全国高中数学联赛模拟试题2

全国高中数学联赛模拟试题（二）第一试一、选择题（每题6分，共36分）1、 已知集合，若 ，则a的所有取值是（A）1，1 （B）1，ABCDMNA1D1B1C1图1（C）1，2（D）1，4，2、 如图1，已知正方体ABCDA1B1C1D1，点M、N分别在AB1、BC1上，且AMBN那么， AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN与A1C1异面以上4个结论中，不准确的结论的个数为（A）1（B）2（C）3（D）43、 用Sn与an分别表示区间内不含数字9的n位小数的和与个数则的值为（A）（B）（C）（D）4、 首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有（A）216个（B）252个（C）324个（D）432个5、 对一切实数x，所有的二次函数（ab）的值均为非负实数则的最大值是（A）（B）（C）3（D）26、 双曲线的一个焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（A）相交（B）相切（C）相离（D）以上情况均有可能二、填空题（每题9分，共54分）1、已知复数，若ABC的3个内角A、B、C依次成等差数列，且，则的取值范围是 2、点P(a,b)在第一象限内，过点P作一直线l，分别交x、y轴的正半轴于A、B两点那么，PA2PB2取最小值时，直线l的斜率为 3、若ABC是钝角三角形，则arccos(sinA)arccos(sinB)arccos(sinC)的取值范围是 4、在正四面体ABCD中，点M、P分别是AD、CD的中点，点N、Q分别是BCD、ABC的中心则直线MN于PQ的夹角的余弦值为 5、在的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和是 6、集合A、B、C（不必两两相异）的并集ABC1,2,3,n则满足条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是 三、（20分）设p0，当p变化时，Cp：y22px为一族抛物线，直线l过原点且交Cp于原点和点Ap又M为x轴上异于原点的任意点，直线MAp交Cp于点Ap和Bp求证：所有的点Bp在同一条直线上四、（20分）对于公差为d(d0)的等差数列an，求证：数列中不同两项之和仍是这个数列中的一项的充要条件是存有整数m1，使a1md五、（20分）求最大的正数l，使得对任意实数a、b，均有第二试一、（50分）如图2，O切ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N求证：M是BC中点的充要条件是ONBCOBCADNM图2二、（50分）求出能表示为（a、b、cZ+）的所有正整数n三、（50分）在一个（n2）的方格表的每个方格内填入1或1，假如任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的求“成功”填法的总数参考答案第一试一、选择题：题号123456答案DBDDAB二、填空题：1、；2、；3、；4、；5、；6、7n三、证略四、证略五、第二试一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9三、1种（每空填1）