对数公式及对数函数的总结

对数运算和对数函数对数的定义 若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数 负数和零没有对数。对数式与指数式的互化：。常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中）对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高。类型一、对数公式的应用1计算下列对数 2 解对数的值： 0 -1的值0提示：对数公式的运算 如果，那么（1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4） （5） （6）换底公式： （7） （8）类型二、求下列函数的定义域问题1函数的定义域是2设，则的定义域为 3 函数的定义域为（ ）提示：（1）分式函数，分母不为0，如。（2） 二次根式函数，被开方数大于等于0，。（3） 对数函数，真数大于0，。类型三、对数函数中的单调性问题1函数的单调递增区间为（ ）2函数的单调递增区间是 3函数的递增区间是（ ）4已知，则的最小值为（ -2 ）5若函数在区间上是增函数，的取值范围。6不等式的解集为 7设函数，且满足，求的最大值。12.提示：（1）在对数函数中中，当，在其定义域上是增函数；当，在其定义域上是减函数。（2）在复合函数中，函数的单调性复合同增异减。类型四、对数函数中的大小比较1已知，比较，的大小。2已知，比较的大小关系 3设，则的大小关系 4若，则B （A）（B）（C）（D）5若，且，则与之间的大小关系是（ ）提示：在比较大小题型中，当，；当，。类型五、对数函数求值问题1已知函数，若，则 22解方程 或3已知,若，则，。 4已知函数，若，则的值为_0_提示：在对数函数求值过程中，主要用到对数公式类型六、对数函数中的分段函数问题1设函数，则的值为（ 2 ）2已知则_7_.3已知函数满足：当，则；当时，则提示：分段函数中涉及到对数公式，需要注意函数的定义域问题类型七、对数函数中含参数问题1若，则的取值范围是 2 若关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围。3函数，当时，则的取值范围是（ ）4设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 4提示：对数函数中有参数以及求参数的取值范围，需要考虑对数函数的单调性，综合性很强。类型八、对数函数中的图像问题1当时，函数和的图象只可能是()2函数的大致图象是()3图2-2-2中的曲线是对数函数的图象，已知取四个值。则相应的值依次为（ ）提示：函数的图像题型，先看奇偶性再看单调性，然后用特指排除。类型九、对数函数中的奇偶性问题1若函数是奇函数，则 。2若函数为偶函数，则 1 3若函数是偶函数，则_.4 若函数是偶函数，且在上最大值为2，则的值 2提示：偶函数必有，然后求参数。类型十、对数函数中的绝对值问题1 已知函数，若，求的取值范围2已知函数，若且，则的取值范围是 3已知函数,若,且,则的取值范围是提示：已知对数函数的图像，只需要把轴下方的图像翻到轴上方。如果当，且，必有，以及。类型十一、对数函数中的综合问题1若函数在上的最大值和最小值之和为，则a的值为(2)2若，则的最小值为（ ）3设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）4已知两个函数，(1)若，在的最大值为18，求值；(2)对任意的时，求的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 提示：对数函数中可以和不等式，单调性，导数等进行综合，解答中需要多个知识点相结合多种考虑。习题类型一、关于对数公式的应用1求下列各式中的的值： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；（6）2化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)(5) (6)(7) (8)(9)； (10) （11）3设，且，则 4计算 的值 2.5计算：的值 6计算：的值 1027 计算： -18计算：的值是(0 )9计算： 的值是( 2 )10已知为正数，且，求使的值。111已知，是方程的两个根，则的值是（ 2 ）12已知，且，则与的大小关系_13设方程的两个根分别为，求的值14已知，求的值。415实数，且，求的值。1，5，916已知为正整数，且，且，求的值。类型二、对数函数的应用1函数的定义域是_ 2函数的定义域为 .3函数的定义域是() 4函数的定义域_。5若，则的定义域为（ ） 6函数的定义域是()7求函数的定义域 8函数的定义域为()9函数的定义域是（）10函数的定义域是（） 11函数的定义域是（ ） 12函数的定义域是（ ）13函数的定义域是，则函数的定义域是_14 函数的定义域是（ ）15函数的定义域是（ ） 16函数的定义域是（ ） 17函数的定义域是（ ）18已知函数的值域为，则函数的定义域是()19函数的值域是（ ）20函数的值域是( )21函数在上的值域是()22函数的值域是（ ）23函数的值域是( ).24函数的值域是( ).25函数的值域是( ).26函数的单调减区间是（ ）27若函数在区间内单调递增，则的取值范围是28已知函数，使是单调增函数的值的区间是( )29如果函数与的增减性相同，则的取值范围是_30函数的单调递减区间是_31函数是单调增函数的区间是()32函数在定义域上(A) A是增函数 B是减函数 C先增后减 D先减后增33已知，如果，则的取值范围是_34设偶函数在上单调递减，则与的大小关系是（ A ）A. B. C. D. 不能确定 35函数（ B ）A. 是偶函数，在区间上单调递增 B. 是偶函数，在区间上单调递减C. 是奇函数，在区间上单调递增 D. 是奇函数，在区间上单调递减36已知函数,若，求的取值范围；37设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）38若，那么满足的关系（ ）39三个数的大小关系是（ ）40如果，那么下面不等关系式中正确的是( )41设，则的大小关系()42若，且，则下列不等式成立的是C（A） （B）（C） （D）43若，则的大小关系（ ）44若，则的大小关系（ ）45设则的大小关系46设均为正数，且，.则的大小关系（ ）47已知则的大小关系 48若,则的大小关系 49已知，比较的大小关系50若，令，则的大小关系( )51已知则_.52已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）53已知函数,若,则（ ）54函数，若,则的值是（ 2）55已知函数则_56已知，那么 .57设函数,( 9 )58已知函数，且，则=- 59已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为 60已知函数，若，求的值61函数的最大值是_5_.62若，则_63若，使，那么_10_64若，使，那么_2_65已知函数，求的值 66已知函数 ，若则= 167对数函数的图象过点(8,3)，则此函数的解析式为_68设且，函数和的图象关于(A)Ax轴对称By轴对称 Cyx对称 D原点对称69已知函数的图象关于原点对称，则实数的值为_1_ 70已知函数的图象关于原点对称，则实数的值为_1_ 71函数的图象关于（ 原点 ）对称72若，则实数的取值范围是()73若，则实数的取值范围是()74等比数列的各项均为正数,且,则( 10 ) 75已知函数是奇函数，当时，且，则点的值为（）76函数的图象关于轴对称，且对任意都有，若当时，则（ ）77函数的图象与函数的图象关于直线对称，则_。78设（且），若（，），则的值等于_3_。79将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式为_。80已知是方程的根，是方程的根，求的值200881设常数，实数、满足，若的最大值为，则的值为（ ）82已知对数函数 ，且在区间上的最大值与最小值之积为，则 （ ）83若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为_84若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为( 2 )85若函数在区间上的最大值是最小值的差为，则的值为( 2 )86若函数的定义域和值域都是，则 387已知函数，当时，函数的最大值比最小值大3，则实数的值888若函数在上的最大值和最小值之和为，则的值为()89若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则的值为_90函数 在上的最大值与最小值之差为，求在上的最小值为291若满足 ,求最大值和最小值。2 92设函数有两个极值点，且，求的取值范围，93若函数的值域为，则实数的取值范围为_。94若函数的定义域为，则实数的取值范围是_。95函数在上恒有，则取值范围是_96已知是上的增函数，求的取值范围97已知是上的减函数，求的取值范围98已知函数在上是的减函数，则的取值范围是（ ）99已知函数,当时，函数恒有意义，求实数的取值范围。100若不等式在内恒成立，则的取值范围是（ 101函数在上是减函数，求实数的取值范围102当时，则的取值范围是（ ） 103已知函数，则实数的取值范围是( )104如果的解集为，则实数的值是( 2 )105函数的定义域是，则实数的取值范围是_106函数，若，则实数的取值范围是_107已知，其定义域为，试判断的奇偶性并证明108判断下列函数的奇偶性：（1） （2） （3）109试比较的大小。110函数的图象过定点_111函数的图象过定点_112函数的图象过定点_112函数的图象过定点_113使成立的取值范围114函数，其中，若对任意，有，则的取值范围是_115设，函数，则使的的取值范围是（）116函数的图象必过的定点坐标为_.117已知函数满足：且.（ B ）A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则118函数的值域为 .119已知函数,若,则的取值范围是120函数 若均不相等，且，则的取值范围是121设函数的图像与关于直线对称，且，则2122已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）123已知两条直线：和：，与函数的图象从左至右相交于点，与函数的图象从左至右相交于点,记线段和在轴上的投影长度分别为,当变化时，求的最小值124若满足, 满足,则+125函数的图象与函数的图象关于直线_对称126函数的图象和函数的图象的交点个数是（ 3 ）127当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）128已知，则的图象（ ）129函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ c ）130函数的图象大致是（ D ）131已知，且，函数与的图象只能是图中的（ ）132已知函数；则的图像大致为（ ）133已知函数，函数（，且）（1）求函数的定义域（2）求使函数的值为负数的的取值范围：答案：当时，的取值范围是；当时，的取值范围是134已知函数其中.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为-4，求的值.135已知函数，（1）求出使成立的的取值范围；（2）在（1）的范围内求的最小值当时，从而136已知函数(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性；(3)求函数的值域137已知函数满足，且对于任意的，恒有成立（1）求实数，的值；即，（2）解不等式138已知函数.（1）设,函数的定义域为, 求的最大值;4（2）当时，求使的的取值范围.139已知函数（1）若，且为偶函数，求实数的值；（2）当，时，若函数的值域为，求实数的取值范围140已知，函数=.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；或（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.141设函数（1）求的定义域；（2）时，求使的所有值142已知。（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性；奇函数（3）求使的的取值范围。故当时，；当时，。143已知函数。（1）求函数的解析式；（2）求的值；1（3）解方程。或。144已知函数（）。（1）求的定义域、值域；（2）判断的单调性；所以函数在上是减函数；145已知函数（，且为常数）。（1）求这个函数的定义域；（2）函数的图象有无平行于轴的对称轴？（3）函数的定义域与值域能否同时为实数集？证明你的结论。146已知函数(1)分别求这两个函数的定义域；(2)求使的的值；(3)求使的值的集合147已知函数(1)求函数的定义域；(2)证明:是减函数