公开课：抽象函数专题

全面、系统地掌握高中数学的基础知识，深刻理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式，并形成记忆、形成技能；把相关的知识相连结，融会贯通、着眼联系、互相渗透、灵活应用数学思想和方法的是对数学知识在更高层次上的抽象和概括，要与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，对数学思想和方法的理解；强化对通性通法的学习与应用，淡化特殊的技巧，突出对数学思想方法应用的掌握。加强课本上各知识点的联系，对知识系统化网络化，加深对知识的理解和记忆，避免简单的重复和机械的记忆，把所学的知识形成网络化，形成体系，基本达到综合、灵活应用的水平。抽象是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征，而舍弃其非本质的特征。例如苹果、香蕉、梨、葡萄、桃子等，它们共同的特性就是水果。得出水果概念的过程，就是一个抽象的过程。要抽象，就必须进行比较，没有比较就无法找到在本质上共同的部分。是正比例函数型抽象函数.1满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是正比例函数型抽象函数2满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的是对数函数型抽象函数3满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的指数函数型抽象函数 4满足解析式f(x1x2)f(x1)f(x2)的幂函数型抽象函数 抽象函数往往有它所对应的具体的函数模抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型：型：抓住函数中的某抓住函数中的某些性质，通过局些性质，通过局部性质或图象的部性质或图象的局部特征，利用局部特征，利用常规数学思想方常规数学思想方法（如法（如赋值法，赋值法，图像性质法、恒图像性质法、恒等变形等变形等）。等）。高考题和平时的高考题和平时的模拟题中经常出模拟题中经常出 现现。抽象性较强；抽象性较强；综合性强；综合性强；灵活性强；灵活性强；难度大。难度大。没有具体给出函没有具体给出函数解析式但给出数解析式但给出某些函数特性或某些函数特性或相应条件的函数相应条件的函数四四.抽象函数问题的解决策略抽象函数问题的解决策略解答抽象函数题目的基础是熟悉函数的基本知识。解答抽象函数题目的基础是熟悉函数的基本知识。如果连基本的函数知识都没有掌握，解决抽象函数如果连基本的函数知识都没有掌握，解决抽象函数问题只能是空谈。具体说，学好函数要掌握常见函问题只能是空谈。具体说，学好函数要掌握常见函数的性质。例如，中学涉及的数的性质。例如，中学涉及的函数性质函数性质一般有一般有单调单调性性、奇偶性奇偶性、有界性有界性（最值）（最值）、对称性对称性及及周期性周期性；常见的基本函数有常见的基本函数有正比例函数正比例函数、一次函数一次函数、反比例反比例函数函数、二次函数二次函数、指数函数指数函数、对数函数对数函数、幂函数幂函数、对勾函数对勾函数（）等）等.y=+(0)kxkx特殊值法是处理抽象函数选择题的有力特殊值法是处理抽象函数选择题的有力方法。根据抽象函数具有的性质，选择方法。根据抽象函数具有的性质，选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，可以解决大部分选择题。可以解决大部分选择题。（1）求证：；0)1(f)1(f（2）求证：)x(fy 为偶函数；设函数 )x(fy（Rx，且0 x 任意实数21x,x满足)xx(f)x(f)x(f2121），对（1）令1xx21(1)(1)(1 1)fff则(1)0f再令1xx21(1)(1)(1)(1)(1)0ffff 则(1)0(1)(1)0fff因 此xxx21（2）令22()()f xf x则再令xxx2122()()fxf x则()()f xfx，即)x(fy 为偶函数。2.图像性质法图像性质法。【解析解析】（图解法）（图解法）据题设条件作据题设条件作 y=f(x)草图草图(右右).在图中找出在图中找出 f(x)与与x异号的部分异号的部分,可以看出可以看出 x f(x)0的的解集为解集为 x|0 x 3或或-3 x 0，选，选D.【例例2 2】若奇函数若奇函数 f(x)在在(0,+)上是增函数，又上是增函数，又 f(-3)=0，则，则 x|x f(x)3 或或-3 x 0 B.x|0 x 3 或或 x 3或或 x -3 D.x|0 x 3或或-3 x 02022年12月20日16解决抽象函数的方法和技巧多种多样，除了合理赋解决抽象函数的方法和技巧多种多样，除了合理赋值，整体思考，借助特殊点，还可以利用递推式法值，整体思考，借助特殊点，还可以利用递推式法来逐步递推来求解，有的时候需要运用多种方法和来逐步递推来求解，有的时候需要运用多种方法和手段手段.2022年12月20日17这同样是没有给出函数表达式的这同样是没有给出函数表达式的抽象函抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出若能得出 （T T为非零常数）为非零常数）则则 为周期函数，为周期函数，且周期为且周期为T。f xTf x()()f x()例例3 3、设、设f x()定义在定义在R R上且对任意的上且对任意的x有有f xf xf x()()()12，求证：，求证：f x()是周期函数，并找出它的一个周期。是周期函数，并找出它的一个周期。2022年12月20日18 已知)1()2x(f)1x(f)x(f)2()3x(f)2x(f)1x(f()()12得f xf x()()()33由（3）得f xf x()()()364由（3）和（4）得f xf x()()6上式对任意xR都成立，因此fx()是周期函数，且周期为6。2函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，则 f(99)（）13C.22D.13A13B2C1.设 定义在(0,+)上的增函数,且)(xf)()()(yfxfyxf(1)f则 013x=1(1)(3)13,(3),2x=3(3)(32)13(5)2(1)=(5)2=413(99)=(2443)=(3)=2ffffffffTfff解 析：当，当，3.以上列举了求解抽象型函数问题的常规解题思想，以上列举了求解抽象型函数问题的常规解题思想，当然对于用常规思想难以解决的当然对于用常规思想难以解决的 数学问题，若利用一些数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，如合理赋值、类比联想特殊的数学思想方法求解，如合理赋值、类比联想;归纳归纳猜想等等。处理这类问题时，常需将几种解题思想综合运猜想等等。处理这类问题时，常需将几种解题思想综合运用，用，多管齐下多管齐下。通过抽象型函数问题的解题思想的探。通过抽象型函数问题的解题思想的探求，提高解题能力，培养思维的灵活性，最终达到创新思求，提高解题能力，培养思维的灵活性，最终达到创新思想的培养。想的培养。