2.1.4函数的奇偶性与周期性

主页主页函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 主页主页忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点相同相同 相反相反 奇函数奇函数 主页主页忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点偶函数偶函数 奇函数奇函数 主页主页主页主页主页主页 主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页2.5主页主页等价转换要规等价转换要规 答题规范答题规范主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页1.奇函数、偶函数的概念奇函数、偶函数的概念 一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一的定义域内任意一个个x,都都 有有_，那么函数，那么函数f(x)就叫就叫做偶函数做偶函数.一般地一般地,如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一的定义域内任意一个个x,都都 有有_，那么函数，那么函数f(x)就叫就叫做奇函数做奇函数.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页定义法定义法利用利用性质性质2.函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定图象法图象法:画出函数图象画出函数图象()()()0,1.()f xf xfxfx 考查函数定义域是否关于原点对称；考查函数定义域是否关于原点对称；判断判断f(-x)f(x)之一是否成立；之一是否成立；作出结论作出结论.忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页一个函数为奇函数一个函数为奇函数它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称.3.3.性质性质:奇奇函数函数在关于原点对称的区间上具有相同在关于原点对称的区间上具有相同的单调性的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性有相反的单调性.(2)在定义域的关于原点对称的公共区间内在定义域的关于原点对称的公共区间内奇奇奇奇=奇奇;偶偶偶偶=偶偶;奇奇偶偶=非奇非偶非奇非偶.偶偶偶偶=偶；奇偶；奇奇奇=偶；偶偶；偶奇奇=奇奇.(1)(1)奇函数、偶函数的图象特点奇函数、偶函数的图象特点(3)(3)奇偶性与单调性的关系奇偶性与单调性的关系主页主页（1 1）设函数）设函数f(x)的定义域关于原点对称的定义域关于原点对称,判断判断下列函数的奇偶性：下列函数的奇偶性：4.4.任意一个任意一个定义域关于原点对称定义域关于原点对称的函数的函数,总可以表总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和示成一个奇函数与一个偶函数的和.()()(2)()2()()2f xfxf xfxf x5.对于奇函数对于奇函数f(x),若若x能取到零能取到零,则则f(0)=_.0()()()2f xfxF x )2()(f xG xfx 6.若若f(x)为为偶函数，则偶函数，则()()(|).fxf xfx忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页此时应有此时应有32,2主页主页-8主页主页22(1)()11f xxx f(x)既是偶函数既是偶函数,又是奇函数又是奇函数.解解:函数的定义域为函数的定义域为-1,1,(1)(1)(1)0.fff 例例1.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=|x+1|-|x-1|解解:()fx|1|1|xx|1|1|xx ).(f x 所以函数所以函数 f(x)为奇函数为奇函数.主页主页2lg(1)(3)()|2|2xf xx 定义域为定义域为-1,0)(0,1.211,10,11,0.0,4.220.xxxxxxx 解解：(1)由(1)由且且且且即即f(-x)=-f(x).所以函数所以函数 f(x)为奇函数为奇函数.2211(2)(),(2)2xxf xxx221()1(),xxfxxx 又又点评点评:判断函数是否具有奇偶性判断函数是否具有奇偶性,先看定义域是先看定义域是否关于原点对称否关于原点对称,其次要对解析式进行化简其次要对解析式进行化简.主页主页例例2.定义在定义在-1,1上的函数上的函数f(x)是奇函数是奇函数,并且在并且在-1,1 上上f(x)是增函数是增函数,求满足条件求满足条件f(1-a)+f(1-a2)0的的 a 的取值范围的取值范围.解解:由由f(1-a)+f(1-a2)0,得得 f(x)是奇函数是奇函数,f(x)在在-1,1上是增函数上是增函数,22111,111,11.aaaa 2(1)(1).fafa 2(1)(1).faf a 主页主页22,02,2,1.aaaa 或或2 22201 12.x 故故 a 的取值范围为的取值范围为1,2.202,02,(2)(1)0,aaaa主页主页例例3 定义在定义在2,2上的偶函数上的偶函数f(x),当当x0时时,f(x)单调递减单调递减,若若 f(1-m)f(m)成立成立,求求 m的取值的取值范围范围例例4 若函数若函数y=f(x)是定义在是定义在R上的偶函数上的偶函数,且在且在区间（区间（-，0上是减函数，又上是减函数，又f(2a-1)f(3-a),则则a的取值范围是的取值范围是_.212,22,|1|.mmmm 13,22,12mmm 11.2m 122aa 或或主页主页例例5 5 已知已知f(x)是奇函数是奇函数,当当x00时时,f(x)=)=x2 22 2x,求当求当 x0 0时时,f(x)的解析式的解析式,并画出此函数并画出此函数f(x)的图象的图象.xyo解解:当当x0时时,f(x)=x22x,当当x0 0时时,-x0,0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,222,0,()2,0.xx xf xxx x 故故即 f(x)=(x2+2x),f(x)=x22x.又又 f(x)是奇函数是奇函数,f(-(-x)=)=f(x).).主页主页已知已知 f(x)是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数,当当x0时时,f(x)=x2+x-1,求函数求函数f(x)的表达式的表达式221,0,()0,0,1,0.xxxf xxxxx xyo主页主页 已知已知f(x)是偶函数是偶函数,g(x)是奇函数，是奇函数，x0,3上的图象如图所示，则不等式上的图象如图所示，则不等式的解集是的解集是_.(1,0)(1,3)()0()f xg x oxy-1-313主页主页 f(x)是是R上偶函数上偶函数,且在且在0,+)上是增上是增函数函数,f(0.5)=0,则不等式则不等式 的解集的解集为为_.12.2x4(log)0fx 41(|log|)(),2fxf 41|log|,2x 411log,22x1122444log 4loglog 4,x 主页主页【1 1】主页主页(),f x