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前往总目录Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 第三篇第三篇 动动 力力 学学 第第9 9章章 动能定理动能定理制造与设计 贾启芬 刘习军 郝淑英 前往首页Theoretical Mechanics 第第9章章 动能定理动能定理9.1 力的功力的功9.2 质点的动能定理质点的动能定理9.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理9.5 功率功率 功率方程功率方程9.6 权利场权利场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律目目 录录 Theoretical Mechanics 第第9章章 动能定理动能定理9.1 力的功力的功 前往首页Theoretical Mechanics 第第9章章 动能定理动能定理9.1 力的功力的功9.1.1 功的普通表达式功的普通表达式 9.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 9.1.3 质点系内力的功质点系内力的功 9.1.4 约束力的功约束力的功 前往首页Theoretical Mechanics力的元功:在一无限小位移中力所做的功。或写成直角坐标方式在普通情况下，上式右边不表示某个坐标函数的全微分，所以元功用符号W而不用dW。rF dW sFtWddvF sFWdcoszFyFxFWzyxddd 前往首页9.1 力的功力的功9.1.1 功的普通表达式功的普通表达式Theoretical Mechanics力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分力在有限路程上的功为力在此路程上元功的定积分,即即21dMMWrF21dddMMzZyYxXW功的量纲为 22TLMLFW9.1 力的功力的功9.1.1 功的普通表达式功的普通表达式 前往首页Theoretical Mechanics常力的功 cosdcos0FsWsFWs当 时功为正；当 时，功为负；当 时S不作功。由此可知，功为代数量。222 前往首页9.1.2 几种常见力的功几种常见力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics重力的功重力的功)(d211221zzmgzmgWzz 重力的功仅与质点运动重力的功仅与质点运动开场和终了位置的高度差开场和终了位置的高度差有关，而与运动轨迹无关有关，而与运动轨迹无关)(2112CCzzmgW 前往首页9.1.2 几种常见力的功几种常见力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics弹性力的功弹性力的功弹性力可表示为弹性力可表示为rlrkeF)(0rerFd)(d01221rMMlrkW202201012)()(21d)(21lrlrkrlrkWrr)d(21ddrrrrrerrrrrrdd212 前往首页9.1.2 几种常见力的功几种常见力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics弹性力的功弹性力的功202201012)()(21d)(21lrlrkrlrkWrr)(21222112kW 弹性力在有限路程上的功只决议于弹簧在起始弹性力在有限路程上的功只决议于弹簧在起始及终了位置的变形量，而与质点的运动途径无关。及终了位置的变形量，而与质点的运动途径无关。前往首页9.1.2 几种常见力的功几种常见力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics滑动摩擦力的功滑动摩擦力的功 物体沿粗糙轨道滑动时，动滑动摩擦力 ，其方向总与滑动方向相反，所以，功恒为负值 NFFf2121ddNMMMMsFfsFW 前往首页9.1.2 几种常见力的功几种常见力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics滑动摩擦力的功滑动摩擦力的功 当物体纯滚动时，圆轮与地面之间没有相对滑动，其滑动摩擦力属于静滑动摩擦力。轮与地面的接触点C是圆轮在此瞬时的速度瞬心vC=0，得 0ddtWCCvFrF圆轮沿固定轨道滚动而无滑动时，滑动摩擦力不作功。前往首页9.1.2 几种常见力的功几种常见力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics定轴转动刚体上作用力的功定轴转动刚体上作用力的功作用于定轴转动刚体上的力的元功为作用于定轴转动刚体上的力的元功为dddRFsFWrFzzMFMRF)(dzMW21d12zMW 前往首页9.1.2 几种常见力的功几种常见力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics如下图，刚体上恣意一点的无限小位移可写为iCCirrrddd作用于点 M i上的力的元功为iCiCiiiWrFrFrFddddcosdiiiCiCMFrFd)(iCMF作用于刚体上的全部力的元功为平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功ddd)(dCCRCCMMWrFFrF 前往首页9.1.2 几种常见力的功几种常见力的功9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics其中FR为力系的主矢量，MC为力系对质心的主矩。dd2121R12CCCCMWrFddd)(dCCRCCMMWrFFrF9.1.2 几种常见力的功几种常见力的功 前往首页9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics9.1.3 质点系内力的功质点系内力的功当质系内质点间的间隔变化时，内力的元功之和不为零。因此刚体内力的功之和恒等于零。)(dddddBAABAAABBAAWrrFrFrFrFrF如下图，两质点间有相互作用的内力BAFFABABBABArrrr,ABWAdF)(dABFWA 前往首页9.1 力的功力的功Theoretical Mechanics光滑铰链或轴承约束光滑铰链或轴承约束由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。由于约束力的方向恒与位移的方向垂直，所以约束力的功为零。常见的理想约束有：常见的理想约束有：光滑固定面和辊轴约束光滑固定面和辊轴约束其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。其约束力垂直于作用点的位移，约束力不做功。理想约束：约束力的元功的和等于零的约束。理想约束：约束力的元功的和等于零的约束。前往首页9.1 力的功力的功9.1.4 约束力的功约束力的功Theoretical Mechanics 刚性衔接的约束刚性衔接的约束 这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。这种约束和刚体的内力一样，其元功之和恒等于零。结合两个刚体的铰结合两个刚体的铰:两个刚体相互间的约束力，大小相等、两个刚体相互间的约束力，大小相等、方向相反，即，两力在点的微小位移上的元功之和等于零。方向相反，即，两力在点的微小位移上的元功之和等于零。柔性而不可伸长的绳索柔性而不可伸长的绳索 绳索两端的约束力绳索两端的约束力,大小相等，大小相等，即，由于绳索不可伸长，所以两点即，由于绳索不可伸长，所以两点的微小位移和在绳索中心线上的投的微小位移和在绳索中心线上的投影必相等，因此不可伸长的绳索的影必相等，因此不可伸长的绳索的约束力元功之和等于零。约束力元功之和等于零。具有理想约束的质点系，有具有理想约束的质点系，有WN=0 WN=0 9.1 力的功力的功9.1.4 约束力的功约束力的功 前往首页 Theoretical Mechanics 第第9章章 动能定理动能定理9.2 质点的动能定质点的动能定理理 前往首页Theoretical Mechanics9.2 质点的动能定质点的动能定理理 质系内一切质点在某瞬时动能质系内一切质点在某瞬时动能的算术和为该瞬时质系的动能的算术和为该瞬时质系的动能 221mvT动能是描画质系运动强度的一个物理量221iivm任一质点在某瞬时的动能为 前往首页Theoretical Mechanics9.2 质点的动能定质点的动能定理理牛顿第二定律牛顿第二定律 即作用于质点上力的元功等于质点动能的微分。即作用于质点上力的元功等于质点动能的微分。质点动能定理质点动能定理的微分方式的微分方式Fa mFtvmdd由于 ，将上式右端乘以ds，左端乘以vdt后，得 tvsdd sFvmvddWmv21d2 前往首页Theoretical Mechanics9.2 质点的动能定质点的动能定理理1221222121Wmvmv21d12MMrFW作用于质点上的力在作用于质点上的力在 有限路程上的功有限路程上的功 质点动能定理的积分方式，即作用于质点上的质点动能定理的积分方式，即作用于质点上的力在有限路程上的功等于质点动能的改动量。力在有限路程上的功等于质点动能的改动量。WmvMMvv21d21212Wmv21d2积分积分 前往首页 Theoretical Mechanics 第第9章章 动能定理动能定理9.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能 前往首页Theoretical Mechanics9.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能9.3.1 质点系的动能质点系的动能 9.3.2 平移刚体的动能平移刚体的动能 9.3.3 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 9.3.4 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 前往首页Theoretical Mechanics9.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能9.3.1 质点系的动能质点系的动能 2121iinivmT质点系的动能为组成质点系的各质点动能的算术和 前往首页Theoretical Mechanics9.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能9.3.2 平移刚体的动能平移刚体的动能 当刚体平动时，刚体上各点速度一样，于是平动刚体的动能为222212121CmvmvmvT 前往首页Theoretical Mechanics9.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能9.3.3 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 于是绕定轴转动刚体的动能为于是绕定轴转动刚体的动能为22222212121iiiiiirmrmvmT 刚体绕定轴 z 转动的角速度为，任一点mi的速度为 iirv 221zIT 前往首页Theoretical Mechanics9.3 质点系和刚体的动能质点系和刚体的动能9.3.4 平面运动刚体的动能平面运动刚体的动能 刚体作平面运动时，可视为绕经过速度瞬心并与运动平面垂直的轴的转动平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕经过质心的转轴转动的动能之和。221CIT2222222121)(2121MdIMdIITCCC222121CCIMvT2MdIICC 前往首页 Theoretical Mechanics 第第9章章 动能定理动能定理9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理 前往首页Theoretical Mechanicsn个方程相加，得2121ddiinivmT 质点系由n个质点组成，其中某一质量为mi质点受自动力和约束力作用。根据质点动能定理的微分方式有niWWvmiNiFii,2,121d2nininiiNiFiiWWvm111221d零零FWTd 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理Theoretical Mechanics9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理 质系动能定理的微分方式：在质系无限小的位移质系动能定理的微分方式：在质系无限小的位移中，质系动能的微分等于作用于质系全部力所做的中，质系动能的微分等于作用于质系全部力所做的元功之和元功之和 质系动能定理的积分方式：质系在恣意有限路质系动能定理的积分方式：质系在恣意有限路程的运动中，起点和终点动能的改动量，等于作用程的运动中，起点和终点动能的改动量，等于作用于质系的全部力在这段路程中所做功的和于质系的全部力在这段路程中所做功的和iWTT12FWTd 前往首页Theoretical Mechanics例 图示系统中，滚子A、滑轮B 均质，分量和半径均为Q 及r，滚子沿倾角为 的斜面向下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳索提升重P的物体，同时带动滑轮B绕O轴转动，求滚子质心C的加速度aC。解法一 求加速度宜用动能定理的微分方式 FWTd系统在恣意位置的动能222221212121pBOACCvgPIIvgQTA轮纯滚动，D为A轮瞬心，所以 rvCA 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题Theoretical Mechanics由 ，得 2221,21,rgQIrgQIvvrvOCCPCB222CvgQPTCCvvgQPTd2d自动力Q、P的元功 sPQWFd)sin(因纯滚动，滑动摩擦力F不作功 代入式 ，两边再除以dt，且知 ，得 CvtsddFWTdCCCvPQtvvgQP)sin(dd2gQPPQtvaCC2sindd 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题Theoretical Mechanics解法二 此题亦可用动能定理的积分方式，求出恣意瞬时的速度表达式，再对时间求一阶导数，得到加速度。系统的初始动能为T0恣意位置的动能 222221212121pBOACCvgPIIvgQT设圆轮质心C走过间隔s，动能定理的积分方式sPQTvgQPC)sin(2202 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题Theoretical Mechanics设圆轮质心C走过间隔s，动能定理的积分方式sPQTvgQPC)sin(2202vC和s均为变量，将上式两边对时间求一阶导数，得 tsPQtvgQPvCCdd)sin(0dd222gQPPQaC2sin 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题Theoretical Mechanics例 椭圆规位于程度面内，由曲柄带动规尺AB运动，如下图。曲柄和AB都是均质杆，分量分别为P和2P，且OCACBCl，滑块A和B分量均为Q。常力偶M作用在曲柄上，设0时系统静止，求曲柄角速度和角加速度(以转角 表示)。Isin2cos2lvlvBAAvBv解：由几何条件，OCBC，因此OC=AB=，系统由静止开场运动，当转过角时，系统的动能222221212121IIvgQvgQTOBA瞬心为，有运动关系为 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题Theoretical MechanicsIAvBvglPQlgPlgPlgQlgQT2)34()2(231213121)sin2(21)cos2(2122222222系统中力做的功为 MW 由动能定理的积分方式 WTT12TTT21,02)34(2lPQgM 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题Theoretical MechanicsIAvBvd)34(d2glPQT由动能定理的微分方式，得 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题dMW tWtTdddMglPQ/)34(22)34(lPQMgTheoretical Mechanics 例 图示系统中，物块A重P，均质圆轮B重Q，半径为R，可沿程度面纯滚动，弹簧刚度系数为k，初位置y=0时，弹簧为原长，系统由静止开场运动，定滑轮D 的质量不计，绳不可伸长。试建立物块 A 的运动微分方程，并求其运动规律。解：为建立物块 A 的运动微分方程，宜对整个系统运用动能定理。以 A 的位移为变量，当A从初始位置下降恣意间隔y时，它的速度为vA，系统动能 222212121BBBAIvgQvgPT由运动关系RvvvABAB2,21221RgQIB 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题Theoretical Mechanics21638AvgQPT系统的初动能 00T2202ykPyWF初始位置时，弹簧为原长 ，当A下降y时，弹簧伸长 ，功为 002y22801638ykPyvgQPA由动能定理的积分方式 WTT12对时间求一阶导数，其中 ，得 tyvAdd 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题Theoretical Mechanics对时间求一阶导数，其中 ，得 tyvAdd04382dd22kPyQPkgty物块A的运动微分方程 用微分方式的动能定理求解2d2dyykyPWFyykPWFd4代入式 ，得 FWTd 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题Theoretical MechanicsyykPvgQPAd41638d2此式两边被dt除，令 Cyy104382dd1212kPCyQPkgty令 ，得到以y1为变量的规范方式的微分方程 kPC40382dd1212yQPkgty 前往首页9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题Theoretical Mechanics设其解为)sin(01tAy物块A的运动规律为)sin(0tACy)cos(dd00tAty初始条件：t=0时，代入得 0,0ddyty物块A的运动规律为kPtQPkgkPy42382sin4物块A作简谐振动9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理例例 题题kPA4,2QPkg3820 前往首页Theoretical Mechanics9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理 1 1具有理想约束的一个自在度系统，运用动能定具有理想约束的一个自在度系统，运用动能定理可直接建立系统的速度量与位移量之间的关系；理可直接建立系统的速度量与位移量之间的关系；进一步对时间求导数，可求出系统的加速度量。所进一步对时间求导数，可求出系统的加速度量。所以，在这种情形下运用动能定理求解知力求运动的以，在这种情形下运用动能定理求解知力求运动的问题是很方便的。问题是很方便的。2 2运用动能定了解题的步骤：运用动能定了解题的步骤：1 1明确分析对象，普通以整个系统为研讨对象。明确分析对象，普通以整个系统为研讨对象。2 2分析系统的受力，区分自动力与约束力，在理分析系统的受力，区分自动力与约束力，在理想约束的情况下约束力不做功。想约束的情况下约束力不做功。小小 结结 前往首页Theoretical Mechanics 3.分析系统的运动，计算系统在恣意位置的动能或在起始和终了位置的动能。4.运用动能定理建立系统动力学方程，而后求解。5.对问题的进一步分析与讨论。动能定理最适用于动力学的第二类根本问题：知动能定理最适用于动力学的第二类根本问题：知自动力求运动，即求速度、加速度或建立运动微自动力求运动，即求速度、加速度或建立运动微分方程。分方程。9.4 质点系的动能定理质点系的动能定理小小 结结 前往首页 Theoretical Mechanics 第第9章章 动能定理动能定理9.5 功率功率 功率方程功率方程 前往首页Theoretical Mechanics9.5 功率功率 功率方程功率方程9.5.1 功率功率 力在单位时间内所做的功，称为功率。它是用来衡量机器性能的一项重要目的，P表示功率vFttWPvFrFddd力偶或转矩M的功率 MnMtMP30dd功率的量纲为132 TLFTLFTMN功率的单位是焦耳/秒，称为瓦特W。1 W=1 J/s=1 Nm/s。前往首页Theoretical Mechanics9.5 功率功率 功率方程功率方程9.5.2 功率方程功率方程由动能定理 无用有用WWWTd等号两边除以dt，即 无用有用NNNtTdd阐明机器的输入、耗费的功率与动能变化率的关系。功率方程 前往首页 Theoretical Mechanics 第第9章章 动能定理动能定理9.6 权利场权利场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律 前往首页Theoretical Mechanics9.6 权利场权利场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律9.6.1 权利场权利场 9.6.2 势能势能 9.6.3 机械能守恒定律机械能守恒定律 9.6.4 有权利与势能的关系有权利与势能的关系 前往首页Theoretical Mechanics9.6 权利场权利场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律9.6.1 权利场权利场 如质点在某空间内任一位置都受有一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，具有这种特性的空间就称为力场，例如地球外表的空间为重力场。如质点在某一力场内运动时，力场力对于质点所做的功仅与质点起点与终点位置有关，而与质点运动的途径无关，那么这种力场称为权利场或保守力场。质点在权利场内所受的力称为权利或保守力。如重力、弹性力及万有引力都是权利。前往首页Theoretical Mechanics9.6 权利场权利场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律9.6.2 势能势能 zFVP势能：在权利场中，质点由某一位置势能：在权利场中，质点由某一位置M运动到选定运动到选定的参考点的参考点M0的过程中，有权利所做的功。以的过程中，有权利所做的功。以V表示，表示，即即00ddddxMMMMzyzFyFxFVrF重力场中的势能重力场中的势能ozzzzFzFV)(d0PP零位置选在z0=0处 前往首页OTheoretical Mechanics对于质点系或刚体对于质点系或刚体弹性力场中的势能弹性力场中的势能)(21202kV221kV CzFVP 0是势能零点时弹簧的变形量，假设选择弹簧自然长度为势能零位置，即0=0，于是弹性力势能 9.6 权利场权利场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律9.6.2 势能势能 前往首页OTheoretical Mechanics9.6 权利场权利场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律9.6.3 机械能守恒定律机械能守恒定律 保守系统：具有理想约束，且所受的自动力皆为权利的质系称为保守系统。对于保守系统，动能定理1212WTT 权利的功与途径无关，可经过势能计算。如以0点为零势点，那么202101,WVWV 前往首页Theoretical Mechanics 机械能守恒定律，即保守系统在运动过程中，其机械能机械能守恒定律，即保守系统在运动过程中，其机械能坚持不变。或质系的动能和势能可以相互转化，但总的机械坚持不变。或质系的动能和势能可以相互转化，但总的机械能坚持不变。能坚持不变。2211VTVT 由于权利场具有机械能守恒的特性，因此权利场又称为保守力场，而权利又称为保守力。质系在非保守力作用下运动时，那么机械能不守恒。例如摩擦力做功时总是使机械能减少，但是减少的能量并未消逝，而是转化为另一方式的能量。9.6 权利场权利场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律9.6.3 机械能守恒定律机械能守恒定律 前往首页机械能：质系在某瞬时的动能与势能的代数和机械能：质系在某瞬时的动能与势能的代数和Theoretical Mechanics9.6 权利场权利场 势能势能 机械能守恒定律机械能守恒定律9.6.4 有权利与势能的关系有权利与势能的关系 势能的大小因其在权利场中的位置不同而异，可写作坐标的单值延续函数V(x、y、z)，称为势能函数，即 MMzyxOzFyFxFV)ddd(权利的功与途径无关，其元功必是函数V的全微分，即)ddd(dzFyFxFVzyx 作用在质点系上有权利在坐标轴上的投影，等于势能函数对相应坐标的偏导数冠以负号。由高等数学知，V的全微分 zzVyyVxxVVddddzVFyVFxVFzyx 前往首页
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