第讲直线与圆锥曲线的位置关系

考纲要求考纲研读1.了解直线与圆锥曲线的位置关系2理解数形结合的思想3了解圆锥曲线的简单应用.1.直线与圆锥曲线位置关系的判断可利用根的判别式2涉及线段中点、弦长等知识点时，要注意数形结合的思想、设而不求方法及一元二次方程根与系数的关系的运用.第5讲直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线 C 的位置关系将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程，消去 y 或者消去 x，得到一个关于 x(或 y)的方程 ax2bxc0.(1)交点个数当 a0 或 a0，0 时，曲线和直线只有一个交点；当 a0，0 时，曲线和直线有两个交点；当0 时，曲线和直线没有交点D2若椭圆经过点 P(2,3)，且焦点为 F1(2,0)，F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于(4椭圆的中心在原点，有一个焦点 F(0，1)，它的离心率是方程 2x25x20 的一个根，椭圆的方程是_.5抛物线 y28x 的焦点坐标是_)C(2,0)考点1弦长公式的应用图 12(1)动点M 通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点 M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可(2)直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系，结合两点的距离公式计算(3)可以直接利用弦长公式，死求点的坐标再用两点间的距离公式很容易计算错误【互动探究】1椭圆 x24y24 长轴上一个顶点为 A，以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_.考点2点差法的应用解题思路：用点差法求出割线的斜率，再结合已知条件求解 解析：(1)设AB为斜率为2的任意一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点P(x，y)(1)本题的三小题都设了端点的坐标，但最终没有求点的坐标，这种“设而不求”的思想方法是解析几何的一种非常重要的思想方法(2)本例这种方法叫“点差法”，“点差法”主要解决四类题型：求平行弦的中点的轨迹方程；求过定点的割线的弦的中点的轨迹方程；过定点且被该点平分的弦所在的直线的方程；有关对称的问题(3)本题中的“设而不求”的思想法和“点差法”还适用于双曲线和抛物线【互动探究】2已知双曲线 E 的中心为原点，P(3,0)是 E 的焦点，过 P 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(12，15)，)则 E 的方程式为(答案：B考点3 直线与圆锥曲线的位置关系【互动探究】思想与方法18圆锥曲线中的函数与方程思想例题：(2011 年广东广州综合测试)已知直线 y2 上有一个动点 Q，过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴，动点 P 在 l1 上，且满足 OPOQ(O 为坐标原点)，记点 P 的轨迹为 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线，当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时，求直线 l2 的方程本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识，注意求切线可以先设斜率再与抛物线联立利用根的判别式求解，也可以利用导数求斜率；同时本题还考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，求最值时要注意使用基本不等式时的“配”和“凑”1直线与圆锥曲线的综合，是高考最常见的一种题型，涉及求弦长、中点弦方程、轨迹问题、切线问题、最值问题，参数的取值范围问题等等分析问题时需借助于数形结合、设而不求，弦长公式及韦达定理等来综合考虑2在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”研究直线与圆锥曲线的位置关系，经常用到一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、弦长公式等，要重视设而不求及数形结合思想的运用，切忌一味呆板地去求方程的根；在解题时应注意讨论二次项系数为 0 的情况，否则会漏解要强调根的判别式，这是直线与圆锥曲线有交点的前提，也是求参数范围的基本方法