三角函数和反三角函数

第二章 三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+)的简图，理解A、w、的物理意义。6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctgx表示。7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。二、知识结构1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角。其中射线OA叫角的始边，射线OB叫角的终边，O叫角的顶点。(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。(3)象限角：由角的终边所在位置确定。第一象限角：2k2k+,kZ第二象限角：2k+2k+,kZ第三象限角：2k+2k+,kZ第四象限角：2k+ 2k+2,kZ(4)终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k360+，kZ。(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合，kZ终边在一、三象限角平分线上角的集合k+，kZ终边在二、四象限角平分线上角的集合k-，kZ终边在四个象限角平分线上角的集合k-，kZ2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。(2)角度与弧度的互化：1弧度，1弧度()(3)两个公式：(R为圆弧半径，为圆心角弧度数)。弧长公式：l=R扇形面积公式：S=lR=R23.周期函数：(1)定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得x取定义域内的任意值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)叫做周期函数，其中非零常数T叫做这个函数的一个周期，如果T中存在一个最小的正数，则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。(2)几个常见结论：如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么kT(kZ，且k0)也是y=f(x)的周期。 (1)如果T是函数y=f(x)的一个周期，那么也是y=f(wx)(w0)的周期。一个周期函数不一定有最小正周期，如常函数y=f(x)=c。4.三角函数定义：(1)定义：设是一个任意大小的角，P(x，y)是角终边上任意一点，它与原点的距离PO=r,那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是sin=,cos=,tg=,ctg=,Sec=,csc= (如图(1)。(2)六个三角函数值在每个象限的符号：(如图(2)(3)同角三角函数的基本关系式：倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tgctg=1商数关系：tg=,ctg=平方关系：sin2+cos2=1,1+tg2=sec2,1+ctg2=csc2(4)诱导公式：2k+-+2-+正弦sin-sinsin-sin-sincoscos余弦coscos-cos-coscossin-sin正切tg-tg-tgtg-tgctg-ctg余切ctg-ctg-ctgctg-ctgtg-tg上述公式可以总结为：奇变偶不变，符号看象限。5.已知三角函数值求角6.三角函数的图象和性质：(1)三角函数线：如图(3)，sin=MP,cos=OM,tg=AT,ctg=BS(2)三角函数的图像和性质：函数y=sinxy=cosxy=tgxy=ctgx图象定义域RRxxR且xk+,kZxxR且xk,kZ值域-1，1x=2k+ 时ymax=1x=2k- 时ymin=-1-1,1x=2k时ymax=1x=2k+时ymin=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2周期为2周期为周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在2k-,2k+ 上都是增函数；在2k+ ,2k+上都是减函数(kZ)在2k-，2k上都是增函数；在2k，2k+上都是减函数(kZ)在(k-，k+)内都是增函数(kZ)在(k，k+)内都是减函数(kZ)7.函数y=Asin(wx+)的图像：函数y=Asin(wx+)的图像可以通过下列两种方式得到： 0，图像左移(1)y=sinx y=sin(x+) 0，图像右移 w1，横坐标缩短为原来的倍 y=sin(wx+) 0w1，横坐标伸长为原来的倍 A1，纵坐标伸长为原来的A倍 y=Asin(wx+) 0A1，纵坐标缩短为原来的A倍 w1,横坐标缩短为原来的倍(2)y=sinx 0w1,横坐标伸长为原来的倍 0，图像左移y=sin(wx) 0,图像右移 A1，纵坐标伸长为原来A倍y=sin(wx+) y=Asin(wx+) 0A1，纵坐标缩短为原来A倍8.两角和与差的三角函数：(1)常用公式：两角和与差的公式：sin()sincoscossin，cos()=coscossinsin，tg()=倍角公式：sin2=2sincos，cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2，tg2=.半角公式：sin=,cos=,tg=.积化和差公式：sincos=sin(+)+sin(-),cossin= sin(+)-sin(-)coscos= cos(+)+cos(-),sinsin=- cos(+)-cos(-)和差化积公式：sin+sin=2sincos,sin-sin=2cossin cos+cos=2coscos ,cos-cos=-2sinsin 万能公式：sin=，cos=,tg=(2)各公式间的内在联系：(3)应注意的几个问题：凡使公式中某个式子没有意义的角，都不适合公式。灵活理解各公式间的和差倍半的关系。在半角公式中，根号前的符号由半角所在像限来决定。常具的变形公式有：cos=,sin2=,cos2=,tg+tgtg(+)(1-tgtg).asin+bcos=sin(+).(其中所在位置由a，b的符号确定，的值由tg=确定)。9.解斜三角形：在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C=+-，2A+2B2-C余弦定理a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosCcosA=cosB=cosC正弦定理=2RR为ABC的外接圆半径a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=,sinB=,sinC=射影定理acosB+bcosA=cacosC+cosA=bbcosC+ccosB=a面积公式S=aha=bhb=chcS=absinC=acsinB=bcsinAS=S=(P= (a+b+c)S= (a+b+c)r(r为ABC内切圆半径)sinA=sinB=sinC=10.反三角函数：名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数定义y=sinx(x-, 的反函数，叫做反正弦函数，记作x=arsinyy=cosx(x0,)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosyy=tgx(x(- , )的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctgyy=ctgx(x(0,)的反函数，叫做反余切函数，记作x=arcctgy理解arcsinx表示属于-,且正弦值等于x的角arccosx表示属于0，且余弦值等于x的角arctgx表示属于(-,)，且正切值等于x的角arcctgx表示属于(0，)且余切值等于x的角图像性质定义域-1，1-1，1(-，+)(-，+)值域-，0，(-，)(0，)单调性在-1，1上是增函数在-1，1上是减函数在(-，+)上是增数在(-，+)上是减函数奇偶性arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=-arccosxarctg(-x)=-arctgxarcctg(-x)=-arcctgx周期性都不是同期函数恒等式sin(arcsinx)=x(x-1，1)arcsin(sinx)=x(x-,)cos(arccosx)=x(x-1,1) arccos(cosx)=x(x0,)tg(arctgx)=x(xR)arctg(tgx)=x（x(-,)）ctg(arcctgx)=x(xR)arcctg(ctgx)=x(x(0,)互余恒等式arcsinx+arccosx=(x-1,1)arctgx+arcctgx=(XR)11.三角方程：(1) 最简单三角方程的解集：方程方程的解集sinx=aa1a=1xx=2k+arcsina,kza1xx=k+(-1)karcsina,kzcosx=aa1a=1xx=2k+arccosa,kza1xx=2karccosa,kztgx=axx=k+arctga,kzctgx=axx=k+arcctga,kz(2)简单三角方程：转化为最简单三角方程。三、知识点、能力点提示三角函数是中学数学的主要内容之一，也是每年高考的必考内容，其主要内容由以下三部分构成：三角函数的定义，图像和性质；三角恒等变形；反三角函数。在高考中，第二部分为主要内容，进行重点考查，当然也不放弃前后两部的考查，对近几年高考试题进行分析后，可以看出：对三角函数的考查主要有两种方式：单独考查三角函数或与其它学科综合考查，前一部分通常是容易题或中等题，而后一部分有一定难度。下面对常见考点作简单分析：1.角、三角函数定义的考点：这是对三角基础知识的直接考查，一般不会单独成题，更多地是结合其它方面的内容(如：三角恒等变形，三角函数性质等)对多个知识点作综合考查。2.三角函数图像的考查：通常有三种方式：由图像到解析式：由图像到性质；图像的应用。3.三角函数性质的考查(1)定义域和值域：(2)周期性：通常结合恒等变形考查如何求三角函数的最小正周期，或考查与周期性相关的问题，如：设f(x)是(-，+)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)=( )(3)单调性：通常以处理最值问题的形式出现，总与恒等变形联系在一起，一般地二次函数，对数函数等的最值问题相结合。4.三角恒等变形：以化简、求值、证明等各种题型出现，以题中通常考查和、差、倍、半各公式的运用，大题中通常考查和积互化公式的运用，这是三角函数的重要内容。5.反三角函数：对这部分的考查多属于容易题或中档题，重点是反三角函数的定义和性质。6.代数、三角、解几、立几，不等式等的综合考查。进行三角恒等变形是处在三角问题最常用的技能，下面分析几种常见的解题思路：1.角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角。2.函数名的变换：观察、比较题设与结论之间，等号的左右两边的函数名差异，化异名为同名。3.常数的变换：常用方式有1=sin2+cos2=sec2-tg2=tg,=sin等。4.次数的变化：常用方式是升次或降次：主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用。5.结构变化：对条件，结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等6.和积互化：这既是一种基本技能，也是一种常见解题思路，且应用比较广泛。7.综合运用上述各种方式。例1 sin600的值是( )A. B.- C. D.- 解：sin600=sin(360+240)=sin240=sin(180+60)=-sin60=-应选D.例2 已知sin+cos=,(0,),则ctg的值是_.解:sin+cos=(sin+cos)2=()2sincos=-.sin和cos是方程t2-t-=0,即方程25t2-5t-12=0的两根.25t2-5t-12=(5t+3)(5t-4)=0的两根为t1=,t2=-.(0.) sin0.sin= ,从而cos=-,ctg=.=-.应填- .例3 tg20+tg40+tg20tg40的值是_.解：=tg60=tg(20+40)=,tg20+tg40= (1-tg20tg40).原式=(1-tg20tg40)+ tg20tg40).=应填.例4 求值：coscos=_.解：coscos=(cos+cos)= (-+0)=-.例5 关于函数f(x)=4sin(2x+) (xR),有下列命题：由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整数倍；y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-)；y=f(x)的图像关于点(- ,0)对称；y=f(x)的图像关于直线x=-对称；其中正确命题的序号是_.(注：把你认为正确的命题序号都填上)解：分别讨论四个命题.令4sin(2x+)=0,得2x+=k (kZ),x=- (kZ),设x1=-,x2=- ,k1k2,k1,k2Z,则f(x1)=f(x2)=0,但x1-x2=(k1-k2),当k1-k2为奇数时，x1-x2不是的整数倍命题不正确.y=f(x)=4sin(2x+)=4cos-(2x+)=4cos(-2x+)=4cos(2x-)命题正确根据2x+02X-Y040-40作出y=f(x)=4sin(2x+)的草图，如图由图知，f(x)的图像关于点(-，0)对称，命题正确由图知，y=f(x)的图像不关于直线x=-对称命题不正确应填、例6 函数y=sin(x-)cosx的最小值是_.解：利用积化和差公式(注：今后高考试卷中会印写公式)，得y=sin(2x-)+sin(-)= sin(2x-)-.sin(2x- )-1,1,ymin=-.应填-.例7 y= +sin2x,则y的最小值是_.解：利用3倍公式：sin3x=3sinx-4sin3x,cos3x=4cos3x-3cosx.y=+sin2x=+sin2x=+sin2x=+sin2x=+sin2x= +sin2x=cos2x+sin2x=sin(2x+)ymin=-.应填- 例8 在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinAsinB( )A.有最大值和最小值0B.有最大值但无最小值C.既无最大值也无最小值D.有最大值1但无最小值解：A+B=.sinAsinB=sinAcosA=sin2A,A(0, )2A(0,)sinAcosA有最大值但无最小值.应选B.例9 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2的最大值解：2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+2 =sin2x+cos2x+2=(sin2xcos+cos2xsin)+2= sin(2x+)+2当2x+=+2k时,ymax=2+ 即x=+K(KZ)，y的最大值为2+例10 已知是第三象限角，且sin=-则tg=( )A. B. C.- D.- 解：sin=,sin=-,-=.化简得12tg2+25tg +12=0，即(4tg+3)(3tg+4)=0.解出tg =-,tg =- .又已知是第三象限角，即(+2k，+2k)，+k，+k)，tg (-，-1)，tg =- (舍去tg=-1).应选D.例11 sin220+cos280+sin20cos80=_.解：sina220+cos280+sin20cos80=+2sin20cos80=1-(cos40+cos20)+ (sin100-sin60)=1-cos30cos10+ cos10-=应填.例12 求sin220+cos250sin20cos50的值_.解:sin220+cos250+sin20cos50=sin220+sin240+sin20sin40=(sin20+sin40) 2-sin20sin40=(2sin30cos10) 2+ (cos60-cos20)=+ (-cos20)=应填.例13 tg20+4sin20=_.解：tg20+4sin20=.例14 cos275cos215cos75cos15的值等于( )A. B. C. D.1+解：cos275+cos215cos75cos15=(sin215+cos215)+sin15=1+=.应选C.例15 已知ctg=3,则cos=_.解：由已知有tg=.cos=.例16 已知tgA+ctgA=m,则sin2A_.解：tgA+ctgA=mtg2A+1=mtgAsin2A= =.例17 已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.(1)b0时，求tg3A的值(用a、b表示)；(2)求(1+2cos2A)2（用a、b表示）.解：(1)利用和差化积公式可得：a=sin3A(1+2cos2A),b=cos3A(1+2cos2A),tg3A=.(2)由上可知ab=sin3Acos3A(1+2cos2A)2(1+2cos2A) 2=.又sin6A= =,(1+2cos2A)2=a2+b2.例18 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )A.arcos B.arcsinC.arccos D.arcsin 解：不妨设此直角三角形三内角为A、B、C且ABC=90.由已知，sinA,sinB,sin90=1成等比数列，sin2B=sinA又A+B=90，得sinB=cosA,cos2A=sinA,1-sin2A=sinA，即sin2A+sinA-1=0.解出sinA= (舍去sinA=)A=arcsin ,应选B.例19 如图，若sin2xcos2x，则x的取值范围是( ). A. x2k-x2k+,kZB. x2k+x2k+,kZC. xk-xk+,kZD. xk+xk+,kZ解：由于sin2x和cos2x的周期都是，故可先研究在0,上不等式的解.在同一坐标系在区间0，上作出sinx和cosx的图像.把，的cosx的图像沿x轴上翻后，求出两曲线交点的横坐标为x1=,x2.在(+2k，+2k)上有sin2xcos2x.应选D.例20 下列四个命题中的假命题是( )A.存在这样的和的值，使得cos(+)=coscos+sinsinB.不存在无穷多个和的值，使得cos(+)=coscos+sinsinC.对于任意的和，使得cos(+)=coscos-sinsinD.不存在这样的和的值，使得cos(+)coscos-sinsin解：C是两角和的余弦展开公式，当然正确，从而D也正确.对于A，取=0，则cos(0+0)=cos0cos0+sin0sin0,A正确.对于B，取=2k，kZ，则cos(2k+cos2k)=cos2kcos2k+sin2ksin2k,B.不正确.应选B.例21 解不等式(arctgx) 2-3arctgx+20.解：(arctgx)-1(arctgx)-20.arctgx1或arctgx2.又-arctgx .-arctgx1,即有-xtg1.例22 满足arccos(1-x)arccosx的x的取值范围是( )A.-1,- B.-,0C.0, D.,1解：反余弦函数的定义域为-1,1,且为减函数. -11-x1 -1x1 x1 1-xx应选D.例23 已知cos2=,(0,),sin=-,(, )求+(用反三角函数表示).解：由题设得sin=,从而cos=,且cos=-又+(,2)(+-)(0,),cos(+)=coscos-sinsin=-.cos(+-)=cos-(+)=- .-+(+)=arccos 即+=+arccos 例24 记函数y=的图像为l1，y=arctgx的图像为l2，那么l1和l2的交点个数是( )A.无穷多个 B.2个 C.1个 D.0个解：作出函数草图可知有2个交点.又x:0时,arctgx:0+, :+0.x0时，l1和l2有一个交点.又arctgx和都是奇函数，x0时，l1和l2也有一个交点.应选B.四、能力训练1.设M第一像限角，N小于90角，则MN是( )(A)第一像限角 (B)锐角 (C)小于90角 (D)非以上答案(考查象限角的概念)2.扇形圆心角为60，半径为a，则扇形内切圆面积与扇形面积之比是( )(A)13 (B)23 (C)43 (D)49(考查扇形面积公式)3.是第四象限角，且coscos，则在( )(A)第一象限 (B)第四象限 (C)第一四象限 (D)第二、三象限(考查象限角与三角函数值的符号)4.sin21+sin22+sin290的值属于区间( )(A)（43，44） (B)（44，45） (C)（45，46） (D)（46，47）(考查同角三角函数的关系及三角函数的有界性)5.已知角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x0)，则sin(sin+ctg)+cos2的值是( )(A) (B) (C) (D) (考查三角函数定义和直线方程)6.己知0a1，则下列元数M=(sin)logasin,N=(cos)logcos,P=(cos)logasin的大小关系是( )(A)MNP (B)MPN (C)MNP (D)MPN(考查对数函数，指数函数的单调性，同角三角函数关系)7.若f(sinx)=sin3x,则cos3x等于( )(A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx)(考查诱导公式与函数解析式)8.方程sinx=lgx的实根个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错(考查三角函数与对数函数的图像)9.函数y=sin(2x+)的图像中的一条对称轴方程是( )(A)x=- (B)x=- (C)x= (D)x=(考查三角函数图像的特征)10.如图是周期为2的三角函数y=f(x)的图像，那么f(x)的解析式可以写成( )(A)f(x)=sin(1+x)(B)f(x)=-sin(1+x)(C)f(x)=sin(x-1)(D)f(x)=sin(1-x)(考查三角函数的图像与解析式)11.对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是( )(A)它的定义域是-1，1(B)它是奇函数(C)ycos1,1(D)不是周期函数(考查三角函数有关性质及弧度制)12.函数y=tg-的最小正周期是( )(A) (B) (C) (D)2 (考查三角函数的周期和恒等变形)13.函数y=cscxcos3x-cscxcos5x是( )(A)周期为的奇函数 (B)周期为的偶函数(C)周期为的奇函数 (D)周期为的偶函数(考查三角函数的性质，同角三角函数关系)14.若a=sin14+cos14，b=sin16+cos16，则下列不等式中成立的是( )(A)ab (B)ab (C)ab (D)ba(考查辅助角公式，三角函数的单调性)15.下列四个命题中的假命题是( )(A)存在这样的和的值，使得cos(+)=coscos+sinsin(B)不存在无穷多个和的值，使得cos(+)=coscos+sinsin(C)对于任意的和，都有cos(+)=coscos-sinsin(D)不存在这样的和的值，使得cos(+)coscos-sinsin(考查公式的记忆，理解和逻辑语言的理解)16.tg、tg是方程7x2-8x+1=0的二根，则sin2(+)-sin(+)cos(+)+cos2(+)的值是( )(A) (B) (C) (D) (考查两角和的正切公式，同角三角函数关系及有关求值)17.sin(+)=-，sin(-)= ，且-(，)，+(，2)。则cos2( )(A)-1 (B)1 (C) (D)-(考查同角三角函数关系，两角差的余弦公式)18.若ctgx=3，则cos2x+sin2x的值是( )(A)- (B)- (C) (D)(考查同角三角函数关系，半角公式，万能公式)19.tg9-tg27+tg63+tg81的值为( )(A)-4 (B)4 (C)2 (D)-2(考查同角三角函数关系，倍角公式，和积互化公式)20.在ABC中，(1)已知tgA= sinB=，则C有且只有一解，(2)已知tgA=,sinB=,则C有且只有一解，其中正确的是( )(A)只有(1) (B)只有(2) (C)(1)与(2)都正确 (D)(1)与(2)均不正确(考查综合有关公式，灵活处理三角形中的计算)21.在ABC中，若a，b，c为A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos(A-C)=1，则( )(A)a，b，c成等差数列 (B)a，c，b成等差数列(C)a，c，b成等比数列 (D)a，b，c成等比数列(考查三角形的内角和定理，正弦定理，和差化积，倍角公式，两个基本数列)22.给出下列四个命题：若sin2A=sin2B，则ABC是等腰三角形；若sinA=cosB，则ABC是直角三角形；若sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC是钝角三角形；若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，则ABC是等边三角形，以上命题正确的个数是( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个(考查灵活运用公式判断三角形形状和判断正误的能力)23.函数y=cosx(x2)的反函数是( )(A)y=+arccosx (B)y=-arcsinx(C)y=+arcsinx (D)y=-arccosx(考查反函数的求法，诱异公式，反三角弦函数定义)24.下列各组函数中表示同一函数的一组是( )(A)y=arcsin(cosx)与y=arccos(sinx)(B)y=sin(arccosx)与y=cos(arcsinx)(C)y=arctgx与y=arcctg(D)y=sin(arcsinx)与y=tg(arctgx)(考查有关反三角恒等式及其运算，函数的定义)25.设m=arcsin,n=arccos,p=arctg，则m，n，p的大小关系是( )(A)pnm (B)nmp (C)pmn (D)mnp(考查反三角函数的运算及其单调性)26.设函数y=2arcsin(cosx)的定义域为(-，)，则其值域是( )(A)( ，) (B)( ，)(C)(- ，) (D)(- ，)(考查三角函数与反三角函数的定义域和值域)27.函数y=logsinx(2cosx+1)的定义域是_。(考查函数定义域的求法，数形结合解三角不等式)28.f(x)=sinx-sinx的值域是_(考查绝对值定义，诱异公式，正弦函数的简图，函数值域)29.把y=sinx的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)。然后将新得图像向左平移单位，这样得到的图像的解析式是_。(考查三角函数图像的变换)30.若函数y=sin(x+)+cos(x+)是偶函数，则的值是_。(考查函数的奇偶性，三角恒等变形，最简单三角方程)31：(1)tg70+tg50-tg70tg50=_(2)ABC中，(1+tgA)(1+tgB)=2，则log2sinc=_(3)(1+tg1)(1+tg2)(1+tg3)(1+tg45)=_(4)己知tgA+tgB+=tgAtgB，且sinAcosB=，则ABC的形状是_(5)己知A、C是锐角ABC的两个内角，且tgA,tgC是方程x2-px+1-p0(p0，且pR)，的两个实根，则tg(A+C)=_，tgA,tgC的取值范围分别是_和_，P的取值范围是_(考查两角和的正切公式的变形运用，倍角公式，韦达定理，对数值计算)32.函数y=cosx-1(0x2)的图像与x轴所围成图形的面积是_。(考查三角函数图形的对称变换)33.函数y=arcsin+arctgx的值域是_(考查反三角函数的定义域、值域、单调性)34.关于函数f(x)=4sin(2x+)(xR)，有下列命题由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是的整数倍；y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-)；y=f(x)的图像关于点(-，0)对称；y=f(x)的图像关于直线x=-对称其中正确命题的序号是_(考查简单三角方程，诱导公式，图像的对称性)35.设三角函数f(x)=sin(+)，其中k0(1)写出f(x)的极大值M，极小值m，最小正周期T。(2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M与一个值m，(考查三角函数的最值、周期，以及分析问题、解决问题的能力)36.己知x+=2cos，试求xn+(nN)的值(结合三角函数，考查数学归纳法，增量法)37.求值：(1) (2)sec50+tg10(考查同角三角函数关系，倍角公式，辅助角公式，和差化积等)38.解答下列各题：(1)己知A、B均为钝角，且sinA=,sinB=,求A+B(2)己知、(0,),且tg(-)=,tg=-,求2-(3)己知、都是锐角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求证：+2=(4)求证：arcsin+arcsin(-)arcsin(考查如何求角，如何证明关于角的等式)39.根据下列所给条件，分别求出cos(+)的值：(1)己知sin-sin=，cos-cos=(2)己知、是方程2cosx-sinx+b=0的两个根(2k+,kz)；(3)己知z1=cos+isin，z2=cos+isin，z1-z2=+i；(4)己知直线y=2x+m与圆x2+y2=1有两个公共点M，N，且x轴正半轴逆转到两射线OM，ON(O为原点)的最小正角依次为、(考查三角与方程、复数、解几的联系，万能公式的运用)40.解答下列各题：(1)锐角ABC中，求证：sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC(2)锐角ABC中，求证：tgAtgBtgC1(3)、0，己知+=2，求证：+=(考查三角函数的单调性)41.解答下列各题：(1)若y=acosx+b的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx的最大值。(2)求y=的最值(3)设函数y=-2sin2x-2cosx-2a+1的最小值是f(a)，写出f(a)的表达式；试确定能使f(a)= 的a的值。(4)求f(x)=的值域(5)求y=2sinxsin2x的最大值(6)若为钝角，求y=+(ab0)的最小值(7)己知sinxsiny=，求cosxcosy的取值范围(8)己知3sin2+2sin2=2sin，求cos2+cos2的最值(考查三角函数常见最值的求法)42.a、b、c是ABC的三边，求证：=(考查三角形中恒等式的证明)43.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A-C，求sinB的值。(考查三角形中的有关计算)44.在ABC中，sinAcosB-sinB=sinC-sinAcosC,若ABC的周长为12，求其面积的最大值。(考查三角形中的最值问题)45.己知f(x)=tgx,x(0,)，若x1,x2(0, )，且x1x2，证明：f(x1)+f(x2)f() (综合考查三角函数与不等式)46.己知实数x，y满足x +y =1，问x2+y2是否为定值?若是，请求该值：否则求其取值范围。(考查代数与三角的综合题)47.在高出地面30m的小山顶C处建造一座电视塔CD(如图)，今在距离B点60m的地面上取一点A，若测得CD对A所张的角为45，求电视塔的高度。(考查应用数学知识处理实际问题的能力)48.如图，海中小岛A周围20海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的角偏东30，在C处测得A在船的南偏东60，如果此船不改变航向，有无触礁的危险?(考查应用正弦定理处理实际问题的能力)49.外国船只，除特许者外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A，B是我们的观测站，A与B间的距离是S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船只在P点，在A处测得BAP=，同时在B处测得ABP=，问及满足什么三角不等式时，就应当问这艘未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域?(考查灵活应用三角知识处理实际问题的能力)50.半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆周长的动点，以AB为边，向形外作等边ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大?并求出这个最大值。(考查分析问题和解决问题的能力)51.己知半径为1，圆心角为的扇形，求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。(考查三角函数在圆形最值中的运用)52.腰为a的等腰ABC中，A=90，当A，B分别在x轴，y轴正半轴上移动，且点C与原点O在AB的两侧时，求OC长的最大值。(综合考查三角、解几、最值问题)53.如图所示，水渠横断面为等腰梯形，渠深为h，梯形面积为S，为使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底边长之和最小，问此时腰与下底夹角应该是多少?(考查代数与三角的综合)54.用一块长为a，宽为b(ab)的矩形木块，在二面角为的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面的两边紧贴墙面，另一边与地面紧贴)试问，怎样围才能使储物仓的容积最大?并求出这个最大值(考查代数、三角、立几的综合运用)55.如图所示，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴上给定两点A，B，试在x轴正半轴上求一点C，使ACB最大。(考查代数，三角，解几的综合运用)能力训练参考答案1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.B 13.C 14.B 15.B 16.C 17.A 18.D 19.B 20.B 21.D 22.B 23.C 24.B 25.D 26.D27.x2kx2k+，且x2k+，kz 28.-2，2 29.y=sin(2x+) 30.=k+ (kz) 31.(提示：应用公式tg+tgtg(+)(1-tgtg)(1)- (2)- (3)223(提示：用(2)的结论) (4)正三角形 (5) ；(0，)；(0，)；，1) 32.2 33.0， 34. 35.(1)M=1,m=-1，T= (2)k=32 (提示：令T1)36.2cosn方法(一)：用数学归纳法方法(二)：设x=cos+t,则=cos-tt2=-sin2于是取t=isin x=cos+isin 代入即可37.(1)-4 (2) 38.(1)A+B(0，)，sin(A+B)=1 A+B=(2)tg=tg(+)-=(0,1) (0,) tg=-(-1,0) (,)2-(-,- ) 又tg(2+)=tg+(-)=1 2-=-(3)+2(0，) sin(+2)1 +2=(4)arcsin+arcsin(-)(-，)， arcsin(0, ) 又两边正弦相等等式成立。39.提示：问题都可归结为tg=-cos(+)= 40.提示：(1)(2)A+B A-B0 sinAsin(-B)cosB同理：sinBcosC,sinCcosA(3)显然：,必定一个大于1，一个不小于1，不妨设sin2cos2 sin2cos2 + + +41.(1)5 (2)ymax=，ymin=(提示：有三种解法：万能公式，解析法：转化为asinx+bcosx=c(处理) 1 (a-2)(3)f(a)= -2a-1 (-2a2 1-4a (a2)a=-1(提示：通过换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题)(4)-,-1(-1, (5)y=4sin2xcosx y2=8sin2xsin2x2cos2x8()2ymax= (6)y=a2(1+tg2)+b2(1+ctg2)=a2+b2+(a2tg2+b2ctg2)(a+b)2ymin=(a+b)2 (7)设cosxcosy=M,则M+=cos(x-y)-1,1 M-cos(x+y)-1，1M-， (8)cos2+cos2= (sin-)2+ 又sin2=sin-sin20，1sin0, (cos2+cos2)max=2，(cos2+cos2)min=42.提示：左=右43.44.由条件可知cosA=0 A= 12=b+c+2+=6(2-) Smax=108-7245.分析：1+cos(x1+x2)2cosx1cosx2cos(x1-x2)146.设x=cos，y=cos(,0,),则sin(+)=1，+ x2+y2=147.150m48.A离航向所在直线的距离为1520继续航行没有触礁的危险49.设P到AB的距离为d，则S=d(ctg+ctg)当dD，即ctg+ctg时，应向外国船发出警告。50.设AOB=(0180，则S=+2sin(-60)=150时，Smax=2+51.设BOC=，则S(cos(2-)-)时，Smax=52.设BAO=，则OC2=a2(+sin2+cos2)OCmax=-a53.三边之和l=+h=30时，lmin=+h54.设木板在地面上的两顶点在墙角的距变分别是x、y(1)若长边紧贴地面，则a2=x2+y2-2xycos2xy(1-cos)此时Vmax=a2bctg=V1(2)若短边紧贴地面，则b2=x2+y2-2xycos2xy(1-cos) 此时Vmax=b2actg=V2ab0 V1V2当长边紧贴地面，且仓的底面是以a为底边的等腰三角形时容积最大，最大值为a2bctg55.设A(0,a),B(0,b),C(x,0) 则tgACB=tg(ACO-BCO)=当x=时，(ACB)max=arctg