《算术平均数》PPT课件

今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量。这种说法对吗？考点聚焦 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用。1.均值不等式定理及其重要变形：相关定理222222,22220,02222aba babRaba bababa babababa b 2.不等式链：222(,)1122abababa bRab相关定理3.均值不等式定理的适当推广：333(1)3(,)abcabc a b cR3(2)3(,)abcabc a b cR22233(3)(,)1 1 133abca b cabcabc Ra b c *121 2(4)(,)nnnia aaaaa a R i Nn 特别提示 1二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。2“和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。口诀：一“正”，二“定”，三“等号”。3创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或拼凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于等号能够成立。(,)2ababa bR点击高考 lglgab1(lglg)2ablg()2ab43BB1.（2002年北京、春）设a、bR+，且a+b=2,则3a+3b的最小值是（）。A2.（2005年全国）若ab1,P=,Q=,R=,则（）。ARPQ B.PQR C.QPR D.PRQ3.（2004年全国）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 。9ab 题型一、利用基本不等式求最值【例【例1】(1)已知已知求函数求函数 的最大值；的最大值；54x 14245yxx55404xx解：11(45)3(5 4)3455 42 3 1yxxxx 1(5 4)15 4xxx当且仅当，即时,等号成立max1,1.xy 5所以当（-，）时4【例【例1】(2)已知已知 x0，y0，且，且求求x+y的最小值；的最小值；911,xy1900,1xyxy解：，199()()106 1016yxxyxyxyxy 94,12yxxyxy当且仅当，即时,等号成立4,12xyx ymin故当时,（）=16.变式变式:已知已知 且且 ,求求 的的最小值最小值.0,0 ba12 babat11解解:将式中的常数将式中的常数1代换成代换成 ,ba 2则则baabbbaabat2322223223baab当且仅当当且仅当 且且 即即 时上式取等号时上式取等号.baab212 ba221,12ba题型二、利用基本不等式证明不等式【例【例2】已知】已知a，b，cR，求证：，求证：222abab关键：由2222()22ababab22222()2ababab222()22ababcbaaccbba2222222c1b1a12b1a12c1a12c1b1ab1ac1bc1cbacbacabbcaabcbabccabacabcabacbccba222222111所以cbacba111练习、已知a,b,c为不等正数，且abc=1，求证：cbacba111题型三、基本不等式的综合应用【例【例3】某单位决定投资】某单位决定投资3200元建一仓库元建一仓库(长方长方体状体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，元，两侧墙砌砖，每米长造价每米长造价45元，顶部每平方米造价元，顶部每平方米造价20元，元，试算：试算：(1)仓库面积仓库面积S的最大允许值是多少？的最大允许值是多少？(2)为使为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？那么正面铁栅应设计为多长？解析解析:用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系。题意翻译数量关系。设铁栅长为设铁栅长为x米，一堵砖墙长为米，一堵砖墙长为y米，则有：米，则有：S=xy由题意得由题意得40 x+245y+20 xy=32006160SS(16)(10)0SS100S因此因此S最大允许值是最大允许值是100米米2，取得此最大值的条件是，取得此最大值的条件是40 x=90y而而xy=100，由此求得，由此求得x=15，即铁栅的长应，即铁栅的长应是是15米。米。32002 4090201202012020 xyxyxyxySS课堂小结 1.在运用均值不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足“正”、“定”、“等”的条件。2.正确理解：“和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小。”3.注意掌握均值不等式的逆用、变形等，注重数学的思维和能力的培养。研究性问题 有一位同学写了一个不等式：，他发现当c=1、2、3时，不等式都成立。试问：不等式是否对任意正实数c都成立？为什么？2211()xccxRcxc 有一位同学写了一个不等式：，他发现当c=1、2、3时，不等式都成立。试问：不等式是否对任意正实数c都成立？为什么？2211()xccxRcxc 有一位同学写了一个不等式：，他发现当c=1、2、3时，不等式都成立。试问：不等式是否对任意正实数c都成立？为什么？2211()xccxRcxc