三册教材编写意图

第三册教材编写意图华东师大数学实验教材培训讲座华东师大数学实验教材培训讲座华东师大数学系华东师大数学系 李俊李俊 第第12章章 数的开方数的开方 第第13章章 整式的乘除整式的乘除 第第14章章 勾股定理勾股定理 第第15章章 平移与旋转平移与旋转 第第16章章 平行四边形的认识平行四边形的认识 第第1717章章 分式分式第第1818章章 函数及其图象函数及其图象第第1919章章 全等三角形全等三角形第第2020章章 平行四边形的判定平行四边形的判定第第2121章章 数据整理与初步处理数据整理与初步处理第第2222章章 二次根式二次根式第第2323章章 一元二次方程一元二次方程第第2424章章 图形的相似图形的相似第第2525章章 解直角三角形解直角三角形第第2626章章 随机事件的概率随机事件的概率第第2727章章 二次函数二次函数第第2828章章 圆圆第第2929章章 几何的回顾几何的回顾第第3030章章 样本与总体样本与总体编写理念 基础性基础性.普及性普及性.发展性发展性学生为主体学生为主体继承好传统继承好传统适应信息社会适应信息社会 第第1 1册册 有理数，整式的加减有理数，整式的加减第第2 2册册 一元一次方程，二元一次方程组，一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式一元一次不等式第第3 3册册 数的开方，整式的乘除，勾股定理数的开方，整式的乘除，勾股定理第第4 4册册 分式，函数及其图象分式，函数及其图象第第5 5册册 二次根式，一元二次方程二次根式，一元二次方程第第6 6册册 二次函数二次函数 代数式运算的难度降低，代数式运算的难度降低，多项式相乘多项式相乘仅指仅指一次式相乘，一次式相乘，二次根式二次根式只要求了解概念及加、只要求了解概念及加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算的简单四则运算.因式分解因式分解只要求提公因式和只要求提公因式和公式法，并且直接用公式不超过两次公式法，并且直接用公式不超过两次.一元二次一元二次方程方程只要求解简单数字系数的一元二次方程只要求解简单数字系数的一元二次方程.分分式方程式方程只要求解可化为一元一次方程的分式方只要求解可化为一元一次方程的分式方程，且方程中的分式不超过两个程，且方程中的分式不超过两个.无理方程、可无理方程、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组和三元一次方程组等内容组和三元一次方程组等内容均未列入均未列入标准标准之内之内.课程标准明确减少的内容课程标准明确减少的内容 合理安排知识，突出与学生已有的知识联系，合理安排知识，突出与学生已有的知识联系，既考虑学生的认知发展，又兼顾数学的知识既考虑学生的认知发展，又兼顾数学的知识体系。体系。呈现知识时，尽可能给学生留出一定的思考呈现知识时，尽可能给学生留出一定的思考与探索空间，重视各种运算性质的理解与探与探索空间，重视各种运算性质的理解与探索。对一些概念以描述性表述代替形式化表索。对一些概念以描述性表述代替形式化表述。述。运用计算器等现代化技术手段。运用计算器等现代化技术手段。控制习题的总量和难度，编排有一定生活背控制习题的总量和难度，编排有一定生活背景或与其他学科综合的例习题。景或与其他学科综合的例习题。第第1212章章 数的开方数的开方数的开方数的开方12.1 12.1 平方根与立方根平方根与立方根12.2 12.2 实数与数轴实数与数轴通过已知面积求正方形边长、已知体积通过已知面积求正方形边长、已知体积求立方体边长的模型，引入平方根与立求立方体边长的模型，引入平方根与立方根；联系平方和立方运算让学生理解方根；联系平方和立方运算让学生理解平方根和立方根概念与运算（逆运算）平方根和立方根概念与运算（逆运算）联系平方和立方运算，利用逆运算，开联系平方和立方运算，利用逆运算，开展探究式学习，克服学生的常见错误，展探究式学习，克服学生的常见错误，让学生熟悉必要的数学语言让学生熟悉必要的数学语言继续借用数轴这一直观模型，在数轴数继续借用数轴这一直观模型，在数轴数表示实数表示实数积极利用计算器工具，重视培养学生估积极利用计算器工具，重视培养学生估算意识算意识与后面勾股定理呼应与后面勾股定理呼应教材设计教材设计 平方根平方根 P3的注解的注解 第一节中数的范围还是有理数，但有理数的开方第一节中数的范围还是有理数，但有理数的开方可能不再是有理数，所以对可能不再是有理数，所以对“必定有两个必定有两个”需要需要有个注解，可在学习实数时或之后再来说明这个有个注解，可在学习实数时或之后再来说明这个注解，提高学生对有理数运算局限性和扩展数的注解，提高学生对有理数运算局限性和扩展数的范围的必要性的认识范围的必要性的认识算术平方根算术平方根算术平方根的相反数算术平方根的相反数 估计估计就是不经过精确计算而迅速给数学问题就是不经过精确计算而迅速给数学问题提供一个近似答案的心理操作过程，提供一个近似答案的心理操作过程，要求形要求形成一个足够准确的大小、数量或数值的近似成一个足够准确的大小、数量或数值的近似结果。结果。三种数学估计类型三种数学估计类型：计算估计（简称：计算估计（简称估算估算）、）、测量估计（简称估测）和数量估计（简称估测量估计（简称估测）和数量估计（简称估数）数）关于估算关于估算估算是用已有的知识对题目作粗略的计估算是用已有的知识对题目作粗略的计算得到一个近似值的过程。算得到一个近似值的过程。学生对学生对“估算估算”的错误理解的错误理解（徐群飞）（徐群飞）估算是对题目答案的一种随意猜测。估算是对题目答案的一种随意猜测。估算就是对题目先计算结果，后用四舍五入等估算就是对题目先计算结果，后用四舍五入等方法，得到的一个近似值。方法，得到的一个近似值。（取近似值）（取近似值）估算就是先对数进行四舍五入，后计算其结果。估算就是先对数进行四舍五入，后计算其结果。（忽视其他估算策略）（忽视其他估算策略）估算的结果因为与精确值不相等，所以是错误估算的结果因为与精确值不相等，所以是错误的。的。估算意识薄弱，经验来源非常有限估算意识薄弱，经验来源非常有限学生的估算策略学生的估算策略 整数运算题的估算策略主要有整数运算题的估算策略主要有5 5种：种：取整估算（四舍五入法，保留最高位法，增减取整估算（四舍五入法，保留最高位法，增减平衡法，省略尾数法）平衡法，省略尾数法）最常用最常用 取平均值估算取平均值估算 用于求多个比较接近的数的和用于求多个比较接近的数的和 口诀估算法口诀估算法 数位估算法数位估算法 利用标准算法利用标准算法 64616664610646 学生的估算策略学生的估算策略 分数（百分数）题的估算策略分数（百分数）题的估算策略 取整估算取整估算 化成小数估算化成小数估算 利用运算性质估算利用运算性质估算 引入中间量进行估算引入中间量进行估算 小数题的估算策略。认识无理数认识无理数 用机器求用机器求、，直观地认识无理数是无限，直观地认识无理数是无限不循环小数不循环小数 试一试：在数轴上找表示试一试：在数轴上找表示 的点的点 作法的出现比较突然作法的出现比较突然 这样剪拼是因为还没有学这样剪拼是因为还没有学勾股定理勾股定理 现在数轴上没有空隙了，也叫实数轴。现在数轴上没有空隙了，也叫实数轴。22关于计算器的使用关于计算器的使用 一些学生太依赖于计算器了！一些学生太依赖于计算器了！实质性内容与非实质性内容实质性内容与非实质性内容 分辨现代教学技术的强与弱分辨现代教学技术的强与弱现代教学技术的强与弱现代教学技术的强与弱强在能够强在能够 直观展示数学内容，帮助学生认同、理解数学直观展示数学内容，帮助学生认同、理解数学概念概念 模拟随机试验，快速产生大量随机数，并用统模拟随机试验，快速产生大量随机数，并用统计图表展示计图表展示 把学生从繁琐常规的数学运算中解放出来，从把学生从繁琐常规的数学运算中解放出来，从事更有价值的观察、反思、探究、决策、推理、事更有价值的观察、反思、探究、决策、推理、问题解决等数学活动问题解决等数学活动弱在不能代替我们弱在不能代替我们 评判答案的合理性，理解，解释数据，反思评判答案的合理性，理解，解释数据，反思第第1313章章 整式的乘除整式的乘除 幂的运算幂的运算 整式的乘法整式的乘法 乘法乘法公式公式 整式的除法整式的除法 因式分解因式分解教学内容教学内容乘方的意义乘方的意义同底数幂的乘法法则同底数幂的乘法法则结合结合乘方的意义得幂的乘方法则乘方的意义得幂的乘方法则利用乘法交利用乘法交换律得积的乘方法则换律得积的乘方法则逆用同底数幂的乘逆用同底数幂的乘法法则或其他方法得同底数幂的除法法则法法则或其他方法得同底数幂的除法法则.在观察、思考、探索中获得幂的运算法则。在观察、思考、探索中获得幂的运算法则。幂的运算教材设计幂的运算教材设计整式乘法和除法的设计类似整式乘法和除法的设计类似乘法公式教材设计乘法公式教材设计 两数和乘以这两数的差的公式两数和乘以这两数的差的公式 平方差公平方差公式？式？两数和的平方公式两数和的平方公式 两数差的平方公式两数差的平方公式 用面积图作说明（不是证明）用面积图作说明（不是证明）第第1414章章 勾股定理勾股定理发现直角三角形的三边关系发现直角三角形的三边关系 测量直角三角尺三边长度并填表有可能得到：测量直角三角尺三边长度并填表有可能得到：“在在三角形三角形ABC中中,a+b c”，“c最长最长”三边长度之间有没有等量关系？三边长度之间有没有等量关系？先解决这个问题：方格纸上斜放着一个正方形，但先解决这个问题：方格纸上斜放着一个正方形，但顶点都恰在格点上，谁能求出它的面积？顶点都恰在格点上，谁能求出它的面积？数方格数？旋转？都有困难。数方格数？旋转？都有困难。如果我们在它的四面围上四个全等的直角三角形，如果我们在它的四面围上四个全等的直角三角形，结果会怎样？结果会怎样？一个放正了的正方形！可以计算面一个放正了的正方形！可以计算面积！积！勾股定理的证明勾股定理的证明黄朱朱朱朱黄朱朱朱朱222214baabab刘徽对勾股定理的证明刘徽对勾股定理的证明 青朱青出青出朱出朱入青入青入一个美国总统的证明一个美国总统的证明baabcc可证是一梯形。可证是一梯形。22222221()()2111()2222()2Sab ababcababcababc梯形Euclid的证法的证法 第第1 1册册 图形的初步认识图形的初步认识第第2 2册册 多边形，轴对称多边形，轴对称第第3 3册册 平移与旋转，平行四边形的认识平移与旋转，平行四边形的认识第第4 4册册 全等三角形，平行四边形的判定全等三角形，平行四边形的判定第第5 5册册 图形的相似，解直角三角形图形的相似，解直角三角形第第6 6册册 圆，几何的回顾圆，几何的回顾 培养目标：直观技能、语言技能、画图技能、逻辑技能运用技能认识阶段：直观感知、操作确认、思辩论证、算法度量德国小学的几何德国小学的几何 经验几何，密切联系学生的经验，只是做准经验几何，密切联系学生的经验，只是做准备，不是系统学习备，不是系统学习 轮胎是圆的，为什么要这样？轮胎是圆的，为什么要这样？皮球是什么形状的？为什么要这样？皮球是什么形状的？为什么要这样？如果要穿马路，怎样走最安全？如果要穿马路，怎样走最安全？球可以朝任何方向滚动，圆柱只能朝某一个方向球可以朝任何方向滚动，圆柱只能朝某一个方向滚动，圆锥只能在一个圆内滚动滚动，圆锥只能在一个圆内滚动法国初中教材中的一个例题法国初中教材中的一个例题1.取一张取一张8cm12cm的纸，上有二折线的纸，上有二折线a、b，先将纸沿先将纸沿a折叠，再沿折叠，再沿b折叠。试依次画出两次折叠。试依次画出两次折叠后的图形。折叠后的图形。ab例题例题2.长方形纸上有两线段长方形纸上有两线段a、b，其交点在长方，其交点在长方形外，问如何画出形外，问如何画出a，b所成角的平分线在纸上所成角的平分线在纸上的部分。的部分。ab美国的美国的发现几何发现几何1.几何的艺术几何的艺术 8.变换与棋盘形嵌石饰变换与棋盘形嵌石饰2.归纳推理归纳推理 9.面积面积3.几何简介几何简介 10.毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理4.几何作图几何作图 11.体积体积5.发现几何发现几何 12.相似性相似性6.全等全等 13.三角学三角学7.圆圆 14,15.几何证明几何证明发现等腰三角形的性质发现等腰三角形的性质 等腰三角形是至少有两条长度相等的边的三角形；顶角；底等腰三角形是至少有两条长度相等的边的三角形；顶角；底角；底角；底 作图探究作图探究 45个学生合作学习个学生合作学习 2次顶角为锐角，次顶角为锐角，2次顶角为钝角次顶角为钝角 测量测量 猜想：等腰三角形底角相等猜想：等腰三角形底角相等 猜想：反过来是否也对（作图探究）猜想：反过来是否也对（作图探究）阅读证明阅读证明“如果一个三角形是等角三角形，那么它是等边三如果一个三角形是等角三角形，那么它是等边三角形角形”加入定义定理罗列本加入定义定理罗列本 充要条件充要条件 练习练习 求三角形的角或边求三角形的角或边等腰三角形的再探索等腰三角形的再探索 在三角形中，高、中线和角平分线可能是不相同的在三角形中，高、中线和角平分线可能是不相同的线段，全是这样吗？线段，全是这样吗？作图探究作图探究 作一个等腰三角形，顶角平分线作一个等腰三角形，顶角平分线 猜想：顶角平分线也是底边上的高和中线猜想：顶角平分线也是底边上的高和中线 练习练习 求边长和角求边长和角 例例A：用逻辑推理证明等腰三角形顶角平分线分这：用逻辑推理证明等腰三角形顶角平分线分这个等腰三角形为两个全等的三角形个等腰三角形为两个全等的三角形 例例B：用逻辑推理证明等腰三角形顶角平分线也是：用逻辑推理证明等腰三角形顶角平分线也是底边上的高底边上的高 练习练习 完成逻辑推理证明：等腰三角形顶角平分线也是底边上完成逻辑推理证明：等腰三角形顶角平分线也是底边上的中线的中线第第1515章章 平移与旋转平移与旋转 15.1 15.1 平移平移 15.2 15.2 旋转旋转 15.3 15.3 中心对称中心对称 15.4 15.4 图形的全等图形的全等在第二册轴对称的基础上，在第二册轴对称的基础上，进一步研究图形的另两种进一步研究图形的另两种基本变换基本变换平移与旋转平移与旋转.从一些实际现象出发，引从一些实际现象出发，引出平移、旋转的基本概念，出平移、旋转的基本概念，进而探索平移与旋转的一进而探索平移与旋转的一些基本性质，并由此引出些基本性质，并由此引出图形全等的概念。利用轴图形全等的概念。利用轴对称、平移与旋转或它们对称、平移与旋转或它们的组合进行图案设计的组合进行图案设计.探索发现原图形经过平移后的对应点、对探索发现原图形经过平移后的对应点、对应线段之间的位置关系与数量关系应线段之间的位置关系与数量关系.感受图形平移的主要因素是移动的方向和感受图形平移的主要因素是移动的方向和移动的距离。移动的距离。体会图形在平移过程中，图形中的每一点体会图形在平移过程中，图形中的每一点都按同样的方向移动了相同的距离都按同样的方向移动了相同的距离.平移后的平移后的图形与原图形的对应线段平行且相等，对应点图形与原图形的对应线段平行且相等，对应点所连的线段平行且相等。所连的线段平行且相等。引导学生引导学生 探索发现原图形经过旋转后的对应点、探索发现原图形经过旋转后的对应点、对应线段之间的位置关系与数量关系。对应线段之间的位置关系与数量关系。通过各种图形的旋转，体验感受图形旋转通过各种图形的旋转，体验感受图形旋转的主要因素是旋转中心和旋转的角度。的主要因素是旋转中心和旋转的角度。体会图形在旋转过程中，图形中的每体会图形在旋转过程中，图形中的每一点都绕着旋转中心转动了相同的角度。一点都绕着旋转中心转动了相同的角度。探索确认图形在旋转过程中每一点与它的探索确认图形在旋转过程中每一点与它的对应点到旋转中心的距离都相等。对应点到旋转中心的距离都相等。引导学生引导学生图形的全等图形的全等 翻折、平移、旋转不改变线段的长度、翻折、平移、旋转不改变线段的长度、夹角的大小、图形的形状和大小夹角的大小、图形的形状和大小 图形全等图形全等 重合重合 全等多边形全等多边形 对于三角形全等的讨论放在第对于三角形全等的讨论放在第4册开始册开始课题学习课题学习图案设计图案设计第第1616章章平行四边形的认识平行四边形的认识 本章主要内容是认识平行本章主要内容是认识平行四边形以及几种特殊的平行四边形以及几种特殊的平行四边形的性质。通过图形的四边形的性质。通过图形的操作或度量，让学生直观确操作或度量，让学生直观确认图形的主要特征，认识图认图形的主要特征，认识图形的性质。并能根据图形的形的性质。并能根据图形的性质解决简单的推理与计算性质解决简单的推理与计算问题，学会合情推理与数学问题，学会合情推理与数学说理，进一步形成一定的推说理，进一步形成一定的推理格式理格式.12.1 平行四边平行四边形的性质形的性质12.2 矩形、菱矩形、菱形与正方形的性形与正方形的性质质12.3 梯形的性梯形的性质质（第一节）（第一节）例举实际生活中的例子例举实际生活中的例子 注意观察平行四边形边、角之间的关系，平行四边注意观察平行四边形边、角之间的关系，平行四边形是中心对称图形形是中心对称图形 注意方格纸的使用注意方格纸的使用 使用方格纸描画平行四边形，使用方格纸描画平行四边形，一方面为方便画图，同时，加强对抽象图形特征的掌握；一方面为方便画图，同时，加强对抽象图形特征的掌握；另一方面为图形与坐标的内容作准备。教学中要另一方面为图形与坐标的内容作准备。教学中要.教学建议教学建议 第第1 1册册 数据的收集与表示数据的收集与表示第第2 2册册 体验不确定现象体验不确定现象第第3 3册册第第4 4册册 数据整理与初步处理数据整理与初步处理第第5 5册册 随机事件的概率随机事件的概率第第6 6册册 样本与总体样本与总体 培养目标：认识和把握不确定现象、学习用数据说理、了解一种获得发现、科学决策的工具认识阶段：直观感知、操作发现、理性分析、主动探索以往概率统计教学的主要问题以往概率统计教学的主要问题 人们普遍对统计和概率的作用缺乏认识人们普遍对统计和概率的作用缺乏认识 课程设计过于依赖排列组合，不符合大课程设计过于依赖排列组合，不符合大部分学生的认知规律部分学生的认知规律 课时少，不重视体验，学习效果不佳课时少，不重视体验，学习效果不佳假设抛掷一枚均匀的假设抛掷一枚均匀的正方体骰子，正方体骰子，1 抛抛60次，你猜猜每次，你猜猜每个数字你可能得到个数字你可能得到几次，填入右表。几次，填入右表。2 再抛再抛60次，你猜猜次，你猜猜这次的结果可能是：这次的结果可能是：3 抛抛600次，你猜猜每次，你猜猜每个数字你可能得到个数字你可能得到几次，并在右面图几次，并在右面图中表示，标上次数。中表示，标上次数。骰子上显示的数字123456总计出现的次数60一普(92)一重(93)二普(94)二重(98)三普(87)三重(98)师范生(107)三题全有变异3247404427664834.8%50.5%42.6%44.9%31.0%67.3%44.9%前两题有变异第三题无变异48647454.3%8.6%6.4%4.1%8.0%4.1%4.7%前两题至少有一题是理论值，第三题也是理论值2624273839144128.3%25.8%28.7%38.8%44.8%14.3%38.3%前两题至少有一题是理论值，第三题有变异1031141381210.9%3.2%11.7%4.1%14.9%8.2%11.2%三题全是理论值1821193226123919.6%22.6%20.2%32.7%29.9%12.2%36.4%各册递进层次各册递进层次让数据说话统计图表频数、频率用实验频率估计机会集中量数离散量数预测概率抽样并用样本估计总体决策应用一些不满意的反馈一些不满意的反馈 一节课就完成一个活动，太浪费时间了吧？一节课就完成一个活动，太浪费时间了吧？掷骰子、玩扑克牌、买彩票这些教育内容掷骰子、玩扑克牌、买彩票这些教育内容不好！不好！让一个学生完成让一个学生完成50次实验，学生没兴趣了次实验，学生没兴趣了通过解决实际问题、操作活通过解决实际问题、操作活动进行教学的好处动进行教学的好处 认识其价值，能与现实世界中不同于抛硬币认识其价值，能与现实世界中不同于抛硬币等游戏问题结合等游戏问题结合 使学习有意义，通过自己和同学们收集的数使学习有意义，通过自己和同学们收集的数据来认识规律据来认识规律 用数据说理不确定性定性定量预用数据说理不确定性定性定量预测沟通测沟通 加强了统计与概率的联系加强了统计与概率的联系 对学习感兴趣，界面友好方便的统计软件搬对学习感兴趣，界面友好方便的统计软件搬走了统计教学的拦路虎：看懂和记忆统计公走了统计教学的拦路虎：看懂和记忆统计公式式Polya对教师的期望对教师的期望1.要对你讲的课题有兴趣要对你讲的课题有兴趣2.要懂得你讲的课题要懂得你讲的课题3.要懂得学习的途径；学习任何东西的最佳途要懂得学习的途径；学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现径就是靠自己去发现4.要观察你的学生的脸色，弄清楚他们的期望要观察你的学生的脸色，弄清楚他们的期望和困难，把自己置身于他们之中和困难，把自己置身于他们之中5.不仅要教给他们知识，并且要教给他们不仅要教给他们知识，并且要教给他们“才才智智”，思维的方式，有条不紊的工作习惯，思维的方式，有条不紊的工作习惯Polya对教师的期望（续）对教师的期望（续）6.要让他们学习猜测要让他们学习猜测7.要让他们学习证明要让他们学习证明8.要找出手边题目中那些对解后来题目有用的要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特征特征-即设法去揭示出隐藏在眼前具体情即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模式形中的一般模式9.不要立即吐露你的全部秘密不要立即吐露你的全部秘密-让学生在你让学生在你说出来之前先去猜说出来之前先去猜-尽量让他们自己去找尽量让他们自己去找出来出来10.要建议，不要强迫别人去接受要建议，不要强迫别人去接受