重积分对称性

,0 r,20 .z一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点个个数数，则则这这样样的的三三的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设MzrrPxoyMzyxM,),(规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos(dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解由由 zzryrx sincos,zrzr34222,3,1 rz知交线为知交线为 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如图图，投投影影到到把把闭闭区区域域xoy.20,3043:22 rrzr，例例计算计算 dxdydzyxI)(22，其中其中 是是曲线曲线 zy22，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成的曲的曲面面与两平面与两平面,2 z8 z所围的立体所围的立体.解解旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图，:2D,422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图，2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原原式式 I 345 625 336.82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴轴上上的的投投影影为为在在点点，面面上上的的投投影影为为在在设设点点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则 dxdydzzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，例例 3 3 计算计算 dxdydzyxI)(22，其中，其中 是是锥面锥面222zyx ，与与平面平面az )0(a所围的立体所围的立体.解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0:ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx ,rz ,20,0,:arazr例例 4 4 求求曲曲面面22222azyx 与与22yxz 所所围围 成成的的立立体体体体积积.解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20:ar由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV,adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的的奇偶性奇偶性例例利利用用对对称称性性简简化化计计算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其其中中积积分分区区域域1|),(222 zyxzyx.解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z.01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 6 6 计算计算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由抛物是由抛物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所围成的空所围成的空间闭区域间闭区域.其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数,且且 关关于于zox面面对对称称,0)(dvyzxy,同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数,且且 关关于于yoz面面对对称称,0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx22,则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在在柱柱面面坐坐标标下下：,20 ,10 r,222rzr ,122 yx投投影影区区域域 xyD：2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 （1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz （2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2（3）对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结三、小结思考题思考题则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ;0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关于关于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2