第讲函数与方程

考纲要求考纲研读1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用根的存在性定理，可用来求参数的取值范围.第6讲函数与方程1函数的零点实根交点f(a)f(b)0(1)方程 f(x)0 有_函数 yf(x)的图象与 x 轴有_函数 yf(x)有零点；(2)如果函数 yf(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的，且有_，则函数 yf(x)在区间(a，b)上有零点一般把这一结论称为零点存在性定理2二分法f(m)f(n)0二分法如果函数 yf(x)在区间m，n上的图象是一条连续不断的曲线，且_，通过不断地把函数 yf(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做_1图 361 是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公共点给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)在区间()上的零点()B图 361A2.1，1C4.1,5B1.9,2.3D5,6.13lgx0 有解的区域是(2用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经计算 f(0)0，可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()AA(0,0.5)，f(0.25)C(0.5,1)，f(0.75)B(0,1)，f(0.25)D(0,0.5)，f(0.125)1x)BA(0,1C(10,100B(1,10D(100，)4(2010 年天津)函数 f(x)exx2 的零点所在的一个区间是()CA(2，1)C(0,1)B(1,0)D(1,2)5关于 x 的一元二次方程 5x2ax10 有两个不同的实根，一根位于区间(1,0)，另一根位于区间(1,2)，则实数 a 的取值范围为_.x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4 xy21.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.010.556 2yx0.040.361.01.963.244.846.769.011.56考点1判断函数零点所在的区间例1：利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程 2xx2 的一个根位于下列哪个区间()A(0.6,1.0)C(1.8,2.2)B(1.4,1.8)D(2.6,3.0)解题思路：判断函数f(x)2xx2 在各个区间两端点的符号解析：由f(0.6)1.5160.360，f(1.0)2.01.00，排除A；由 f(1.4)2.6391.960，f(1.8)3.4823.240，排除B；由f(1.8)3.4823.240，f(2.2)4.5954.840，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.解析：f(2)loga22b0，x0(2,3)故所求的n2.考点2二分法的应用例2：已知函数 f(x)lnx2x6.(1)证明函数 f(x)在其定义域上是增函数；(2)证明函数 f(x)有且只有一个零点；解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，设x1x2，则lnx1lnx2,2x12x2.lnx12x16lnx22x26.f(x1)f(x2)f(x)在(0，)上是增函数给定精度，用二分法求函数 yf(x)的零点近似值的步骤如下：(1)确定区间m，n，验证f(m)f(n)0，给定精度；(2)求区间m，n的中点x1；(3)计算f(x1)：若f(x1)0，则x1就是函数yf(x)的零点；若f(m)f(x1)0，则令nx1此时零点x0(m，x1)；若f(x1)f(n)0，则令mx1此时零点x0(x1，n)【互动探究】2用二分法求方程 x32x50 在区间2,3上的近似解，取区间中点 x02.5，那么下一个有解区间为_2,2.5解析：令f(x)x32x5，则f(2)2322510，故下一个有解区间为2,2.5考点3利用导数讨论方程的根的分布例3：(2011 年天津)已知函数 f(x)4x33tx26t2xt1，其中 tR.(1)当 t1 时，求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当 t0 时，求 f(x)的单调区间；(3)证明：对任意 t(0，)，f(x)在区间(0,1)内存在零点解析：(1)当t1时，f(x)4x33x26x，f(0)0，f(x)12x26x6，f(0)6.所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y6x.【互动探究】3若函数 f(x)x33xa 有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是()AA(2,2)C(，1)B2,2D(1，)思想与方法5运用函数与方程思想判断方程根的分布例题：已知 f(x)log4(4x1)kx(kR)是偶函数(1)求 k 的值；一个公共点，求实数 a 的取值范围将对数方程转化成二次方程应注意取值范围，要保证转化的等价性；解决一元二次方程的实根分布问题时一定要结合图象，从各个方面考虑使结论成立的所有条件，常见的有：判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等与二次方程 f(x)ax2bxc0(a0)的根的分布有关的结论：(1)方程 f(x)0 的两根中一根比 r 大，另一根比 r 小af(r)0.(2)方程 f(x)0 的两根都大于 r(3)方程 f(x)0 在区间(p，q)内有两根(4)方程 f(x)0 在区间(p，q)内只有一根f(p)f(q)0，或 f(p)0，另一根在(p，q)内，或 f(q)0，另一根在(p，q)内(5)方程 f(x)0 的两根 x1，x2 中，px1qx2(pq)f(p)f(q)0.1函数的零点不是点，它是函数 yf(x)与 x 轴交点的横坐标，是方程 f(x)0 的根2使用根的存在性定理要注意以下三点：函数 yf(x)在区间a，b上连续；满足 f(a)f(b)0；(3)该定理只能求变号零点，对非变号零点则不适用，因此只是零点存在的一个充分条件，但不必要