数二考研公式

导数公式：(tgx ) = sec 2 x(ctgx ) = csc 2 x(sec x) = sec x - tgx(csc x) = csc x - ctgxaxln a(logx ln a基本积分表：J tgxdxIn cos x + C高等数学公式J ctgxdx=In sin x + C(arcsinx )=(arccosx )=( arctgx)=1( arcctgx) =Jdxcos 2Jdx1xsin：1 x2V1 x 2= J sec2 xdx=tgx + C= J csc2 xdx=一 ctgx + Csec xdx=In sec x+ tgx | + C2xcsc xdx=In esc xctgx | + Csec-tgx dxsec xa2 + x2=a adx1x 2 a 22adx1a2 x22adxadx1va 2 x2+ Ca+xIn+ Casin nxdx= J2 cosn xdx02 + a 2 +2J H x2 + a 2 dxx2 一 a 2 dxx一 x2 dx2三角函数的有理式积分：2u1 一 u2sin x =cos x =u = tgcsca x dxJ shxdxJ chxdx-ctgxdxaxdxln a= chx= shx=一 esc x + Cn2a2ln(2a2In2a2xarcsin + C 2a2 dudx =一些初等函数：双曲正弦 :shx =e xe x2e x+ e 一 x双曲余弦 :chx =2shxe x双曲正切 :thx =chxexarshx = ln（1x + x2 +1）archx = ln（ x + /V x 21）11 + xarthx = ln21 x+ e - xe - x两个重要极限：sin xlim= 1x T 0 xlim （1 + 丄）x = e = 2.718281828459045 .x T gx三角函数公式诱导公式：函数 角asincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90-acosasinactgatga90+acosa-sina-ctga-tga180-asina-cosa-tga-ctga180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270+a-cosasina-ctga-tga360-a-sinacosa-tga-ctga360+asinacosatgactga和差角公式：sin（ a 卩）=sin a cos 卩 土 cos a sin 卩 cos（ a P ） = cos a cos 卩 + sin a sin 卩 tg a tg 卩tg （a 卩）=门1 + tg a - tg 卩Ctg a - ctg 卩 + 1Ctg （a 卩）=ctg P ctg a和差化积公式：a + P a P sin a + sin p = 2 sincos -22a + p . a psin a sin p = 2 cossin -22a + p a p cos a + cos p = 2 coscos -22a + p . a pcos a cos p = 2 sinsin -22倍角公式：sin 3a = 3 sin a - 4 sin 3 asin 2a = 2 sin a cos acos 2a = 2 cos 2 a - 1 = 1 一 2 sin 2 a = cos 2 a 一 sin 2 a ctg 2a 一 1 ctg 2a =2 ctg a2 tg atg 2a =-1 一 tg 2acos 3a = 4 cos 3 a 一 3 cos atg 3a3 tg a - tg 3a1 一 3 tg 2a半角公式：a 1 一 cos a sin = 土2 2a ,1 一 cos a 1 一 cos a sin a tg = = =21 + cos a sin a 1 + cos aa 1 + cos acos = 2 2a , ,1 + cos a 1 + cos a sin a ctg = = =21 一 cos a sin a 1 一 cos a正弦定理：asin Absin B余弦定理： c2 = a2 + b2 一 2 ab cos Csin C反三角函数性质:arcsinx = 一 arccos2兀arctgx = 一 arcctgx2高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz )公式:（uv ）（n）= C ku（ n - k ） v （k ） nk=0=u（n）v + nu（ni）vn（n 一1）n（n+u（n - 2） v + .+2!一 1）（n 一 k + 1）u （一k）v（k）+ + uv（n）k!中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理：f (b) - f (a) = f忆)(b - a)柯西中值定理：当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率:弧微分公式：ds = ；1 + y2 dx ,其中y = tg a化量； A s： M M 弧长。 A a平均曲率：K = .Aa :从M点到M 点，切线斜率的倾角变A sM点的曲率：K = limA s T 0AaA s直线：K = 0;半径为a的圆：1 K =.a定积分的近似计算:ff yV（1 + y2）3d ads矩形法：J f (x)(y + y + + y )n01n-1a梯形法：J f (x) = b 1( y + y ) + y + + y n 2 0n1n-1a抛物线法：J f (x) -(y + y ) + 2(y + y + + y ) + 4(y + y + + y )3n0n24n-213n-1a定积分应用相关公式：功：W = F - s水压力：F = p - Amm引力：F = k i 2 ,k为引力系数r2函数的平均值：y =J f (x)dxb-aa1均方根：J f 2 (t) dtb - aa=Mm1 2Pr j ABu空间 2 点的距离： ( x x )2 + (y y )2 + (z z )2 2 1 2 1 2 1 |aB |-cos申,申是AB与u轴的夹角。空间解析几何和向量代数：u 1212a b = la 1- b cos0 =ab+a b +ab , 是一个数量xxyyzza b +a b+a b两向量之间的夹角：cos0=I1y yipa2+ a 2 + a2 b2 + b2 + b 2xyzxyzijkc = a x b = aaa ,k=a I-bsin 0 .例:线速度：v= w x r.xyzbbbxyzaaaxyz1 1向量的混合积：ab门=(ax b ) - C=bbb=a x b-lc Icos a, a为锐角时,xyzcccxyz向量在轴上的投影Pr j (a + a ) = Pr ja + Pr ja代表平行六面体的体积平面的方程：1、点法式：A(x 一 x ) + B (y 一 y ) + C (z 一 z ) = 0,其中 N = A, B, C, M (x , y , z )000002、一般方程： Ax + By + Cz + D = 03、截距世方程：王+ ab平面外任意一点到该平面的距离：Ax + By + Cz + D0 00x = x + mt0空间直线的方程：0 = t,其中s = m, n, p;参数方程:y = y + Nt0Z = Z + pt0二次曲面：1、椭球面：x2一 +a2y2+b2巴=1c22、抛物面：x2y 2+ 二z(, q 同号）2p2q3、双曲面：单叶双曲面x2y2+ z2=1a2b2c2双叶双曲面x2y2z2+ -=1（马鞍面）a2B 2c2多元函数微分法及应用全微分：dz = dx + dy dxdydud ud u d u=dx + dy + dz dy dz全微分的近似计算：Az - dz=/ (x, Y) A x + / (x, y ) A ydzd zd ud zdvz = / U (t), V (t)- +dtdudtdvd td zd zdu dzd vz = / U (x, Y), v (x, Y)-+ -dxdudxdvdx当 u = u (x, y), v =v (x, y)时，d ud udvd vdu =dx +dydv=dx +dydxdydxdy隐函数的求导公式：隐函数 F(x,y) = 0dyF一兀,d2 yddxFydx 2dxdzFd zF隐函数 F(x,y,z)=0,= ,dxFzdyFzxY多元复合函数的求导法dyJ)+ (-仃)-F dy F dxF F (x, y , u , v) = 0d F d FFFuvGGuvQ u丄Q (F , G )Q vQ (F , G )QxJQ(x,v)QxJQ(u, x)Q u丄Q (F , G )Q vQ (F , G )QyJQ(y,v)QyJQ(u, y)隐函数方程组：I G (x, y , u , v) = 0多元函数的极值及其求法：设 f (X , y ) = f (x , y ) = 0，令:x 00 y 00f (x , y ) = A,xx 00f (x , y ) = B,xy 00f (x , y ) = Cyy 00斗AAC B 2 0 时，I A 贝y： AC B 2 0时， 0,(x ,y )为极小值00无极值AC B 2 = 0时，不确定重积分及其应用：JJ f (x, y) dxdy = JJ f (r cos 9 , r sin 0 ) rdrd 9曲面z = f (x, y)的面积A = JJf +D(Q x丿 0)的引力:F = F , F , F ，其中： xyzF = f JJ- p (x, y) xd Qx=f JJ- P(x,y)ydQ3=-fa JJ- p (x, y) xd Q微分方程的相关概念：一阶微分方程：y = 可分离变量的微分方程f (x, y)P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0：一阶微分方程可以化 为 g ( y ) dy =f ( x ) dx 的形式，解法：J g (y)dy =J f (x)dx得：G(y) = F (x) + C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成=f (x, y) = 9 (x, y)，即写成的函数，解法: dxdxdu=u + x，dxduu +=9 (u=分离变量，积分后将dxx 9(u) u2代替u,x即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、 一阶线性微分方程：空+ P (x) y = Q (x)dx,/当Q (x) = 0时,为齐次方程，y = CeP(x)dx.当 Q(x)丰 0时，为非齐次方程，y = (f Q(x)eP(x)dxdx + C)eP(x)dx2、 贝努力方程：+ P(x)y = Q (x)yn,(n 丰 0,1)dx全微分方程：如果P(x, y)dx + Q (x, y)dy = 0中左端是某函数的全微分方程，即：d ud udu (x, y) =P(x, y)dx +Q (x, y)dy= 0,其中： =P(x,y )，=Q (x,y)d xd yu(x, y) = C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：d 2 ydy/ f (x)三0时为齐次+ P (x)+ Q (x) y = f (x ),；.dx 2dxf (x)丰0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y+ py+ qy = 0,其中 p, q为常数；求解步骤：1、 写出特征方程：(A)r2 + pr + q = 0,其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y ”, yy的系数;2、求出(A)式的两个根r , r123、根据 r ,r 的不同情况，按下表写 出(*) 式的通解：12r， r的形式1 2(*)式的通解两个不相等实根(p 2 - 4q 0)y = c ex + c er2x1 2两个相等实根(p 2 - 4q = 0)y = (c + c x)erix1 2一对共轭复根(p2 - 4q 0)r = a + i B， r = a - i B1 2fPc v4 q - p2 a = -， B =2 2y = e 以(c cos Bx + c sin Bx)1 2二阶常系数非齐次线性微分方程y+ py+ qy = f(x)， p,q为常数f (x) = e xP (x)型，九为常数；mf (x) = e 人x P (x) cos x + P (x) sin x型ln