期末总复习课件空间向量

（期末复习）（期末复习）一一、空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算空间向量的加法、数乘运算满足下列运算律：空间向量的加法、数乘运算满足下列运算律：(1)加法交换律：加法交换律：a a+b b=b b+a a；(2)加法结合律：加法结合律：(a a+b b)+c c=a a+(b b+c c)；(3)数乘分配律：数乘分配律：(a a+b b)=a a+b b。空间向量基础知识空间向量基础知识空间向量：空间向量：是指具有大小和方向的量叫做向量是指具有大小和方向的量叫做向量空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量有向线段表示同一向量或相等的向量 二二、共线向量与共面向量共线向量与共面向量定理定理1 空间向量a a、b平行的充分必要条件是存在实数，使a a=b b。(b0)定理定理2 如果向量a、b不共线，则向量p与a、b共面的充分必要条件是存在实数对x,y，使p=xa+yb.推论推论1 a,b,c共面存在不全为零的实数x，y，z，使xa+yb+zc=0。推论推论2 若a,b,c不共面，且有实数x，y，z，使 xa+yb+zc=0，则x=y=z=0。定理定理3 如果向量a,b,c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc(共面向量定理）共面向量定理）(共线向量定理）共线向量定理）(空间向量基本定理）空间向量基本定理）三三、空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 定义定义 实数|a|b|cos叫做向量a,b的数量积，记做ab，即 ab=|a|b|cos空间向量的性质：空间向量的性质：（1）ae=|a|cos(e为单位向量)；（2）ab ab=0(a,b为非零向量)；（3）当a、b同向时，ab=|a|b|，当a、b反向时,ab=-|a|b|，特别地aa=|a|2；（4）向量的数量积满足下列运算律：(ab)=a(b)ab=ba；a(b+c)=ab+ac（5）|ab|a|b|四四、空间直角坐标系与空间向量的坐标运算空间直角坐标系与空间向量的坐标运算1、空间直角坐标系空间直角坐标系 从空间某一定点从空间某一定点O引三条两两垂直且有相同引三条两两垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz.点点O为坐标原点，为坐标原点，x轴，轴，y轴，轴，z轴叫坐标轴，轴叫坐标轴，每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面，分别称每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面，分别称为为xOy平面，平面，yOz平面，平面，zOx平面。平面。xyzo右手坐标系右手坐标系 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i i、j j、k,k,则对于空间任一向量a a，总存在唯一的有序数组（x，y，z）使a a=xi i+yj j+zk k,则有序数组（x,y,z)叫做向量a a在空间坐标系O-xyz中的坐标 记为a a=（x，y，z）.2、向量的坐标表示、向量的坐标表示 对于空间任意一点A（x，y，z），向量OA的坐标为点A的坐标，即 OA=（x，y，z）3、向量的运算和性质的坐标表示表示、向量的运算和性质的坐标表示表示111(,)A x y z222(,)B xy z（1）设）设 212121(,)ABxx yy zz 则则（3）设）设 ),(),(222111zyxbzyxa则则212121111212121),(),(zzyyxxbazyxazzyyxxba（2）两点间距离公式）两点间距离公式221221221)()()(zzyyxxdAB2121212|zyxaa（4）模长公式）模长公式（5）夹角公式）夹角公式222222212121212121|coszyxzyxzzyyxxbababa（6）平行的条件：对应坐标成比例）平行的条件：对应坐标成比例垂直的条件：垂直的条件：x1x2+y1y2+z1z2=0五、直线的方向向量与平面的法向量及其应用五、直线的方向向量与平面的法向量及其应用 空间直线的方向向量：空间直线的方向向量：e e0e直线直线l上的向量上的向量 ()以及与以及与 共线的非共线的非零向量叫做直线零向量叫做直线l的方向向量。的方向向量。平面的法向量：平面的法向量：如果表示非零向量如果表示非零向量 的有向线段所在的直线的有向线段所在的直线垂直于平面垂直于平面，那么称向量，那么称向量 垂直于平面垂直于平面，记作，记作 .此时，我们把向量此时，我们把向量 叫做平面叫做平面的法向量的法向量.eene六、空间角及距离公式六、空间角及距离公式 线线线线 线面线面 面面面面求夹角：求夹角：位置关系判断：位置关系判断：|cos|cosba|cos|sinna|cos|cos|21nn平行平行垂直垂直l1 与与 l2l1 与与11与与2n2e2e1 设空间两条直线设空间两条直线l1 1,l2的方向向量分别为的方向向量分别为 ，两个平面两个平面,的法向量分别为的法向量分别为 ,则：则：n1e1e2e1e2e1n1n1n2e1n1n1n24.4.已知已知A A（0 0，2 2，3 3），），B B（-2-2，1 1，6 6），），C C（1 1，-1-1，5 5），），若若 的坐标的坐标为为 .aACaABaa则向量且,3|2.已知已知 与与 平行，则平行，则a+b=a+b=_3.与向量与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为（都垂直的向量为（）A(1,7,5)B(1,-7,5)C(-1,-7,5)D(1,-7,-6),3,2(ba)2,4(ab 课堂基础训练课堂基础训练)512(，)29292(，)111(，1.1.已知点已知点A A（3 3，-5-5，7 7），点），点B B（1 1，-4-4，2 2），则），则 的坐的坐标是标是_ _，ABAB中点坐标是中点坐标是_ =_ =_AB|AB)111(，或30-7C8.设设|m|1，|n|2，2mn与与m3n垂直，垂直，a4mn，b7m2n，则，则 _ ,a b7.若若 的夹角为的夹角为 .bababa与则,7|,2|,3|6 6、已知、已知 =（2 2，-1-1，3 3），），=（-4-4，2 2，x x），若），若 与与 夹角是钝角，则夹角是钝角，则x x取值范围是取值范围是_abab5.已知向量已知向量 ，a与与b的夹角为的夹角为_(0,2,1)a(1,1,2)b2)3106()6(，30（2）若 求OA与BC夹角的余弦值 例题例题1如图，在空间四边形OABC中，E、F分别是OC与AB的中点，（1）求证：ABCEFO）（OCOBOAEF218OA6AB 5BC 45OAC60OAB向量法向量法24AC86542BACDB1A1C1D1例例2.如图，平行六面体如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面的底面ABCD是菱形，且是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=,(1)求证；求证；C1CBD；CDCC1请给出证明请给出证明.(2)当当 的值为多少时，能使的值为多少时，能使A1C平面平面C1BD？证证:(2)连接连接AC,因因ABCD是菱形是菱形,所以所以,BDAC.所以所以BD平面平面ACC1A所以所以,BDA1C.所以所以,A1C平面平面C1BD CA1C1D.CA1C1D=0 (CB+CD+CC1)(CD-CC1)=0由由(1),BDCC1,(CB+CD+CC1)(CD-CC1)=0BACDB1A1C1D1设设 CD=CB=1,CC1=x,CBCD-CBCC1+CD2-CC12=0则则 cos-xcos+1-x2=0所以所以 x=1评注评注:用用向量法向量法研究空间线面关系研究空间线面关系,在平面的法向量在平面的法向量不能直接给定的情况下不能直接给定的情况下,可转化为平面内的向量与可转化为平面内的向量与直线的方向向量的关系去讨论直线的方向向量的关系去讨论.xyz坐标法坐标法例例1在棱长为在棱长为2的正方体的正方体AC1中，中，P、Q 分别是分别是BC，CD上的点，且上的点，且PQ=2（1）求证：确定点）求证：确定点P，Q的位置，使得的位置，使得B1QD1P；（2）当）当B1QD1P时，求二面角时，求二面角C1-PQ-A的大小的大小.D1HQPABCDA1B1C1解解(1)如图，分别以如图，分别以AB、AD、AA1所在直线为所在直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴，建立轴，建立空间直角坐标系空间直角坐标系.设设CP=a(0a ),CP=a(0a ),则则CQ=CQ=22-a2故故P(2,2-a,0),Q(2-,2,0)2-a2B1(2,0,2)、D1(0,2,2),a=1B1Q=(-,2,-2),D1P=(2,-a,-2)2-a2则则B1QD1P=-2 -2a+4=0，2-a2D1HQPABCDA1B1C1例例1在棱长为在棱长为2的正方体的正方体AC1中，中，P、Q 分别是分别是BC，CD上的点，且上的点，且PQ=2（1）求证：确定点）求证：确定点P，Q的位置，使得的位置，使得B1QD1P；（2）当）当B1QD1P时，求二面角时，求二面角C1-PQ-A的大小的余弦的大小的余弦.解解(1)当当P，Q分别是分别是BC，CD的中点时，的中点时，B1QD1P-x+y=0y+2z=0(2)当当 B1QD1P时，由（时，由（1）得）得a=1,PQ=(-1,1,0),PC1=(0,1,2)设平面设平面C1PQ的法向量为的法向量为n=(x,y,z)则由则由nPQ=0与与nPC1=0，得，得可取可取n=(2，2，-1)又又m=(0,0,2)是平面是平面APQ的一个法向量的一个法向量则二面角则二面角C1-PQ-A的大小的余弦为的大小的余弦为-31cos=-31xzD1C1B1A1ABCD 在长方体在长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABAB2 2，BCBC2 2，AAAA1 16 6，求求(1)(1)异面直线异面直线BDBD1 1和和B B1 1C C所成角的余弦值；所成角的余弦值；（2 2）BDBD1 1与平面与平面AB B1 1C C的夹角的夹角练习：练习：例例2.已知已知ABCD是上是上、下底边长分别为、下底边长分别为2和和6，高为，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，折成直二面角，如图如图2.（）证明：）证明：ACBO1；（）求二面角求二面角OACO1的大小的大小.3ACDBO1OAO1OCBDzxyMNABCDP 练习：练习：1、如图，正四棱锥如图，正四棱锥P-ABCD中，中，PA=AB，点点M，N分别在分别在PA，BD上，且上，且 （1）求证；）求证；MNAD；（2）求证；）求证；MN平面平面PBC；PAPMBDBN31=（3）求）求MN与与PC所成的角所成的角zyx2.如图，在四棱锥如图，在四棱锥V-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方是正方形，侧面形，侧面VAD是正三角形，平面是正三角形，平面VAD底面底面ABCD（）证明）证明AB平面平面VAD；（）求面）求面VAD与面与面VDB所成的二面角的大小所成的二面角的大小3、已知菱形、已知菱形ABCD，其边长为其边长为2，BAD=60O，今以今以其对角线其对角线BD为棱将菱形折成直二面角，得空间四边形为棱将菱形折成直二面角，得空间四边形ABCD（如图），求：如图），求：(1)AB与平面与平面ADC的夹角；的夹角；(2)(2)二面角二面角B-AD-C的大小的大小 CADBzyx