《直线与圆的位置关系》教案

课题：直线与圆的位置关系胪岗植英中学 郭梓华教材：普通高中课程标准实验教科书必修2 第四章第2节教学目标1.能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系；2.通过直线与圆相交所得的弦长求割线的方程，向学生渗透类比、分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析和发现问题的能力。3. 能应用直线与圆的位置关系解决一些相关的生活问题。教学重点与难点1.直线与圆的方程的应用；2.如何实现“数”与“形”的有机结合。教学方法与手段直观演示，分析类比，讲练结合。教学过程一.情景引入 让学生欣赏一幅“海上日出图”，说出他们所看到的数学元素圆和直线，由此引出对直线与圆的位置关系的思考。教师借助多媒体平台演示：模拟日出的全过程，让学生观察，得出直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。二、知识新授1、复习题问：我们可以怎样判断直线与圆的位置关系？ 相交 相切 相离 方法1 从交点个数看（代数法）：直线l：AxByC0；圆：x2y2DxEyF0，联立可得：一元二次方程方法2 从圆心到直线的距离看（几何法）：直线l：AxByC0；圆：(xa)2(yb)2r2，圆心(a，b)到直线l的距离为d3、例题分析：例1、如图，已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆C的位置关系。如果相交，求它们交点的坐标。让学生自主讨论，小结方法：联立直线与圆的方程组成方程组。过程为： 消去y，整理，得 x2-3x+2=0=9-48=10解得或，故直线与圆有两个交点(2,0)和(1,3)。依据圆心到直线的距离与半径长的关系。过程是：x2+y2-2y-4=0可整理为x2+(y+2)2=5 C(0,-2)，r= 圆心到直线的距离为直线与圆相交。接下来，再联立直线和圆的方程求交点坐标。教师点评：对比两种解法，哪种方法更优越？例2、已知直线L过点 M(-3,-3)，且被N：x2+y2+4y-21=0所截得的弦AB以M为中点，求直线L的方程。设问：已知直线过一点，要求直线方程，关键是确定什么量？学生会发现：只要求出直线的斜率就行，而直线NMAB，因此由互相垂直的直线的斜率的关系可得L的斜率，问题可顺利解决。变式1 已知直线L过点 M(-3,-3)，且被N：x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为|AB|=4，求直线L的方程。通过学生讨论，可能有两种解答方法（代数法、几何法），教师可根据实际情况，引导学生在草图中寻找有用信息，使他们能初步建立起从数到图的过度，并小结出“半弦长、弦心距和半径长”之间的数量关系。在解法的对比上，加深学生对利用图形的认识、理解。ABCNM请一学生板书解答过程：解：过N作NCAB于C，连结NA设直线方程为y+3=k(x+3) x2+y2+4y-21=0可化为 x2+(y+2)2=25|NA|=5，|AM|=2|MN|=解得 k=2 或 k=所求的方程是y+3=2(x+3), y+3=-(x+3)即2x-y+3=0或x+2y+9=0变式2 已知直线L过点 M(-3,-3)，且被N：x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为|AB|=8，求直线L的方程。学生在上面一道题的基础上，很快便能计算出直线方程是4x+3y+21=0。由此提问：为什么题目条件相似，方法一样，上面一道题就得两个方程，这一道题就只有一个呢？ 根据学生讨论的结果，教师小结：不是所有的直线都有斜率，用点斜式求直线方程时，应该先考虑直线斜率不存在的情况。练习：已知直线L过点 M(-3,-3)，且被N：x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为|AB|=2，求直线L的方程。答案：3x+y+12=0 学生发言，教师总结，从代数、几何两个方面分析解法，进一步加深对“数形结合”优越性的认识。探究 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？台风港口 设问：若你是船长，你认为是否必须改变航线？提示：是否改变航线，主要是由什么因素来决定？由学生找出解决方案。方法一 建立坐标系，借助直线与圆的位置关系求解。方法二 由三角形面积不变，可得。三、小结1、学生小结：直线与圆位置关系的判断方法（从交点个数和点线距离两方面）2、教师小结：求直线方程时，要注意斜率不存在的情况；解题时注意分析图形中隐含的“矿藏”。四、课外思考题若实数x，y满足方程：x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最大值和最小值。【教案设计说明】圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究直线与圆的位置关系的判断方法及其简单应用。首先，由海上日出引出课题，让学生感受到数学就在每个人的身边，增强学生用数学的意识。然后，由判断直线与圆的位置关系的例1开始，由浅入深，引导学生探求解题方法。为了培养学生的理性思维，我在例2中，设计了两次改变弦长的问题，拓宽学习思路，培养学生的分类讨论的能力。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成.学好数学是为了让数学更好地服务于生活。所以，我设置了一道探究题，使整节课以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。