相似矩阵和矩阵对角化的条件简课件

相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)1P APB第二节 相似矩阵和矩阵对角化的条件一相似的定义 设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得则称A相似于B 记作 A BA B（A等价于B：）相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)2110 A，1101 B ，1112 P，AB问A是否相似于B？因为存在可逆矩阵使得1112 2110 11112 1101 1P A P B例如例如 已知已知相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)2110 A，11112 P ，取令已知已知求一个与A相似的矩阵B1111BPAP A1112 2110 11112 1B 即则21112P 11101,B 110 1 1222BPAP 1112 2110 11112 2B 7945 27945B 相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)1,P对于可逆矩阵1111,ABP AP 2,P对于可逆矩阵1222,ABPAP 1:AP AP 一般来说,与 n 阶矩阵A相似的矩阵可能不只一个 ,P因为对于任意的 n 阶可逆矩阵都有不同，则可能不同，PB但都有AB注相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)2和数量矩阵相似的矩阵只有它自身aI aaa 1-PP1-ap p aaa ，则对于任意的可逆矩阵aaAa 设相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)1 1反身性：反身性：2 2对称性：对称性：3 3传递性：传递性：二相似的性质AAAB1(ABP APB 111-()ABPP 1-()I AIA ABBC，AC111(,PAPB 122,PBPC 122,PPC 111PAP 11212-()(),PPA PPC 12,P P而而是是可可逆逆的的)ACBA相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)若 则与的特征值相同 ABAB，1P APB 11|PIPPAP 1|()|PIA P 1|PIAP 反反之之不不对对1|IPAP|IA|IB|IAIB 相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)若两对角阵和相似12naaAa 12nbbBb 和有什么关系？相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)由性质可知：若两对角阵相似，则两对角线上的元素，不计次序外，完全相同100020003 100030002,200030001,200010003,300010002,300020001.相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)|AB 若若 则则AB，则与的特征值相同，ABAB，1212|nnAB|AB若若 则则与与或同时可逆或同时不可逆或同时可逆或同时不可逆AB，若若 则与的迹相同则与的迹相同 ABAB，12tr()tr()nAB 设为12,n 则有 相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)1BPAP AB 若若 则则AB，AB1P APB 可逆 P可以表示成一些初等矩阵的乘积 P即12sPPPP 11212()()ssPPPA PPP 1112112ssPPPAPPP AB()()r Ar B 若若 则则AB，()()r Ar B相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)kAkBkkABTTABAB11AB()()f Af B10.10.若若 则则AB，TTAB注：这些相似关系中的 P不变,除了转置关系PPPP1()TP P相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)kAkBkkABTTABAB11AB()()f Af B10.10.若若 则则AB，kAkBAB1P APB 1kP APkB 1()P kA PkB kAkB相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)AB1P APB 1()TTPAPB 1()TTTTP APB 1()TTTTP APB 111()()TTTTPAPB111 ()TTTQ A QQBP TTAB相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)相似矩阵有许多共同的性质特征值特征值相同相同行列式行列式相同相同可逆性可逆性相同相同迹相同迹相同等价等价秩相同秩相同相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)三.阶矩阵A与对角矩阵相似的条件定理5.6证明：必要性A 1.P AP 12n ,阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量若 则存在n阶可逆矩阵，使得相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)12(,)nPXXX 显然，1 2(,),iXin 且 线性无关12,nXXX设1 2 (,)iiiAXXin 12(,)nAX AXAX1212 (,)(,)nnX XXX XX 12n 1P AP APP A 1122(,)nnXXX 相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)iX 是A的特征值，i 是A的属于 的特征向量iXi 1 2 (,)iiiAXXin 12,nXXX又 线性无关所以A有n个线性无关的特征向量相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)充分性设有n个线性无关的特征向量：12,nXXX它们所对应的特征值依次为：12,n 则有1 2 (,)iiiAXXin 12(,)nPXXX 令于是，由于 线性无关，故可逆12(,)nA XXXAP 12(,)nAXAXAX 1122(,)nnXXX 12,nXXX相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)1PAP 1 1122(,)nnAPXXX 12(,)nXXX 2 n P APP 即所以A相似于对角阵 相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)若 A 有 n 个线性无关的特征向量,则 A与对角阵相似，且1PAP 12 ,n 12()nPX XX 其中，是的n个特征值，是的属于的特征向量12,n i iX相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)1.PAP 例判断矩阵例判断矩阵 是否和对角是否和对角矩阵相似矩阵相似,若相似，求相应的可逆矩阵若相似，求相应的可逆矩阵，100252241|IA 21)(3(）12331.，解解得得的全部特征值为的全部特征值为100252241A 使得使得相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)13,3()IA XO3IA1230 xxx 对于对于解齐次线性方程组解齐次线性方程组200222244 1000110001011 31 x 令自由未知量令自由未知量 ，得基础解系得基础解系相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)231,IA1232xxx 对于对于000242242 121000000 2210 令自由未知量令自由未知量得基础解系得基础解系3101 2310,01xx 相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)1=3 23=1 1011 23211 001 A1=3 23=1 123,有三个线性无关的特征向量有三个线性无关的特征向量性质性质属于不同特征值的线性无关的特征向属于不同特征值的线性无关的特征向量仍然线性无关（定理量仍然线性无关（定理5.4）A 1,2,3()P 300010001 021110101 相应的可逆阵相应的可逆阵相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)A 300010001 100010003或1,2,3()P 2,3,1()或注意：对角阵注意：对角阵 的主对角线上特征值的顺的主对角线上特征值的顺序要和可逆阵序要和可逆阵P中特征向量的顺序一致中特征向量的顺序一致 100030001或2,1,3()或相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)推论推论 若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个互不相同的特征个互不相同的特征值，则值，则A一定相似于一个对角阵一定相似于一个对角阵2()BIA 123|A 1 1 22()*A例例3 3设三阶矩阵A有特征值-1,1,2，求证：矩阵 可对角化证的特征值为设A的特征值为 ，则的特征值为*iA 1iA 2,2,1.相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)*A的特征值为2,2,1.*2()BIA B 的特征值为901 即阶矩阵有三个互不相同的特征值或 9,1,0.910 相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)例例2 2判断矩阵判断矩阵 是否和对角是否和对角矩阵相似矩阵相似110430102|IA 2(2)(1 ）12321.，解解得得的全部特征值为的全部特征值为110430102A 相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)12,2()IA XO2IA1200 xx 对于对于解齐次线性方程组解齐次线性方程组310410100 1000100001001 31 x 令自由未知量令自由未知量 ，得基础解系得基础解系相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)231,IA13232xxxx 对于对于210420101 1010120001212 令自由未知量令自由未知量得基础解系得基础解系31,x 三阶矩阵三阶矩阵只有两个线性无关的特征向量只有两个线性无关的特征向量，故故A不与对角矩阵相似不与对角矩阵相似相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)为什么三阶矩阵为什么三阶矩阵只有两个线性无关的特征只有两个线性无关的特征向量向量？1 2 A1=2 23=1 2重特征值只提重特征值只提供了供了1个线性无个线性无关的特征向量关的特征向量问题出问题出在哪里在哪里呢呢相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)特征值特征值 是特征方程是特征方程 的根的根|0IA 特征方程特征方程 是关于是关于 的的n次方程次方程|0IA n次方程在复数域内有次方程在复数域内有n个根个根(包括重根包括重根)所以所以n阶矩阵阶矩阵A有有n个特征值个特征值.如果某个特征值是特征方程的如果某个特征值是特征方程的 重根，就重根，就说的重数是说的重数是 .k k 则则A的全部特征值的重数之和为的全部特征值的重数之和为n.相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)如果如果A的任一个特征值提供的线性无关的特的任一个特征值提供的线性无关的特征向量的个数都与这个特征值的重数相同，征向量的个数都与这个特征值的重数相同，因为所有特征值的重数之和为因为所有特征值的重数之和为 n那么那么一定有一定有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量则可对角化则可对角化相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)i 基础解系中解向量的个数基础解系中解向量的个数()iIA XO ()inrIA 提供的线性无关的特征向量个数提供的线性无关的特征向量个数i ik的的重数重数n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是:对于对于A的每个的每个 重特征值重特征值 ,都有都有iki 相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是:对于对于A的每个的每个 重特征值重特征值 ,都有都有iki ()iinrIAk()iirIAnk 即即定理定理5.75.7相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)例判断矩阵例判断矩阵 是否和对角是否和对角矩阵相似矩阵相似110430102|IA 2(2)(1 ）12321 ，解解得得的全部特征值为的全部特征值为110430102A 相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)2()rIA 3 1 i 的重数 ()irIA n 2()r IA 32 1 2IA 31 041 01 00 22()rIA IA 210420101 1 010 120 00 2()r IA A 12:231:1 0 00 1 00 0 0 相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)()r IA 210420101 ()r IA 32 A101012000 对于重特征值，对于重特征值，不与对角阵相似不与对角阵相似应有应有1 rr2 但是但是相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)111J n阶约当块：四约当标准形310031003 2100021000210002 7 阶约当块阶约当块阶约当块2100021000200002 2100021000210001 不是不是约当块注：注：约当块是上三角矩阵，且对角线上元素相同相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)12n 12sJJJ 由若干个约当块构成的分块对角阵1 n 2 2 2约当形矩阵3100003100003000001100001J 注：注：对角矩阵是特殊的约当形矩阵相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)例例110430102A 矩阵 12321,有两个特征值 3.结论：任一n阶矩阵都和一个n阶约当形矩阵相似200011001 110010002 或相似矩阵和矩阵对角化的条件(简)注：注：除对角线上约当块的次序外，约当除对角线上约当块的次序外，约当标准形是被矩阵标准形是被矩阵惟一确定的惟一确定的约当标准形对角线上的元素就是约当标准形对角线上的元素就是的特征值的特征值