二次函数几种解析与求法

二次函数几种解析与求法 二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。一、二次函数常用的几种解析式的确定已知抛物线上三点的坐标三点的坐标，通常选择一般式。通常选择一般式。1、一般式、一般式2、顶点式、顶点式二、求二次函数解析式的思想方法 1、求二次函数解析式的常用方法：求二次函数解析式的常用方法：2、求二次函数解析式的、求二次函数解析式的 常用思想：常用思想：3、二次函数解析式的最终形式：、二次函数解析式的最终形式：待定系数法、配方法、数形结合等。转化思想转化思想:解方程或方程组解方程或方程组 无论采用哪一种解析式求解，最后无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。结果最好化为一般式。例例1、已知二次函数、已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示，求其解析式。求其解析式。解法一：解法一：一般式一般式设解析式为顶点C（1，4），对称轴 x=1.A(-1,0)与 B关于 x=1对称，B（3，0）。A(-1,0)、B（3，0）和C（1，4）在抛物线上，即：三、应用举例三、应用举例例例1、已知二次函数、已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示，求其解析式。求其解析式。解法二：顶点式解法二：顶点式设解析式为顶点C（1，4）又A(-1,0)在抛物线上，a =-1即：h=1,k=4.三、应用举例三、应用举例解法三：交点式解法三：交点式设解析式为抛物线与x 轴的两个交点坐标 为 A(-1,0)、B（3，0）y=a(x+1)(x-3)又 C（1，4）在抛物线上 4=a (1+1)(1-3)a=-1 y=-(x+1)(x-3)即：例例1、已知二次函数、已知二次函数 的图像如图所示，的图像如图所示，求其解析式。求其解析式。三、应用举例三、应用举例评析：评析：刚才采用一般式、顶点式和交点式求解，刚才采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。训练，可事半功倍。2007年中考数学命题趋势，贴近年中考数学命题趋势，贴近学生生活，联系实际，把实际问题转化学生生活，联系实际，把实际问题转化为数学模型，培养学生分析问题、解决为数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学以致用的意识。问题的能力，增强学以致用的意识。例例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是是12米，当水位是米，当水位是2米时，测得水面宽度米时，测得水面宽度AC是是8米。米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是）当水位是2.5米时，米时，高高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。船的高度指船在水面上的高度）。三、应用举例三、应用举例E EF解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。OE=BF=（12-8）2 =2。O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。设解析式为 三、应用举例例例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是是12米，当水位是米，当水位是2米时，测得水面宽度米时，测得水面宽度AC是是8米。米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是）当水位是2.5米时，米时，高高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。船的高度指船在水面上的高度）。PQ(2)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。y=水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 3.6解：顶点（-6，3.6）,当水位为2.5米时，船不能通过拱桥。PQ是对称轴。例例3、将抛物线、将抛物线 向左平移向左平移4个单位，个单位，再向下平移再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。个单位，求平移后所得抛物线的解析式。解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得：(1)、由 向左平移4个单位得：（左加右减）（2）、再将 向下平移3个单位得 （上加下减）即：所求的解析式为 三、应用举例三、应用举例1、已知二次函数的图像过原点，当、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，时，y有最小值为有最小值为-1，求其解析式。，求其解析式。四、尝试练习解：设二次函数的解析式为 x=1,y=-1,顶点（1，-1）。又（0，0）在抛物线上，a =1 即：2、已知二次函数与、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（），点（0，1）在图像上，求其解析式。）在图像上，求其解析式。解：设所求的解析式为 四、尝试练习3 3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为3.6m3.6m，跨度为，跨度为7.2m7.2m一辆卡车车高一辆卡车车高3 3米，宽米，宽1.61.6米，米，它能否通过隧道？它能否通过隧道？四、尝试练习 即当即当x=OC=1.62=0.8米时，米时，过过C点作点作CDAB交抛物线于交抛物线于D点，点，若若y=CD3米，则卡车可以通过。米，则卡车可以通过。分析：卡车能否通过，只要看卡分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高车在隧道正中间时，其车高3米是否米是否超过其位置的拱高。超过其位置的拱高。四、尝试练习3 3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为高度为3.6m3.6m，跨度为，跨度为7.2m7.2m一辆卡车车高一辆卡车车高3 3米，宽米，宽1.61.6米，米，它能否通过隧道？它能否通过隧道？解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，A（-3.6，0），B（3.6，0），P（0，3.6）。又P（0，3.6）在图像上，当x=OC=0.8时，卡车能通过这个隧道。四、尝试练习 4、将二次函数、将二次函数 的图像向右平移的图像向右平移1个单位，个单位，再向上平移再向上平移4个单位，求其解析式。个单位，求其解析式。解：二次函数解析式为（1）、由 向右平移1个单位得：（左加右减）（2）、再把 向上平移4个单位得：（上加下减）即：所求的解析式为刘炜跳投 5.5.刘炜在距离篮下刘炜在距离篮下4 4米处跳米处跳起投篮起投篮,篮球运行的路线是抛篮球运行的路线是抛物线物线,当球运行的水平距离为当球运行的水平距离为2.52.5米时米时,达到最高度达到最高度3.53.5米米,然然后准确落入蓝筐后准确落入蓝筐.已知蓝筐中已知蓝筐中心到地面距离为心到地面距离为3.053.05米米.如果如果刘炜的身高为刘炜的身高为1.91.9米米,在这次在这次跳投中跳投中,球在头顶上方球在头顶上方0.150.15米米处出手处出手,问求出手时问求出手时,他跳离他跳离地面的高度是多少地面的高度是多少?c分析：要求出他跳离地面的高度，关键是分析：要求出他跳离地面的高度，关键是 1.1.首先要求出该抛物线的函数关系式首先要求出该抛物线的函数关系式 2.2.由函数关系式求出由函数关系式求出C C点的坐标，即求点的坐标，即求出点出点C C 离地面的高度离地面的高度h h，h-0.15h-0.15米米-刘炜的身高即刘炜的身高即,他跳离地面的他跳离地面的高度高度.h如图，刘炜在距离篮下如图，刘炜在距离篮下4 4米处跳起投篮米处跳起投篮,篮球运行篮球运行的路线是抛物线的路线是抛物线,当球运行的水平距离为当球运行的水平距离为2.52.5米时米时,达到最高度达到最高度3.53.5米米,然后准确落入蓝筐然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中已知蓝筐中心到地面距离为心到地面距离为3.053.05米米.如果刘炜的身高为如果刘炜的身高为1.91.9米米,在这次跳投中在这次跳投中,球在头顶上方球在头顶上方0.150.15米处出手米处出手,问求问求出手时出手时,他跳离地面的高度是多少他跳离地面的高度是多少?探索探索:Cyxoh解：建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶点A(0,3.5),蓝筐中心点B(1.5,3.05)所以，设所求的抛物线为y=ax3.5 又 抛物线经过点B（1.5，3.05），得 a=-0.2即所求抛物线为y=-0.2x3.5 当x=-2.5时,代入得y=2.25又2.25-1.9-0.15=0.2m所以,他跳离地面的高度为0.2m6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为的宽为20m，如，如果水位上升果水位上升3米时，水面米时，水面CD的宽为的宽为10m（2）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；ABCDOxy（1）建立如图直角坐标系，）建立如图直角坐标系，求点求点B、D的坐标。的坐标。（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥已知甲距此桥 280km（桥长忽略不计）货车以（桥长忽略不计）货车以 40kmh的速度开的速度开往乙；当行驶往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时每小时025m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，处，当水位到达最高点当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为的宽为20m，如，如果水位上升果水位上升3米时，水面米时，水面CD的宽为的宽为10mABCDOxyEF解：解：（1）B（10，0），），D（5，3）（2）设抛物线的函数解析式为）设抛物线的函数解析式为)0(2acaxy由题意可得：由题意可得：3250100caca解得：解得：4251ca抛物线的函数解析式为：抛物线的函数解析式为：42512xyABCDOxyABCDOxyEF(3)解解:E(0，4)抛物线的函数解析式抛物线的函数解析式为：为：42512xy又有题意可得：又有题意可得：F（0，3）EF1水位有水位有CD上升到点上升到点E所用的时间为所用的时间为4小时。小时。设货车从接到通知到到达桥所用的时间为设货车从接到通知到到达桥所用的时间为 t.则则40（t1）280解得：解得：t64故货车按原速行驶，不能安全通过此桥。故货车按原速行驶，不能安全通过此桥。设货车速度为设货车速度为x kmh，能安全通过此桥，能安全通过此桥.则则4x+40280 解得解得x60故速度不小于故速度不小于60kmh，货车能安全通过此桥。，货车能安全通过此桥。（4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥已知甲距此桥 280km，货船以，货船以 40kmh的速度开往乙；当行驶的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时025m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在的速度持续上涨（货车接到通知时水位在AB处，当水位到达处，当水位到达CD时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？度应不小于每小时多少千米？6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为的宽为20m，如，如果水位上升果水位上升3米时，水面米时，水面CD的宽为的宽为10mABCDOxy