1),(zyxf计算法计算法);,(,(),(),(:yxzyxfzyxfyxzz ;),(),(122dxdyyxzyxzdSyx .xyDxoy面投影，得面投影，得向向将曲面将曲面 ;1),(,),(22dxdyzzyxzyxfdSzyxfxyDyx );,(:.1yxzz 若曲面若曲面则则三代：三代：二换：二换：一投：一投：;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(),(:.2zxyy 若曲面若曲面);),(,(),(),(:zzxyxfzyxfzxyy ;),(),(122dxdzzxyzxydSzx .xzDxoz 面投影，得面投影，得向向将曲面将曲面 则则三代：三代：二换：二换：一投：一投：.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(.3zyxx ：若曲面若曲面则则三代：三代：);,),(),(),(:zyzyxfzyxfzyxx 二换：二换：;),(),(122dydzzyxzyxdSzy 一投：一投：.yzDyoz面投影，得面投影，得向向将曲面将曲面 注意注意：这里曲面方程均是：这里曲面方程均是单值函数单值函数。一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系四、小结四、小结一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.上侧上侧下侧下侧外侧外侧决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.内侧内侧xyzoxyzoxzyo上侧上侧下侧下侧左侧左侧右侧右侧前侧前侧后侧后侧曲面的投影曲面的投影面上的投面上的投在在规定规定 ,xoySS 在有向曲面在有向曲面上取一小块上取一小块曲面曲面.0cos00cos)(0cos)()(时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 为为影影)(xyS 上侧上侧 下侧下侧xy)(S xyz),(:yxzz o n n面面在在 xozS 在有向曲面上取一小块在有向曲面上取一小块.0cos00cos)(0cos)()(时时当当时时当当时时当当 xzxzxzS.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xz 为为上的投影上的投影)(xzS 曲曲面面 S,右侧右侧 左侧左侧面面在在 yozS 在有向曲面上取一小块在有向曲面上取一小块.0cos00cos)(0cos)()(时时当当时时当当时时当当 yzyzyzS.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中yz 为为上的投影上的投影)(yzS 曲曲面面 S,前侧前侧 后侧后侧概念的引入概念的引入实例实例:流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.Av0n A.cos|0nvAvA 流量流量(1 1)流流速速场场为为常常向向量量 v,有有向向平平面面区区域域 A(面面积积为为 A)。求求单单位位时时间间流流过过 A 的的流流体体的的质质量量(设设密密度度为为 1 1).xyzo 是速度场中的一片有向曲面是速度场中的一片有向曲面,函数函数 ),(),(),(zyxRzyxQzyxP 都在上连续都在上连续,求在单位时间内流向指定侧的流体的求在单位时间内流向指定侧的流体的 质量质量.1.1.分割分割把把曲曲面面分分成成n小小块块is (is 同同时时也也代代表表第第i小小块块 曲曲面面的的面面积积),(2 2)设设稳稳定定流流动动的的不不可可压压缩缩流流体体(假假定定密密度度为为 1 1)的的速速度度场场 由由 ),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxv 给给出出,xyzo 1.1.分割分割把曲面分成把曲面分成n小块小块is (is 同时也代表第同时也代表第i小块小块 曲面的面积曲面的面积),),2.2.取近似取近似在在is 上任取一点上任取一点 ),(iii ,则该点流速为则该点流速为.iv法向量为法向量为iniS),(iii ivin,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 该点处曲面的单位法向量该点处曲面的单位法向量 cos cos cos0kjiniiii ,通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流流量量的的近近似似值值为为 ).,2,1(niSnviiii ,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii 3.3.求和求和通通过过流流向向指指定定侧侧的的流流量量.1 niiiiSnviiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP)(,()(,()(,(1 4.4.取极限取极限,0 值值各小块曲面的直径最大各小块曲面的直径最大.1 niiiiSnv)(,()(,()(,(lim10 xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 定义定义 设为光滑的有向曲面设为光滑的有向曲面,函数在上有界函数在上有界,把把 分成分成 n 块小曲面块小曲面iS(iS 同时又表示第同时又表示第i块小曲块小曲 面的面积面的面积),),iS 在在xoy面上的投影为面上的投影为xyiS)(,),(iii 是是iS 上任意取定的一点上任意取定的一点,如果当各小如果当各小 块曲面的直块曲面的直径的最大值径的最大值0 时时,nixyiiiiSR10)(,(lim 存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxR在有向曲面在有向曲面 上对上对坐标坐标yx,的的曲面积分曲面积分(也称也称第二类曲面积分第二类曲面积分)记作记作 dxdyzyxR),(,即即 nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim ),(被积函数被积函数积分曲面积分曲面类似可定义类似可定义 niyziiiiSPdydzzyxP10)(,(lim),(nizxiiiiSQdzdxzyxQ10)(,(lim),(记作记作 dxdyzyxR),(,即即 组合形式组合形式:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(),(),(),(dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP 物理意义物理意义:dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),(存在条件存在条件:当当),(),(),(zyxRzyxQzyxP在有向光滑曲面在有向光滑曲面 上连续时上连续时,对坐标的曲面积分存在对坐标的曲面积分存在.性质性质:2121 .1RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(.2;下侧下侧上侧上侧;做侧做侧右侧右侧;后侧后侧前侧前侧;外侧外侧内侧内侧 dxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdzdxzyxQdydzzyxPdydzzyxP),(),(),(),(),(),(.2 xyD二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面是由方程设积分曲面是由方程 ),(yxzz 所给出的曲所给出的曲 面上侧面上侧,在在xoy面上的投影区面上的投影区域为域为xyD,函数函数),(yxzz 在在xyD上上 具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,被积函数被积函数),(zyxR在在 上连续上连续.xys)(xyzo nixyiiiiSRdxdyzyxR10)(,(lim),(,0cos,取取上上侧侧因因为为 nixyiiiiinixyiiiizRSR1010)(,(,(lim)(,(lim .)()(,xyxyiS 因此因此),(iiiz 又又直径最大值直径最大值中中为为xyi)(.),(,xyDdxdyyxzyxR xyDxys)(xyzo.),(,),(xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR上侧上侧,)()(,0cos,xyxyiS 取下侧取下侧若若 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(下侧下侧则有则有给出给出由由如果如果,),(yxzz );,(,(),(),(:yxzyxfzyxfyxzz .”号”号下侧“下侧“”号；”号；上侧“上侧“.xyDxoy面投影，得面投影，得向向将曲面将曲面 三定号：三定号：二代：二代：一投：一投：.),(,),(xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR上侧上侧 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(下侧下侧则有则有给出给出由由如果如果,),(.1yxzz 0cos 0cos 则有则有给出给出由由如果如果,),(.2zyxx yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(前侧前侧 yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(后侧后侧);,),(),(),(:zyzyxfzyxfzyxx .”号号后后侧侧“”号号；前前侧侧“.yzDyoz面投影，得面投影，得向向将曲面将曲面 三定号：三定号：二代：二代：一投：一投：0cos 0cos 则有则有给出给出由由如果如果,),(.3xzyy zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(右侧右侧注意：注意：曲面方程均是曲面方程均是单值函数单值函数.zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(左侧左侧);),(,(),(),(:zzxyxfzyxfzxyy .”号号左左侧侧“”号号；右右侧侧“.zxDzox 面投影，得面投影，得向向将曲面将曲面 三定号：三定号：二代：二代：一投：一投：0cos 0cos 特别地，在特别地，在 上恒有，上恒有，;0 ,0cos )1(Pdydzx 轴，轴，平行于平行于即即;0 ,0cos )2(Qdzdxy 轴，轴，平行于平行于即即.0 ,0cos )3(Rdxdyz 轴，轴，平行于平行于即即 计计算算 dxdyxyz,其其中中 ：1222 zyx 外外侧侧在在第第一一卦卦限限部部分分.例例1 1解解面面投投影影，得得向向将将曲曲面面 xoy 221 :yxz .0 ,0 ,1 :22 yxyxDxy上侧。上侧。dxdyxyz 上侧上侧dxdyxyz xyDdxdyyxxy)1(22xyzo111二代，三定号二代，三定号一投一投 dxdyxyz xyDdxdyyxxy)1(22 .10,20:rDxy .sin,cos ryrx xyDdrdrrr 1cossin22drrrd 1 2sin2110220 .151 xyzo111 dxdyxyz 上侧上侧dxdyxyz xyDdxdyyxxy)1(22 drdrdxdy 例例 2 2 计算计算 dxdyxyz 其中是球面其中是球面 1222 zyx 外侧在外侧在0 ,0 yx的部分的部分.解解.21两部分两部分和和分成分成把把 22111:yxz 22221:yxz oxyz111 2 1 下侧；下侧；上侧。上侧。下侧下侧上侧上侧12 xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy面面的的投投影影均均是是向向和和曲曲面面 21xoy .0 ,0 ,1 :22 yxyxDxy xyDdxdyyxxy2212 xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222面面的的投投影影均均是是向向和和曲曲面面 21xoy .0 ,0 ,1 :22 yxyxDxyoxyz111 2 1 .10,20:rDxy 下侧下侧上侧上侧12 xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyDdxdyyxxy2212 xyzdxdy xyDdrdrrr 1cossin222drrrd 1 2sin10220 .152 .sin,cos ryrx .10,20:rDxy 于是，于是，drdrdxdy oxyz111 2 1 3 2 1 解解.654321 例例3 计算计算.222dxdyzdxdzydydzx 其中其中 是长是长方体方体czbyax 0 ,0 ,0表面的外侧表面的外侧.6 xyzoabc4 5,0 :1后侧后侧 x,0 :2左侧左侧 y,0 :3下侧下侧 z,:4前侧前侧ax ,:5右侧右侧by ,:6上侧上侧cz dxdyzdxdzydydzx222 dydzx2 321222dydzxdydzxdydzx 654222dydzxdydzxdydzx.0cos ,6532 中中在在于是，于是，前侧前侧后侧后侧4122dydzxdydzx.222dxdyzdxdzydydzx dydzx2,0 :1后侧后侧 x,0 :2左侧左侧 y,0 :3下侧下侧 z,:4前侧前侧ax ,:5右侧右侧by ,:6上侧上侧cz 1 xyzoabc4 后侧后侧 0 :1 x前侧前侧 :4ax yzyzDDdydzadydz220.2bca dzdxy2 321222dzdxydzdxydzdxy 654222dzdxydzdxydzdxy 前侧前侧后侧后侧4122dydzxdydzx dydzx2.0cos ,6532 中中在在.0cos ,6431 中中在在于是，于是，dzdxy2 321222dzdxydzdxydzdxy 654222dzdxydzdxydzdxy.0cos ,6431 中中在在 右侧右侧左侧左侧5222dzdxydzdxy dzdxy2 zxzxDDdzdxbdzdx2202 xyzoabc5,0 :2左侧左侧 y,:5右侧右侧by .2acb 上侧上侧下侧下侧6322dxdyzdxdyz dxdyz2同样，同样，xyxyDDdxdycdxdy220.2abc 上侧上侧下侧下侧6322dxdyzdxdyz dxdyz2同样，同样，,0 :3下侧下侧 z,:6上侧上侧cz 3 6 xyzoabc于是，于是，dxdyzdxdzydydzx222dxdyzdxdzydydzx222 ).(cbaabc xyDxys)(xyzo三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系设有向曲面是由方程设有向曲面是由方程),(yxzz 给出给出,在在xoy面上的投面上的投 影影区域为区域为xyD,函数函数),(yxzz 在在xyD上具有一阶连续偏导上具有一阶连续偏导 数数,),(zyxR在上连续在上连续.如果如果 取上侧，则取上侧，则 ndxdyzyxR ),(.11cos ,1cos ,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 曲面曲面的法向量的方向余弦为的法向量的方向余弦为 xyDdxdyyxzyxR),(,曲面的法向量的方向余弦为曲面的法向量的方向余弦为 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz 又又,122dxdyzzdSyx 因此，因此，所以所以 dSzyxRdxdyzyxR cos),(),(xyDdxdyyxzyxRdSzyxR),(,cos),(dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系向量形式向量形式 dSASdAdSnASdAn或或 其中其中cos,cos,cos ,nRQPA,dSnSd ,dxdydzdxdydz 称为称为有向曲面元有向曲面元,nA为向量为向量A在在 n上的投影上的投影.四、小结四、小结1 1、物理意义、物理意义2 2、计算时应注意以下两点、计算时应注意以下两点曲面的侧曲面的侧“一投一投,二代二代,三定号三定号”作业：作业：203页页 2，3，4