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预备知识 (二 ) 一、基本初等函数 二、复合函数 初等函数 三、双曲函数与反双曲函数 四、思考与小结 一、基本初等函数 1、 幂函数 )( 是常数 xy o x y )1,1( 1 12xy xy xy 1 xy 2、指数函数 )1,0( aaay x xay x ay ) 1( )1( a )1,0( xey 3、对数函数 )1,0(l o g aaxy a xy ln xy alo g xy a 1lo g )1( a)0,1( 4、三角函数 正弦函数 xy sin xy si n xy cos xy c o s余弦函数 正切函数 xy ta n xy tan xy co t余切函数 xy co t 正割函数 xy s e c xy se c xy c s c余割函数 xy csc 5、反三角函数 xy a r c si n xy a r c s i n反正弦函数 xy a r c c o s xy a r c c o s反余弦函数 xy a r ct a n xy a r c t a n反正切函数 幂函数 ,指数函数 ,对数函数 ,三角函数和反 三角函数统称为 基本初等函数 . xy c o t反余切函数 arc xy co tarc 二、复合函数 初等函数 1、复合函数 ,uy 设 ,1 2xu 21 xy 定义 : 设函数 )( ufy 的定义域 f D , 而函数 )( xu 的值域为 Z , 若 ZD f , 则称 函数 )( xfy 为 x 的 复合函数 . ,自变量x ,中间变量u ,因变量y 注意 : 1.不是任何两个函数都可以复合成一个 复合函数的 ; ,a rcsi n uy 例如 ;2 2xu )2a rc s i n ( 2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成 . ,2c o t xy 例如 ,uy ,c o t vu .2xv 2、初等函数 由常数和基本初等函数经过有 限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并 可用 一个式子表示 的函数 ,称为 初等函数 . 例 1 ) .( , 0,1 0,2 )(, 1, 1, )( 2 xf xx xx x xx xe xf x 求 设 解 1)(),( 1)(,)( )( xx xexf x ,1)(1 0 时当 x ,0 x或 ,12)( xx ;20 x,0 x或 ,11)( 2 xx ;1x ,1)(2 0 时当 x ,0 x或 ,12)( xx ;2x,0 x或 ,11)( 2 xx ;01 x 综上所述 . 2,1 20 01 1 , ,2 , )( 2 1 2 2 xx x x x e x e xf x x 三、双曲函数与反双曲函数 2s i n h xx ee x 双曲正弦 xy c osh xy si nh),(: D 奇函数 . 2co s h xx ee x 双曲余弦 ),(: D 偶函数 . 1、双曲函数 xey 2 1 xey 2 1 xx xx ee ee x xx c o s h s i n ht an h双曲正切 奇函数 , ),(: D 有界函数 , 双曲函数常用公式 ;s i n hc o s hc o s hs i n h)s i n h ( yxyxyx ;s i n hs i n hc o s hc o s h)c o s h ( yxyxyx ;1s in hc o s h 22 xx ;c o s hs i n h22s i n h xxx .s i n hc o s h2c o s h 22 xxx 2、反双曲函数 奇函数 , ),(: D .),( 内单调增加在 ;si n h xy 反双曲正弦 ar ).1ln ( s i n h 2 xx xy ar si nhar xy .),1 内单调增加在 ),1: D y反双曲余弦 coshar ).1l n ( c o s h 2 xx xy ar x coshar xy .11ln21 xx )1,1(: D 奇函数 , .)1,1( 内单调增加在 y反双曲正切 tanhar xy t a n har x tanhar xy 四、小结 函数的分类 : 函 数 初 等 函 数 非初等函数 (分段函数 ,有无穷多项等函数 ) 代 数 函 数 超越函数 有 理 函 数 无理函数 有理整函数 (多项式函数 ) 有理分函数 (分式函数 ) 思考题 下列函数能否复合为函数 )( xgfy ， 若能，写出其解析式、定义域、值域 ,)()1( uufy 2)( xxxgu ,ln)()2( uufy 1s i n)( xxgu 思考题解答 2)()1( xxxgfy ,10| xxDx 21,0)( Df )2( 不能 01s i n)( xxg )( xg 的值域与 )( uf 的定义域之交集是空集 . ._ _ _ 1 反三角函数统称 对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数， ._ _ _ )( l n31)(2 的定义域为 ，则函数，的定义域为、函数 xfxf 一、填空题 : ._ _ _ _ _ _3 2 复合而成的函数为，、由函数 xuey u ._ _ _ _ _ _ _ _ _ _2lns i n4 复合而成由、函数 xy ._ _ _ _ _ _ _ _ _)0()()( _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)0)( _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)( s in_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 10)(5 2 的定义域为 ，的定义域为 ，的定义域为，为 ）的定义域（，则，的定义域为、若 aaxfaxf aaxf xf xfxf 练 习 题 .s i n 的图形”作函数二、应用图形的“叠加 xxy .)()( )( 11 10 11 )( ，并作出它们的图形，求 ， ， ， ， 三、设 xfgxgf exg x x x xf x . )( )()(30.0 5020.05002 20 形 出图之间的函数关系，并作千克于行李重量 元元，试建立行李收费出部分每千克 千克超元，超出千克每千克收费 千克以下不计费，定如下：四、火车站行李收费规 x xf 一、 1 、基本初等函数； 2 、 , 3 ee ； 3 、 2 x ey ； 4 、 xvvuuy 2,ln,s in ； 5 、 - 1,1, kk 2,2 , 1, aa , 2 1 2 1 01, a aaa . 三、 0,1 0,0 0,1 )( x x x xgf ； 1, 1 1,1 1, )( x e x xe xfg . 练习题答案 四、 50),50(3.010 5020,2.0 200 xx xx x y
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