辅助角公式在解物理极值问题中的应用

辅助角公式在解物理极值问题中的应用(总2页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company Onel-CAL -本页仅作为文档封面，使用请直接删除辅助角公式在解物理极值问题中的应用辅助角公式对于 acosx+bsinx 型函数，我们可以如此变形 acosx+bsinx二Sqrt(a2+b“2)(acosx/Sqrt (a2+b2)+bsinx/Sqrt(a2+b“2)，令点(b,a)为某一角 终边上的点，则 sin二a/Sqrt(a ”2+b”2),cos二b/Sqr t(a2+b“2).acosx +bsinx 二 Sqrt(aA2+bA2)sin(x+arctan(a/b)这就是辅助角公式设要证明的公式为 asinA+bcosA=7(aA2+bA2)sin(A+M) (tanM=b/a)以下是证明过程：设 asinA+bcosA=xsin(A+M)asin A+bcosA=x(a/x)s in A+(b/x)cosA)由题，( a/x)A2+(b/x)A2=1,sinM=a/x,cosM=b/xx=(aA2+bA2).asi nA+bcosA=7(aA2+bA2)si n(A+M) ,ta nM=si nM /cosM=b/a辅助角公式asina+ bcosa= sin(a+q)，其中 tanq=b/a，其终边过点(a, b),asina +bcosa= cos(a-q),其中 tanq=a/b，其终边过点(b,a)例4 物体质量为m,置于倾角为a的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为口，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。解析 :设拉力与斜面的夹角为e，物体的受力分析，如图5所示由物体的平衡条件可得：Fcose f = 0FNmgcose= 0 又因f=FN 由式得：即：F =(sin a + p cos a)mgcos 0 + p sin 0由数学知识，上式中分子值一定，当分母cose+usine最大时，分数值F最小。由辅助角公式，cose+iusine二 fl + 卩2 sin (9+p)，其中 tanf=1/,当 sin (e+B) =1 时,cose+usine最大，此时e+B=90, cose+usine的最大值是 fl + 卩2 ,r(即 cose+usine满足 cos 0 + p sin 0 = 丫1 + p2 sin(P + 0)W (1 + p2 ) 拉力的最小值：F =(血cosQ)mgminJ1 + p 2例题 4、物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因 卩，物体重为G,欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最 力 F 为多大？该题的已知量只有卩和G,说明最小拉力的表达式中最多只含和G,但是，物体沿水平地面做匀速直线运动时，拉力F可由夹角图m g数为小拉有卩 的不同值而有不同的取值。因此，可根据题意先找到F与夹角有关的关再作分析。系式解：设拉力f与水平方向的夹角为e,根据题意可列平衡方程式, 即 F cos 0 - f = 0 N + Fsin0 = G f =卩N由联立解得：|lxG|lxG|lxGF = z卩 sin 0+ cos0J1 +y 2 (sin 0 cos + cos0 sin )J1 +p 2 sin(0 +)其中 tan =, F =G卩 min 小+h 2说明1 : y = a sin 0 + b cos0的最大值为 ：a 2 + b 2。 说明2 :对于例题4，我们也可用矢量知识求解:将摩擦力f和地面对木块的弹力N合成一个力 如图，F与竖直方向的夹角为tan = N =卩（为定 值）。这样木块可认为受到三个力:重力G,桌面对木块 用力F和拉力F的作用。尽管F大小方向均未确定， 向一定,但大小未定,但三力首尾相连后必构成三角FF,如右图所示。只用当F与F垂直时，即拉力与水平方的作 F方 形,向成角时，拉力F最小为F = G sin ，而sin =tan 、.1 + tan 2 故 F = G sin =卫+卩2在倾角为e的斜面上，水平放置一段通有电流强度为I,长为L,质量为m的导体棒a,(通电方向垂直纸面向里)，如图所示，棒与斜面间动摩擦因数为Ugvtan 0).欲使导体棒静止在斜面上,可加匀强磁场，磁感应强度B最小值是多少磁感应强度B的方向如何解析设当安培力与斜面成a角时B最小，mg(sine pcoS9)(coscx + y sina) 心帀2sin(a + 卩)mg(sin0 - coS9)N=mgcos0 + BILsina. mgsin0 = N + BILcosa.当a + B=90时,sin (a + p)只 mg (sin0 - p cosminIL&+p 2最大，B最小