《全等三角形》复习教案

第13章 全等三角形一、命题与定理1、判断一件事情的语句叫做命题准确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。如：（1）假设两个角是对顶角，那么这两个角相等；（真命题）（2）三角形的内角和是180；（真命题）（3）同位角相等；（假命题）（4）平行四边形的对角线相等；（假命题）（5）菱形的对角线相互垂直（真命题）2、把一个命题改写成“假设那么”的形式其中，用“假设”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论3、从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断是准确的命题，并且能够进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理二、全等三角形1、全等三角形的概念及其性质1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。2）全等三角形性质：（1）对应边相等 （2）对应角相等（3）周长相等 （4）面积相等例1.已知如图（1），,其中的对应边:_与_,_与_,_与_,对应角:_与_,_与_,_与_.例2.如图（2），若.指出这两个全等三角形的对应边；若,指出这两个三角形的对应角。 （图1） （图2） （ 图3）例3如图（3）, ，BC的延长线交DA于F，交DE于G, ,求、的度数.2.全等三角形的判定方法1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）例1已知：如图，在中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG。求证：AG=AD.例2.如图,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：例3.如图，在中,AB=AC,点D为BC上任一点，DFAB于F，DEAC于E，M是BC中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论.例4.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，延长CB至E，使EB=AD，连接AE。求证：AE=AC。例5.如图，C为AB上一点，、是等边三角形.直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F .(1) 求证：AN=BM。(2) 求证：是等边三角形(3) 将ACM绕点C逆时针方向旋转90,其他条件不变，在右图中补出符合要求的图形并判断(1)、（2）两小题结论是否仍然成立(不要求证明)例6.如图，在中，。是中点.(1) 写出点O到的三个顶点A、B、C的距离关系.(2) 假设点M、N分别在AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断的形状，并证明你的结论.例7.如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG。(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。(2)图中是否存有通过旋转能够互相重合的两个三角形？假设存有，请你说明旋转过程；假设不存有，请说明理由。2）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA )例1.如图,AD是的平分线，M是BC中点，FM/AD，交AB于E。求证：BE=CF例2.如图，梯形ABCD中，AB/CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于F（1） 求证：（2） 若BCAB,BC=10,AB=12,求AF.例3.如图，在矩形ABCD中，F是BC上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G,DEAG于E，且DE=DC.根据以上条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.（3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS )例1.如图，在中,分别以AB、AC为边在的外侧作正三角形ABE与正三角形ACD。DE与AB交于F。求证:EF=FD。例2.如图，在中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上。且,AD=DE求证：例3.如图，在中，延长BC到D，延长AC到E，AD与BE交于F，ABC=45，试将以下假设中的两个作为条件，另一个作为结论组成一个准确的命题,并加以证明。（1）ADBD, （2）AEBF （3）AC=BF.4）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )例1.如图，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE.例2如图，在中,，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DEAB。例3 如图，在中,M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 。求证：MB=MC5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L )例1.如图，在中,，沿过点B的一条直线BE折叠，使点C恰好落在AB变的中点D处，则A的度数= 。例2.如图，M是BC中点，DM平分。求证：AM平分例3.如图，AD为的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF=AC,FD=CD.求证：BEAC例4.如图，在中,ACB=90,D是AC上一点，AEBD，交BD的延长线于点E，又AE=BD，求证：BD是ABC的平分线。三、等腰三角形（1）与等腰三角形、等边三角形相关的结论：性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60 ； 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形例1（2006 湖南常德）如图7，是等边三角形内的一点，连结，以为边作，且，连结（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论（4分）（2）若，连结，试判断的形状，图7QCPAB并说明理由（4分）例2.如图，在ABC中，AB=AC,BAD=20,且AE=AD,则CDE= 。例3.如图在66的网格（小正方形的边长为1）中有一个ABC，则ABC的周长是 。例4请作一条直线，将下面的三角形分成两个三角形，是每个三角形都是等腰三角形，并标出相关的数据。四、尺规作图1、尺规作图是指限定用无刻度的直尺和圆规作为工具的作图。2、尺规作图举例AOB例1如图，已知和射线，用尺规作图法作（要求保留作图痕迹）例2已知：（如图）求作：的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）ABC例3.如图，已知。（1）边的垂直平分线（2）作AC上的高（3）作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）例4.如图，内宜高速公路和自雅路在我市相交于点，在内部有五宝和正紫两个镇，若要修一个大型农贸市场，使到的距离相等，且使，用尺规作出市场的位置（不写作法，保留作图痕迹）ACOBD五、逆命题与逆定理1、原命题和逆命题的关系：每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，使可得到原命题的逆命题。例如：条件 结论原命题：两直线平行，同位角相等。逆命题：同位角相等，两直线平行。2定理、逆定理假设一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。例如：例1.（05 桂林）以下命题中，真命题是（）A一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形B顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形C等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形D对角线互相垂直平分的四边形是菱形例2.已知以下命题 半圆是弧 若，则 若，则 垂直于弦的直径平分这条弦其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个例3.某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：(1)罪犯不在A，B，C三人之外；(2)C作案时总得有A作从犯；(3)B不会开车在此案中能肯定的作案对象是（ ）A嫌疑犯A B嫌疑犯B C嫌疑犯C D嫌疑犯A和C3角平分线、线段的垂直平分1)角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。逆定理： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。2）垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。逆定理：到一条线段两端点的距离相等的点，在线段的垂直平分线上。例1 如图，在中，平分，那么点到直线的距离是cm例2. 如图，在ABC中，BC=8cm, AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E, BCE的周长等于18cm, 则AC的长等于（ ）(A) 6cm (B) 8cm(C)10cm (D) 12cm例3. 如图，RtABC中，C=90, CAB=30, 用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且其中一个是等腰三角形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）.例4.如图，已知在RtABC中，C=90, BD平分ABC, 交AC于D.(1) 若BAC=30, 则AD与BD之间有何数量关系，说明你的理由;(2) 若AP平分BAC，交BD于P, 求BPA的度数.例5.如图，ABC中，AB与AC的垂直平分线相交于F,且分别交AB于D，交AC于E。求证：BF=FC.例6.如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AMBN,按以下要求画图并回答：（1）画MAB、NBA的平分线交于E,AEB是什么角？（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值是否有变化？并说明理由。