4.3、一元一次不等式的解法

一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法本课内容本节内容4.3 知识回顾知识回顾 1、什么是一元一次方程、什么是一元一次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次幂含有一个未知数，并且未知数的最高次幂 为为1的的 2、解一元一次方程的基本步骤、解一元一次方程的基本步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、系去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为数化为1 动脑筋动脑筋 已知一台升降机的最大载重量是已知一台升降机的最大载重量是1200kg，在，在一名重一名重75kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载的工人乘坐的情况下，它最多能装载多少件多少件25kg重的货物重的货物？本问题中涉及的数量关系是：本问题中涉及的数量关系是：设能载设能载x件件25kg重的货物，因为升降机最大载重重的货物，因为升降机最大载重量是量是1200kg，所以有，所以有 7525x1200.工人重工人重 +货物重货物重 最大载重量最大载重量.结论结论 含有一个未知数，且含未知数的项的次数是含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式，称为的不等式，称为一元一次不等式一元一次不等式.像像75+25x 1200 这样，这样，结论结论 含有一个未知数，且含未知数的项的次数是含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式，称为的不等式，称为一元一次不等式一元一次不等式.像像75+25x 1200 这样，这样，为了求出升降机能装载货物的件数，需为了求出升降机能装载货物的件数，需要求出满足不等式要求出满足不等式7525x1 200的的x的值的值.如何求呢如何求呢？与解一元一次方程类似，我们将根据不与解一元一次方程类似，我们将根据不等式的基本性质，进行如下步骤：等式的基本性质，进行如下步骤：将将式移项，得式移项，得 25x 1200-75，将将式两边都除以式两边都除以25（即将即将x的系数化为的系数化为1），75+25x1200.即即 25x 1125.得得 x45.因此，升降机最多装载因此，升降机最多装载45件件25kg重的货物重的货物.我们把满足一个不等式的未知数的每一个我们把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个值，称为这个不等式的一个解解.结论结论例如，例如，5.4，6，都是都是3x15的解的解.这样的解有无数个这样的解有无数个.193结论结论 我们把一个不等式的解的全体称为这个不我们把一个不等式的解的全体称为这个不等式的等式的解集解集.例如例如 我们用我们用x5表示表示3x15的解集的解集.结论结论 求一个不等式的解集的过程称为求一个不等式的解集的过程称为解不等式解不等式.今后我们在解一元一次不等式时，将利用前今后我们在解一元一次不等式时，将利用前面讲述的不等式的基本性质，将原不等式化成形面讲述的不等式的基本性质，将原不等式化成形如如x a(或或xa，xa）的不等式，就可得到的不等式，就可得到原不等式的解集原不等式的解集.小提示例例1 解下列一元一次不等式解下列一元一次不等式：举举例例（1）2-5x 8-6x；（2）.531 32xx 解解（1）原不等式为原不等式为2-5x 8-6x 将同类项放在一起将同类项放在一起即，得即，得 x 6 移项，得移项，得 -5x+6x 8-2计算结果计算结果解解首先将分母去掉首先将分母去掉去括号，得去括号，得 2x-10+6 9x 去分母，得去分母，得 2(x-5)+16 9x移项，得移项，得 2x-9x 10-6去括号去括号将同类项放在一起将同类项放在一起（2）原不等式为原不等式为531 32 xx合并同类项，得：合并同类项，得：-7x 4 两边都除以两边都除以-7，得，得 x 47 计算结果计算结果根据不等式性质根据不等式性质3议一议议一议 解一元一次不等式与解一元一次方程的依解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点据和步骤有什么异同点？它们的依据不相同它们的依据不相同.解一元一次方程的依据解一元一次方程的依据是是等式的性质等式的性质，解一元，解一元一次不等式的依据是一次不等式的依据是不不等式的性质等式的性质.它们的步骤基本相它们的步骤基本相同，都是去分母、去括同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、号、移项、合并同类项、两边都除以未知数的系两边都除以未知数的系数数.这些步骤中，要特别注意的是：这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向数，必须改变不等号的方向.这是与这是与解一元一次方程不同的地方解一元一次方程不同的地方.练习练习 1.解下列不等式：解下列不等式：（1）-5x 10；（2）4x-3 10 x+7.解解（1）原不等式为原不等式为 -5x 10 方程两边同除以方程两边同除以-5，x -2（2）原不等式为原不等式为 4x-3 10 x+7 移项，得移项，得 4x-10 x 3+7 化简，得化简，得 -6x 53-2.解下列不等式：解下列不等式：（1）3x-1 2(2-5x)；（2）.22332x x 解解（1）原不等式为原不等式为 3x-1 2(2-5x)去括号，得去括号，得 3x-1 4-10 x移项，得移项，得 3x+10 x 1+4化简，得化简，得 13x 5两边同除以两边同除以13，x 513（2）原不等式为原不等式为 去分母，得去分母，得 2(x+2)3(2x-3)去括号，得去括号，得 2x+4 6x-9移项，得移项，得 2x-6x -4-9 化简，得化简，得 -4x -13两边同除以两边同除以-4，x 13422332 x x 一个不等式的解集常常可以借助数一个不等式的解集常常可以借助数轴直观地表示出来轴直观地表示出来.先在数轴上标出表示先在数轴上标出表示2的点的点A则点则点A右边所有的点表示的数右边所有的点表示的数都大于都大于2，而点，而点A左边所有的点左边所有的点表示的数都小于表示的数都小于2因此可以像图那样表示因此可以像图那样表示3x6的解集的解集x2.动脑筋动脑筋如何在数轴上表示出不等式如何在数轴上表示出不等式3x6的解集呢的解集呢？容易解得不等式容易解得不等式3x6的解集是的解集是x2.0123456-1A 把表示把表示2 的点的点 画成空心圆圈，画成空心圆圈，表示解集不包括表示解集不包括2.例例2 解不等式解不等式12-6x2(1-2x)，并把它的解集在，并把它的解集在 数轴上表示出来数轴上表示出来：举举例例解解首先将括号去掉首先将括号去掉去括号，得去括号，得 12-6x 2-4x移项，得移项，得 -6x+4x 2-12将同类项放在一起将同类项放在一起合并同类项，得：合并同类项，得：-2x -10两边都除以两边都除以-2，得，得 x 5根据不等式基本性质根据不等式基本性质2原不等式的解集在数轴上表示如图所示原不等式的解集在数轴上表示如图所示.-10123456解集解集x5中包含中包含5，所以在数轴上将表示，所以在数轴上将表示5的点画成的点画成实心圆点实心圆点.举举例例解解解这个不等式，得解这个不等式，得 x 6x6在数轴上表示如图所示：在数轴上表示如图所示：-10123456根据题意，得根据题意，得 x+2 013 所以，当所以，当x6时，代数式时，代数式 x+2的值大于或等于的值大于或等于0.13 由图可知，满足条件的正整数有由图可知，满足条件的正整数有 1，2，3，4，5，6.例例3 当当x取什么值时，代数式取什么值时，代数式 x+2的值大于或的值大于或等于等于0？并求出所有满足条件的正整数？并求出所有满足条件的正整数.13 练习练习1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：示出来：（1）4x-3 2x+7；（2）.33524x x 解解（1）原不等式为原不等式为 4x-3 2x+7 移项，得移项，得 4x-2x 3+7化简，得化简，得 2x 10两边同除以两边同除以2，x -2 解得解得 y 3 解解-1012345中考中考 试题试题例例1 去分母，得去分母，得 6+3x4x+2.移项，合并同类项，得移项，合并同类项，得 x4.正整数解为正整数解为 1，2，3，4.解解 求不等式求不等式 的正整数解的正整数解.2+2+123xx 首先求出不等式的解集首先求出不等式的解集.然后求出正整数解然后求出正整数解.分析分析中考中考 试题试题例例2 已知已知 且且xy，则，则k的取值范围是的取值范围是 .32=3+1 43=1 xykxyk-，解解 3-2，得，得 x=7k+5.将将代入代入，得，得 3(7k+5)-2y=3k+1.化简，整理，得化简，整理，得 y=9k+7.x y，7k+59k+7.解之，得解之，得k-1.32=3+1 43=1 xykxyk-.k-1中考中考 试题试题例例3 解不等式解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来，并把解集在数轴上表示出来.10+1216xx-2-10123472 去分母，得去分母，得 6(2x-1)10 x+1.去括号，移项，合并同类项得去括号，移项，合并同类项得 2x7.解得解得 这个不等式的解集在数轴上表示如下图：这个不等式的解集在数轴上表示如下图：解解72x 结结 束束