函数的概念与表示法

函数的概念和函数的表示法考点一：由函数的概念判断是否构成函数函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。例1. 下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是（ ） A=x xZ，B=y yZ，对应法则f：xy=; A=x x0,xR, B=y yR，对应法则f：x=3x; A=R,B=R, 对应法则f：xy=;变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ）yyyy OOOOXXXX 变式2. 下列式子能确定y是x的函数的有（ ） =2 y= A、0个 B、1个 C、2个 D、3个变式3. 已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（ ）A. y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点 B.y=f（x）图像与直线x=a没有交点C.y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点 D.y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点变式4.对于函数yf(x)，以下说法正确的有()y是x的函数对于不同的x，y的值也不同f(a)表示当xa时函数f(x)的值，是一个常量f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A1个 B2个 C3个 D4个变式5设集合Mx|0x2，Ny|0y2，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A B C D考点二：同一函数的判定函数的三要素：定义域、对应关系、值域。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。例2. 下列哪个函数与y=x相同（ ）. y= . . .y=t .；.变式1.下列函数中哪个与函数相同（ ） A. B. C. D. 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. （x0） 与 （x0） D. ，xZ 与，xZ变式3. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1） （2） （3） 考点三：求函数的定义域（1）当f（x）是整式时，定义域为R；（2）当f（x）是分式时，定义域是使分母不为0的x取值集合；（3）当f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值集合；（4）当f（x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值集合；（5）当f（x）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x取值集合；已学函数的定义域和值域1一次函数:定义域R, 值域R;2反比例函:定义域, 值域;3二次函数:定义域R值域：当时，；当时，例3. 函数的定义域是（ ）A. B. ( -1 , 1 ) C. -1 , 1 D. (- ,-1 )( 1 ,+ )函数y的定义域是(用区间表示)_变式1. 求下列函数的定义域(1)； (2)； (3).(4) (5)yx； (6)y； (7)y(x1)0.求复合函数的定义域例5. 已知函数f（）定义域为, 求f（x）的定义域 变式1. 已知函数f（）的定义域为 0，3 ，求f（x）的定义域变式2. 已经函数f（x）定义域为 0 , 4, 求f的定义域考点四：求函数的值域例6求下列函数的值域 ， x1，2 ,3，4，5 ( 观察法 ) ，x ( 配方法 ：形如 ) ( 换元法：形如 ) ( 分离常数法：形如 ) ( 判别式法：形如 )变式1. 求下列函数的值域 y = 考点五：求函数的解析式例7 . 已知f（x）= ，求f（）的解析式 （ 代入法 / 拼凑法/换元法 ）变式1. 已知f（x）= ， 求f（）的解析式变式2. 已知f（x+1）= ，求f（x）的解析式变式3. 已知，试求的解析式.例8. 若f f（x） = 4x+3，求一次函数f（x）的解析式 （ 待定系数法 ）变式1. 已知f（x）是二次函数，且，求f（x）.变式2.一次函数满足，求该函数的解析式.变式3已知多项式，且.试求、的值.变式4已知f(x)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)f(x)=x1，求f(x)的解析式.变式5已知二次函数f（x）x2bxc满足f（1x）f（1x）， 且f（0）3，求f（x）的解析式.变式6.已知函数f（x）是一次函数，且满足3f（x1）2f（x1）2x17，求f（x）.例9. 已知f（x）2 f（x）= x ，求函数f（x）的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ）变式1. 已知2 f（x） f（x）= x+1 ，求函数f（x）的解析式 变式2. 已知2 f（x）f = 3x ，求函数f（x）的解析式例10. 设对任意数x，y均有，求f（x）的解析式. （ 赋值法 / 特殊值法）变式1. 已知对一切x，yR，都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式.考点六：函数的求值例11. 已经函数f（x）= ，求f（2）和f（a）+f (a)的值变式1. 已知f（2x）= ，求f（2）的值例12. 已知函数，求f（1）+f（）的值 变式1. 已知函数 ，求f f（）的值变式2. 已知函数，求f（5）的值例13 . 设函数，求满足f（x）=的x值变式1. 已知函数，若f（x）=2，求x的值考点七：映射 例1判断下列对应是否是映射？ 变式1.下列各组映射是否是同一映射？变式2.判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？ （1）设A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，9，对应法则（2）设，对应法则（3）， （4）设（5），考点八：函数的表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法 例1某种笔记本每个5元，买 x1,2,3,4个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封x g(0x100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.例3 画出函数y=|x|=的图象.例4求下列函数的最大值、最小值与值域.； ； 函数的单调性与最值增函数与减函数 单调性与单调区间 例1 如图，是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 例2 证明函数在R上是增函数.例3 证明函数在(0,+)上是减函数.练习1函数y=x2+x+2单调减区间是( ) A、 B、（-1，+） C、 D、（-，+）2下面说法正确的选项（）A函数的单调区间可以是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象3函数f(x)=2x2mx+3,当x时,增函数,当x时,是减函数, 则f（1）等于（） A3 B13 C7 D由m而定的其它常数4.如果函数f(x)x22(a1)x2在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（）Aa3Ba3 Ca5Da35. 函数在实数集上是增函数，则（ ）A B CD. 已知函数 求:(1) 当时， 函数的最值;(2) 当时， 函数的最值函数的奇偶性观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 偶函数： 奇函数： 例1判断下列函数的奇偶性（1）（2）（3）例2判断下列函数的奇偶性（1） （2） （3） （4）例3已知是奇函数，在（0，+）上是增函数证明：在（，0）上也是增函数练习1判断下列函数的奇偶性，并说明理由2设0时，试问：当0时，的表达式是什么？学案（6）反函数（一）（选讲）复习观图回答：ABabABba 的意义是什么？新课1试求函数的值域.(提示：利用分离常数法与反解法，在这里我们突出利用反解法)2反函数的定义： 试利用定义填写下表：函数反函数定义域A值 域B3.试讨论原函数与其反函数的图象关系：4试求(1)y=2x+1 (2)y=2x+1的反函数,并对比有何不同.5求解反函数的步骤:例 求下列函数的反函数(1) (2)(3) (4)练习1.已知函数，那么它的反函数为( )A、 B、C、 D、2.函数的反函数是( )A、 B、C、 D、3.已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（ ）A、 B、 C、 D、4.若函数，则的值为（ ） A、 B、 C、15 D、5.函数的反函数为，求,b,c的值6.已知，求f(x)学案（7）反函数（二）（选讲）目标：1了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明；2会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.复习：1反函数的定义：2互为反函数的两个函数与间的关系：函数反函数定义域AB值 域BA3反函数的求法：一反解、二互换、三标明；4. 原函数与其反函数的图象关于y=x 对称.新课：例1求函数的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.例2求函数的值域.例3 已知= (x-1)，求 .例4若点A(1,2)既在函数=的图象上，又在的反函数的图象上，求,b的值.例5若，试求反函数.练习：1求下列函数的反函数：（1）；（2）y=-6x+12(x3);（3）y=(x-2).2. 已知函数y=x+2的反函数是y=3x+b，求,b的值.3.函数f(x)是否有反函数？ ；当时，反函数为 ，定义域为 ；当时，反函数为 ，定义域为 。4.设f(x)的反函数为，则 ，f(3)= 5.若点(1,2)既在函数的图象上，又在函数f(x)的反函数的图象上，则= ,b= 6. f(x)在上为递增函数，则与的大小关系是 解答题7.函数y=f(x)的图象是过点(2,1)的直线，其反函数的图象经过点(-2,-1)，求函数f(x)学案（8）函数图象变换目标根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）.新课1.根据所给定义域，画出函数的图象,并确定其最值. （1） （2） （ 3 ）且xZ2.函数-2和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的.练习1已知二次函数yx24x1，不求值比较f（3）和f（5）的大小关系2方程x22x40的两根均大于1，求实数的取值范围3已知二次函数f(x)x2x(0)，若f(m)0，则f(m1)的值是（） （A）正数 （B）负数（C）零（D）符号与有关4不等式（2）x22（2）x40对xR恒成立，则的取值范围是_5已知二次函数yx2（36）x2是偶函数，则的取值范围是_6二次函数yx2bxc满足f（4）f（1），那么（）（A）f（2）f（3） （B）f（2）f（3）（C）f（2）f（3） （D）f（2）与f（3）的大小关系不能确定7已知二次函数y2x24（3）x5在区间（，3）上是减函数，则的取值范围是_8若二次函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，4，则m的取值范围是（） （A）0，4（B），4（C），3（D），9设二次函数yx2bxc，对任意的实数t都有f（2t）f（2t）成立，在函数值f（2）、f（1）、f（1）、f（5）中，最小的一个不可能是（）（A）f（2） （B）f（1）（C）f（1）（D）f（5）10已知函数yxb和yx2bxc，那么它们的图象是（）（A） （B） （C） （D）函数的应用例1如图，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点.若点P运动的路程为x，点P到顶点A的距离为y.求A、P 两点间的距离y与点P的路程式 x之间的函数关系式.PBADPCPABCNMDQP例2在底边BC=60,高AD=40的ABC中作内接矩形MNPQ。设矩形的面积为S，MN=x ，写出S与此同时x之间的函数关系式，并求其定义域和值域。例3 某房地产公司要在荒地ABCD（如图）上划出一块长方形的地面修建一座公寓楼。问如何设计才能使公寓楼地面的面积最大，并求出最大的面积。G100m60mBANEDC70m80mM练习1有一块梯形木板，上、下底长分别为2m、3m，高为2.5m，应当如何安排与底边平行的锯线,才能使锯下的矩形木条的面积最大？这个最大面积是多少？2.已知等腰梯形的周长是60cm，腰与下底的夹角为60，一腰长为x，写出梯形面积y与x的函数关系，并求当x取何值时，梯形面积最大，最大值为多少？3某旅行社组织到北京参观，共需6天，每人往返机票、食宿、门票等费用共需3200元，如果把每人的收费标准定为4600元，只有20人参加旅游团.高于4600元，没有人参加。如果每人收费标准从4600元每降低100元，参加旅游团人数就增加10人。试问：每人收费标准定为多少时，该旅行社所获利润最大？此时参加旅游团的人数是多少？