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3.3.2 函数的极值与导数 函数的极 值与导数 内容： 函数极值的概念及其与 导数 的关系 应用 求函数的极值 给函数的极值求 函数的解析式 给函数的极值求函 数的单调区间 本课主要学习 函数的极值与导数 。 以视频 摆锤极限 转动最高点 引入新课 ， 接着探讨在 跳水运动中 ,运动员相 对于水面的高度与起跳后的时间的函数图象 ， 从图象的 增与减定义函数 极大值的概念 ， 类似地借助函数图象 定 义函数极小值的概念 ， 探讨判断函数极值的方法和步骤 。 重点是理解函数极值的概念 ， 会用导数求函数的极大 值与极小值 ， 掌握利用导数求不超过三次的多项式函数 极值的一般方法 .难点是函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件 为了巩固新知识 ， 给出 3个例题和变式 ， 通 过解决问题 说明导数在求函数极值问题中的应用 。 在讲述 函数的极值与导数 时 ， 采用例题与变式结合 的方法 ， 通过例 1和变式 1探讨求已知函数 极值的方法 。 例 2和变式 2、 例 3和变式 3都是利用已知的极值点求函数 的解析式或函数的单调区间 。 采用一讲一练针对性讲解 的方式 ， 重点理解 导数在求函数极值中 应用 。 通过观看视频，大家一起讨论一下 摆锤极限 转动最高点 问题 . 摆锤极限转动最高点 跳水运动中 ,运动员相对于水面的高度 h(单位：米 ) 与起跳后的时间 t(单位：秒 )存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 其图象如右 . t h o t h o a 0)( ah 0)( th 单调递增 0)( th 单调递减 y o xdb fca e hg 对于 d点 , 函数 y=f(x)在点 x=d的函数值 f(d)比在其附 近其他点的函数值都小， =0. 在点 x=d 附近的左侧 0 )(xf )(xf 我们把点 d叫做函数 y=f(x)的 极小值点 ， f(d)叫做函数 y=f(x)的 极小值 . y o xdb fca e hg 在点 x=e 附近的左侧 0 在点 x=e 附近的右侧 0 f(x) =0 f(x) 0 极大值 减 f(x) 0 请问如何判断 f (x0)是极大值或是极小值？ 左正右负为极大，右正左负为极小 函数 y=f(x)的导数 y/与函数值和极值之间的关系为 ( ) A、导数 y/由负变正 ,则函数 y由减变为增 ,且有极大值 B、导数 y/由负变正 ,则函数 y由增变为减 ,且有极大值 C、导数 y/由正变负 ,则函数 y由增变为减 ,且有极小值 D、导数 y/由正变负 ,则函数 y由增变为减 ,且有极大值 D 例 1、求函数 f(x)=x3-12x+12的极值 . 解： =3x2-12=3(x-2)(x+2) )(xf 令 =0 )(xf 得 x=2,或 x=-2 下面分两种情况讨论： (1)当 0即 x2,或 x-2时 ; )(xf (2)当 0即 -2x0,得 x1, 所以 f(x)的单调增区间为 (-,-2) (1,+) )( xf )( xf 由 0,得 -2x0,列表如下 : x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 极大值 极小值 )(xf )1,( ),1( 由表可得 ,即 . 0 4 )1(0 )1(4 cba cba f f 又 5a=3b,解得 a=3,b=5,c=2. (2)设 a0,列表如下 : x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 极小值 极大值 )1,( ),1( )(xf 由表可得 ,即 . 0 4 )1(0 )1(4 cba cba f f 又 5a=3b,解得 a=-3,b=-5,c=2. 练习 2:已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值 为 10,求 a、 b的值 . 解 : =3x2+2ax+b=0有一个根 x=1,故 3+2a+b=0. )(xf 又 f(1)=10,故 1+a+b+a2=10. 由 、解得 或 . 3 3 11 4 b a b a 当 a=-3,b=3时 , ,此时 f(x)在 x=1处无 极值 ,不合题意 . 0)1(3)( 2 xxf 当 a=4,b=-11时 , ).1)(113(1183)( 2 xxxxxf 当 -11/3x1时 , ,此时 x=1是 极值点 . 0)(0)( xfxf 从而所求的解为 a=4,b=-11. )( xf )( xf 一般地 ,求函数的极值的方法是 : 解方程 =0.当 =0时 . 如果在 x0附近的左侧 右侧 那么 ,f(x0)是极大值 ; 如果在 x0附近的左侧 右侧 那么 ,f(x0)是极小值 . 0)( xf 0)( xf 0)( xf0)( xf 即“峰顶” 即“谷底” a b x y )( xfy O 1.（ 2014年天津 )函数 的定义域为开区间 )(xf 导函数 在 内的图像如图所示 ,则函数 在开区间 内有（ ）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4 )(xf ),( ba ),( ba ),( ba )(xf A f(x) 0 f(x) =0 注意： 数形结合以及原函数与导函数图像的区别 必做题 : 2.函数 在 时有极值 10， 则 a， b的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 以上都不对 223)( abxaxxxf 1x 3,3 ba 11,4 ba 1,4 ba 11,4 ba 11,4 ba C 解 :由题设条件得： 解之得 注意： f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 注意代 入检验 3.求下列函数的极值 : x x y 1 1）（ 161282 23 xxxy ）（ 1.函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值， 又有极小值，则 a的取值范围为 . 注意： 导数与方程、不等式的结合应用 选做题 : 32()f x a x b x c x 2.(2012年北京卷 )已知函数 在点 处取得极大值 5,其导函数 的图像 (如图 )过点（ 1,0） ,（ 2,0） , 求： （ 1) 的值；（ 2） a,b,c的值； 0 x ( )y f x 0 x 略解： (1)由图像可知： (2) 注意： 数形结合以及函数与方程思想的应用
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