重积分柱球变换

第三节 三重积分的计算（2）),(),(:.),(),(),(),(:),(),(),(:),(wvuzyxJdudvdwJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxfoxyzouvwwvuzzwvuyywvuxxTzyxf 其其中中则则，空空间间上上的的变变为为空空间间上上的的闭闭区区域域将将上上连连续续，变变换换在在设设,0 r,20 .z一、利用柱面坐标计算三重积分的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点个个数数，则则这这样样的的三三的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设MzrrPxoyMzyxM,),(规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平面平面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos(dzrdrdzrrf 柱面坐标系中的体积元素为柱面坐标系中的体积元素为,dzrdrddv 例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解在在xoy面上的交线为：面上的交线为：x2y23 23242030rrzdzrdrdI.413 10102),sin,cos(rdzzrrfrdrdI11011222yxxfdzdydx420202xxxfdzdydx4cos20cos20rfdzrdrdI解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图，4:821221yxDfdzdxdyI,48164:8222222yxDrfdzdxdyI,288 原原式式 I336.8222020dzrrdrd82204222rdzrrdrd二、利用球面坐标计算三重积分的的球球面面坐坐标标就就叫叫做做点点，个个数数面面上上的的投投影影，这这样样的的三三在在点点为为的的角角，这这里里段段逆逆时时针针方方向向转转到到有有向向线线轴轴按按轴轴来来看看自自为为从从正正轴轴正正向向所所夹夹的的角角，与与为为有有向向线线段段间间的的距距离离，与与点点点点为为原原来来确确定定，其其中中，三三个个有有次次序序的的数数可可用用为为空空间间内内一一点点，则则点点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(Pxyzo),(zyxMr zyxA为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为Pxyzo),(zyxMr zyxA,r 0.20 ,0 规定：规定：则则,sin),(),(2rrzyxJ dxdydzzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为 dxdydzzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为 ddrdrdvsin2 drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，dzrdrddv 三重积分在球面坐标系下计算公式:dxdydzzyxf),(),(),(2)()(212121)(sin rrdrrfdd)cos,sinsin,cossin(:rrrff 其其中中解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx ,rz 例例 5 5 求求曲曲面面22222azyx 与与22yxz 所所围围 成成的的立立体体体体积积.解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 由由22222azyx 由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV,adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 4柱坐标系柱坐标系(先一后二先一后二)Drzrzdzzrrfrdrd),(),(21),sin,cos(dxdydzzyxf),(特殊,f写成一个一元函数和一个二元函数的乘积,D是圆的一部分.4柱坐标系柱坐标系(先二后一先二后一)zDzzrdrdzrrfdz ),sin,cos(21 dxdydzzyxf),(特殊,f写成一个一元函数和一个二元函数的乘积,Dz是圆的一部分或Dz与z无关.dxdydzzyxf),(),(),(2)()(212121)(sin rrdrrfdd)cos,sinsin,cossin(:rrrff 其其中中4球面坐标系坐标系 dxdydzzyxf),()()(2212121)(sin rrdrrfdd特殊,是旋转面包围的部分,则在某固定平面上定r和的限.解解(先一后二，柱面先一后二，柱面)在在xoy面上的投影为：面上的投影为：x2y2 2 2222220230rRrRRRdzzrdrdI .480595R 43解解(先先二二后后一一，柱面，柱面)在在z轴上的投影为：轴上的投影为：200222020202222zRRRzRzRrdrddzzrdrddzzI.480595R RzRRz 2,20解解(球面球面)是旋转面围成，考虑是旋转面围成，考虑YZ面面 20cos204232sincosRdrrdd,20 ;0,30Rr ;cos20,23 Rr 2004302sincosRdrrddI.480595R 补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算例例 6 利利用用对对称称性性简简化化计计算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222 其其中中积积分分区区域域1|),(222 zyxzyx.解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z.01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数,且且 关关于于zox面面对对称称,0)(dvyzxy,同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数,且且 关关于于yoz面面对对称称,0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx22,则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在在柱柱面面坐坐标标下下：,20 ,10 r,222rzr ,122 yx投投影影区区域域 xyD：2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 ,20 ,sincos02 r,20 r 2032040sindrrddI ).89290(60 ,40 ,24 2sincos032024sindrrdd（1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz （2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2（3）对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结思考题思考题则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ;0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关于关于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2