2014年女子数学奥林匹克试题word版

2014年女子数学奥林匹克试题第一天 2014年8月12日 上午8：00-12：00广东中心华南师范大学中山附属中学1、 如图， 与 交于 、 两点，延长 交于点 ，延长 交于点 ，过点 作 交于另一点 。若 ，求证： 。（郑焕供题）解答：2、 设 ，且 是 的一个排列，其中 是给定的整数。求 的最大值和最小值。注： 表示不超过实数 的最大整数。（梁应德供题）3、 在 名学生中，每名学生恰好认识 名男生和 名女生（认识是相互的）。求所有可能的正整数对 。（王新茂供题）4、 对整数 ，定义 为满足下列条件的数列 的个数：（1） 对每个；（2） （3） 对每个 求证：存在各项均为正数的正比数列 ，使得对任意整数 ，都有 （朱华伟供题）第二天 2014年8月13日 上午8：00-12：00广东中心华南师范大学中山附属中学5.设正整数 不是完全平方数， 是关于 的方程 的一个实根。求证： 是无理数。（李胜宏供题）6.如图，在锐角 中， 、 分别是边 、 的中点， 的外接圆与 的外接圆交于点 （异于点 ）， 的外接圆与 的外接圆交于点 （异于点 ）。求证： 。（付云皓供题）7.对有限非空实数集 ，记 的元素个数为 ， 集合对 满足 且 任取 ，令 对所有满足上述条件的 与 ，求 的最大值。（何忆捷供题）8.设 是正整数， 是 中所有与 互素的数构成的集合，记 如果 的元素个数是3的倍数，求证：集合 的元素个数相等。（王彬供题）