资源描述
1 1.1 1.1 1 函数的概念函数的概念1 1.1 1.2 2 函数的几种特性函数的几种特性1 1.1 1.3 3 反函数反函数1 1.1 1.4 4 基本初等函数基本初等函数1 1.1 1.5 5 复合函数与初等函数复合函数与初等函数一类量在考察的过程中不发生变化，只取一类量在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们把它称作一个固定的值，我们把它称作常量常量；另一类量；另一类量在所考察的过程中是变化的，可以取不同数值，在所考察的过程中是变化的，可以取不同数值，我们把它称作我们把它称作变量变量1.1.常量与变量常量与变量常量习惯用字母常量习惯用字母 等表示；变量习惯等表示；变量习惯用用 等表示等表示dcba,wvuzyx,1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回1/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.2.函数的概念及表示法函数的概念及表示法1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回2/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页x定义定义1 1.1 1 设和是两个变量，若当变量设和是两个变量，若当变量在非空数集在非空数集 内任取一数值时，变量依照内任取一数值时，变量依照某一规则总有一个确定的数值与之对应，则某一规则总有一个确定的数值与之对应，则称变量为变量的称变量为变量的函数函数，记作这，记作这里，称为里，称为自变量自变量，称为，称为因变量因变量或或函数函数 是是函数符号，它表示与的对应规则有时函函数符号，它表示与的对应规则有时函数符号也可以用其他字母来表示，如数符号也可以用其他字母来表示，如 或或 等等)(xfy Dxyxyyxxf)(xgy yy)(xyf集合称为函数的集合称为函数的定义域定义域，相应的相应的 值的值的集合则称为函数的集合则称为函数的值域值域Dy1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念 当自变量在其定义域内取定某确定值当自变量在其定义域内取定某确定值时，因变量按照所给函数关系求出时，因变量按照所给函数关系求出的对应值叫作当时的函数值，记作的对应值叫作当时的函数值，记作或或 0 x0y)(xfy 0 xx 0 xxy|)(0 xfxy返回返回3/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页，例例1 1已知已知xxxf11)(，求：求：)21(f)0(f，)(xf)(2xf)1(xf，)1(xf，1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回4/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页解解10101)0(f31211211)21(fxxxxxf11)(1)(1)(111111)1(xxxxxfxxxxxf2)1(1)1(1)1(22211)(xxxf，1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回5/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页29)(xxf(2)(2)；)34lg()(xxf(3)(3)；)12arcsin()(xxf(4)(4)；)12arcsin()34lg()(xxxf(5)(5).1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念例例2 2求下列函数的定义域求下列函数的定义域xxxf253)(2(1)(1)；返回返回6/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页解解(1)(1)在分式中，分母不能为在分式中，分母不能为零，所以，解得，且，零，所以，解得，且，即定义域为即定义域为xx25320252 xx0 x52x),0()0,52()52,(1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回7/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念 (2)(2)在偶次根式中，被开方式必须大于等于在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有，解得，即零，所以有，解得，即定义域为定义域为092 x33x3,3(3)(3)在对数式中，真数必须大于零，所以有在对数式中，真数必须大于零，所以有，解得，即定义域为，解得，即定义域为034x43x),43(4)(4)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于小于等于1 1，所以有，所以有,解得解得 ，即定义域为即定义域为 10 x1121x 1,0返回返回8/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页(5)(5)该函数为该函数为(3)(3)，(4)(4)两例中函数的代数和，两例中函数的代数和，此时函数的定义域应为此时函数的定义域应为(3)(3)，(4)(4)两例中定义域两例中定义域的交集，即的交集，即 1,43(1,0),43(1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回9/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念 函数表示法有解析法函数表示法有解析法(又称公式法又称公式法)、表格法、表格法和图形法和图形法23xy(1)(1)这是一个用解析式表示的函数这是一个用解析式表示的函数返回返回10/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页(2)(2)某商店一年中各月份毛线的销售量某商店一年中各月份毛线的销售量(单单位位:10:102 2kg)kg)的关系如表所示的关系如表所示这是用表格表示的函数这是用表格表示的函数1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回11/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页月 份 x123456789101112销售量8184454595615 94 161144123y/102kg这是用图形表示的函数这是用图形表示的函数1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回12/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页(3)(3)下图是气象站用自动温度记录仪记录下下图是气象站用自动温度记录仪记录下来的某地一昼夜气温变化曲线来的某地一昼夜气温变化曲线气温变化曲线图动画演示气温变化曲线图动画演示例例某市电话局规定市话收费标准为：当某市电话局规定市话收费标准为：当月所打电话次数不超过月所打电话次数不超过3030次时，只收月租费次时，只收月租费2525元，超过元，超过3030次的，每次加收次的，每次加收0.230.23元元则电话费则电话费和用户当月所打电话次数的关系可用下面和用户当月所打电话次数的关系可用下面的形式给出：的形式给出：yx30),30(23.02530,25xxxy，1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念3.3.分段函数分段函数返回返回13/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页像这样把定义域分成若干部分，函数关系像这样把定义域分成若干部分，函数关系由不同的式子分段表达的函数称为由不同的式子分段表达的函数称为分段函数分段函数1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念绝对值函数可以表示成绝对值函数可以表示成0,0,|xxxxxy，返回返回14/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念例例3 3设函数设函数返回返回15/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页yf(x)x2+1，x0，2，x=0，3x，x0.分段函数示意图分段函数示意图动画演示动画演示例例4 4设函数设函数3,1531,114,sin)(xxxxxxf，求，及函数的定义域求，及函数的定义域)(f)1(f)5.3(f1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回16/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页解解因为因为 ，)1,4所以所以；0)sin()(f因为，因为，)3,1 1所以；所以；1)1(f因为，因为，),35.3所以；所以；5.161)5.3(5)5.3(f函数的定义域为函数的定义域为.)(xf),41.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回17/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页xx2|2|解解根据绝对值定义可知，当时，根据绝对值定义可知，当时，；当时，；当时，于是有于是有2x2x2|2|xx|2|3xy例例5 5用分段函数表示函数，用分段函数表示函数，并画出图形并画出图形2),2(32),2(3xxxxy，1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回18/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页即即2,52,1xxxxy，1.1.1 1.1.1 函数的概念函数的概念返回返回19/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页例例5示意图动画演示示意图动画演示1.1.函数的有界性函数的有界性定义定义1 1.2 2设函数在集合上有定设函数在集合上有定义，如果存在一个正数，对于所有的，义，如果存在一个正数，对于所有的，恒有，则称函数恒有，则称函数 在在 上是上是有界有界的的如果不存在这样的正数如果不存在这样的正数 ，则称在，则称在上是上是无界的无界的)(xfy DMDxMxf|)(|)(xfD)(xfDM1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性返回返回20/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页函数函数在区间内有在区间内有界的几何意义是：界的几何意义是：曲线在区曲线在区间内被限制间内被限制在和在和两条直线之间两条直线之间)(xfy),(ba)(xfy),(baMyMy 1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性返回返回21/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页有界性示意图动画演示有界性示意图动画演示定义定义1 1.3 3设函数在集合上有定设函数在集合上有定义，如果对任意的，恒有，义，如果对任意的，恒有，则称为则称为偶函数偶函数；如果对任意的；如果对任意的 ，恒有，恒有，则称为，则称为奇函数奇函数)(xfy DDxDx)()(xfxf)()(xfxf)(xf)(xf由定义可知，对任意的由定义可知，对任意的,必有必有 ，否则，否则，没有意义没有意义.因此函数具有奇偶性时，因此函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的其定义域必定是关于原点对称的DxDx)(xf 1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性2.2.函数的奇偶性函数的奇偶性返回返回22/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页偶函数的图像是对称于轴的偶函数的图像是对称于轴的y1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性返回返回23/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页偶函数示意图动画演示偶函数示意图动画演示奇函数的图象是对称于原点的奇函数的图象是对称于原点的.1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性返回返回24/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页奇函数示意图动画演示奇函数示意图动画演示例例6 6判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：753)(24xxxf(1)(1)；xxxfsin2)(2；(2)(2)1,0)(21)(aaaaxfxx(3)(3)1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性返回返回25/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页解解(1)(1)因为因为7)(5)(3)(24xxxf所以所以753)(24xxxf是偶函数是偶函数)(75324xfxx(2)(2)因为因为同样可以得到同样可以得到)()(xfxf，所以既非奇函数，也非偶函数所以既非奇函数，也非偶函数xxxfsin2)(2)(sin2)sin()(2)(22xfxxxxxf，解解1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性返回返回26/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页(3)(3)因为因为)(xf 所以所以是奇函是奇函数数)(21)(xxaaxf)(21xxaa1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性返回返回27/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页解解)(21)(xxaa)(21xxaa)(xf1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性3.3.函数的单调性函数的单调性定义定义1.41.4设函数设函数 在区间内有定在区间内有定义，如果对于内的任意两点和义，如果对于内的任意两点和,当当时，有，则称函数在内时，有，则称函数在内是是单调增加单调增加的；如果对于内的任意两点和的；如果对于内的任意两点和，当时，有，则称函数，当时，有，则称函数在内是在内是单调减少单调减少的的.),(ba)(xfy),(ba),(ba1x1x2x21xx 21xx)()(21xfxf)()(21xfxf)(xf)(xf),(ba),(ba2x返回返回28/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页单调增加函数与单调减少函数统称为单调增加函数与单调减少函数统称为单调函单调函数数1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性返回返回29/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页单调单调增加增加的的函数的图象是沿函数的图象是沿x轴正向逐渐轴正向逐渐上上升升的；的；单调增加函数示意图单调增加函数示意图动画演示动画演示1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性返回返回30/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页单调单调减少减少的的函数的图象是沿函数的图象是沿x轴正向逐渐轴正向逐渐下下降降的的单调减少函数示意图单调减少函数示意图动画演示动画演示例例7 7验证函数在区间验证函数在区间内是单调增加的内是单调增加的23 xy),(1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性证证在区间内任取两点在区间内任取两点 ，于，于是是即，所以在区间即，所以在区间内是单调增加的内是单调增加的),(21xx 0)(3)23()23()()(212121xxxxxfxf，)()(21xfxf23 xy),(返回返回31/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页定义定义1 1.5 5 对于函数，如果存在正对于函数，如果存在正数，使恒成立，则称此函数数，使恒成立，则称此函数为为周期函数周期函数满足这个等式的最小正数称为满足这个等式的最小正数称为函数的最小正周期函数的最小正周期)(xfy)()(axfxfaa1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性4.4.函数的周期性函数的周期性返回返回32/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页定义定义1.61.6设是的函数，其值域设是的函数，其值域为为R，如果对于如果对于R中的每一个值，都有一个确中的每一个值，都有一个确定的且满足的值与之对应，则得到一定的且满足的值与之对应，则得到一个定义在个定义在R上的以为自变量，为因变量的新上的以为自变量，为因变量的新函数，我们称它为的函数，我们称它为的反函数反函数，记作，记作并称为并称为直接函数直接函数)(xfy xyyxx)(xfy)(xfy)(1yfx)(xfy 1.1.31.1.3 反函数反函数通常把改写为通常把改写为)(1yfx)(1xfy返回返回33/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页求反函数的过程可以分为两步：第一步从求反函数的过程可以分为两步：第一步从解出；第二步交换字母解出；第二步交换字母和和)(xfy)(1yfxxy1.1.31.1.3 反函数反函数返回返回34/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页3000)90(1f)100(1f和和 例例8 8水的沸点随高度增加而降低，这对烹调水的沸点随高度增加而降低，这对烹调尤其重要设尤其重要设 是在标准大气压下，海拔高度是在标准大气压下，海拔高度为为 时水的沸点（时水的沸点（0 0C C），那么），那么 的实际意义是什么？的实际意义是什么？计算计算mh)(hf)90(1f1.1.31.1.3 反函数反函数解解 函数函数 是根据高度确定温度，所以是根据高度确定温度，所以是反过来由温度去确定高度因此是反过来由温度去确定高度因此表示水的沸点为表示水的沸点为90900 0C C时所处的高度时所处的高度(m)式子式子 意即在海拔意即在海拔30003000m时水的沸点是时水的沸点是900C900C式子式子 表达了相同的意义表达了相同的意义 )(hf1f)90(1f3000)90(1f90)3000(f 由于在海平面（高度为由于在海平面（高度为0 0m处）水的沸点是处）水的沸点是1001000 0C C，所以必有，所以必有 0)100(1f返回返回35/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页 例例9 9求的反函数求的反函数14 xy解解由得到，然后交换由得到，然后交换和，得即和，得即 是是 的的反函数反函数41yx41xy41xy14 xy14 xyxy1.1.31.1.3 反函数反函数 从定义从定义1.61.6容易得出，求反函数的过程可以分容易得出，求反函数的过程可以分为两步：第一步从为两步：第一步从 解出解出 ；第二步交换字母第二步交换字母 和和 )(xfy)(1yfxxy返回返回36/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页函数与其反函数的图函数与其反函数的图形关于直线对称例形关于直线对称例8 8中的一对反函数的中的一对反函数的图象如图所示图象如图所示)(xfy)(1xfyxy 1.1.31.1.3 反函数反函数返回返回37/62上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页1.1节例节例9示意图动画演示示意图动画演示1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数它的定义域是，它的图象是过点它的定义域是，它的图象是过点平行于轴的一条直线它是偶函数平行于轴的一条直线它是偶函数),(),0(cx1.1.常数函数常数函数cy 返回返回38/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页常数函数示意图动画演示常数函数示意图动画演示1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回39/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.2.幂函数幂函数(为实数）为实数）我们只讨论的情形我们只讨论的情形.当当 时，函数的图像通过原点和时，函数的图像通过原点和点在内单调增加且无界点在内单调增加且无界.xy 0 x)0,0()1,1(),0(01.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回40/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页当，图像不过原点，但仍通过点，当，图像不过原点，但仍通过点，在内单调减少、无界，曲线以轴和在内单调减少、无界，曲线以轴和轴为渐近线轴为渐近线 )1,1(),0(0 xy1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回41/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页幂函数（幂函数（0）示意图动画演示示意图动画演示3.3.指数函数指数函数它的定义域是，它的图像全部在它的定义域是，它的图像全部在轴上方，且通过点轴上方，且通过点 当时，函数单调增加且无界，曲线以当时，函数单调增加且无界，曲线以轴负半轴为渐近线；轴负半轴为渐近线；当时，函数单调减少且无界，以当时，函数单调减少且无界，以轴正半轴为渐近线，轴正半轴为渐近线，),(x)1,0(1a10 axx)1,0(aaayx1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回42/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回43/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页a)1,0(logaaxya),0(y),()0,1(4.4.对数函数对数函数 它的定义域是，图象全部在轴右方，它的定义域是，图象全部在轴右方，值域是无论取何值，曲线都通过点值域是无论取何值，曲线都通过点1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回44/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页对数函数示意图动画演示对数函数示意图动画演示xy2logxylog21yx)0,1(O1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回45/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页当时，函当时，函数单调减少且无界，曲数单调减少且无界，曲线以轴正半轴为渐近线以轴正半轴为渐近线线10 ay1a当时，函数单当时，函数单调增加且无界，曲线以调增加且无界，曲线以轴负半轴为渐近线；轴负半轴为渐近线；y 对数函数和指数函数互对数函数和指数函数互为反函数，它们的图象关于对称为反函数，它们的图象关于对称xyalogxay xy 1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回46/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页指数函数与对数函数互为反函数指数函数与对数函数互为反函数示意图动画演示示意图动画演示以无理数以无理数为底的对数函数为底的对数函数8281718.2e 叫作自然对数函数，简记作叫作自然对数函数，简记作xyelogxyln5.5.三角函数三角函数三角函数的自变量采用弧度制，三角函数的自变量采用弧度制，弧度弧度x1801.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回47/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回48/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页函数的定义域为，值域函数的定义域为，值域，奇函数，以为周期，有界，奇函数，以为周期，有界.xysin),(1,12正弦函数示意图动画演示正弦函数示意图动画演示函数的定义域为，值域函数的定义域为，值域为，偶函数，以为周期，有界为，偶函数，以为周期，有界.xycos),(1,121.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回49/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页余弦函数示意图动画演示余弦函数示意图动画演示，值域为，值域为，奇函数，以为周期，在每一个连续区间内单调奇函数，以为周期，在每一个连续区间内单调增加，以直线为渐近增加，以直线为渐近线线)2,1,0(2 kkx),(),2,1,0(2kkx1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回50/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页xytan函数的定义域为函数的定义域为1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回51/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回52/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页函数函数 的定义域为的定义域为，值域为，奇函数，以为周，值域为，奇函数，以为周期，在每一个连续区间内单调减少，以直线期，在每一个连续区间内单调减少，以直线 为渐近线为渐近线xycot,1,0(kkx),(),2,1,0(kk)2 x1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回53/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页6.6.反三角函数反三角函数，定义域是定义域是,值值域域,是单调是单调增加的奇函数，有增加的奇函数，有界界.1,12,2xyarcsin反正弦函数示意图反正弦函数示意图动画演示动画演示1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回54/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页6.6.反三角函数反三角函数，定义域是定义域是,值域值域,是单是单调减少函数，有界调减少函数，有界.1,1xyarccos反余弦函数示意图反余弦函数示意图动画演示动画演示,01.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回55/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页6.6.反三角函数反三角函数，定，定义域是义域是,值域值域,是单调增加的奇是单调增加的奇函数，有界函数，有界.),()2,2(xyarctan反正切函数示意图反正切函数示意图动画演示动画演示1.1.4 1.1.4 基本初等函数基本初等函数返回返回56/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页6.6.反三角函数反三角函数，定义域是定义域是,值域值域 ,是单调是单调减少的函数，有界减少的函数，有界.,),0(xycotarc反余切函数示意图反余切函数示意图动画演示动画演示1.1.复合函数复合函数定义定义1.71.7设是的函数，设是的函数，是是 的函数如果的值域或其的函数如果的值域或其部分包含在的定义域中，则通过中部分包含在的定义域中，则通过中间变量构成间变量构成 的函数，称为的的函数，称为的复合函数复合函数，记作记作 )(ufy u)(xu)(xu)(ufy yxuuxxy)(xfy，其中，是其中，是自变量自变量，称作称作中间变量中间变量xu1.1.5 1.1.5 复合函数与初等函数复合函数与初等函数返回返回57/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页不是任何两个函数都可以构成一个复合函不是任何两个函数都可以构成一个复合函数，例如和就不能构成数，例如和就不能构成复合函数，因为的值域是复合函数，因为的值域是 ，而的定义域是，前者函数的值而的定义域是，前者函数的值域完全没有被包含在后者函数的定义域中域完全没有被包含在后者函数的定义域中uyln12xxu12xxu0uuyln0u1.1.5 1.1.5 复合函数与初等函数复合函数与初等函数 复合函数不仅可以有一个中间变量，还可复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量以有多个中间变量返回返回58/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页1.1.5 1.1.5 复合函数与初等函数复合函数与初等函数例例1 11 1已知，已知，将表示成的函数将表示成的函数yxuyln24vuxvcos解解)cos4ln()4ln(22xvy返回返回59/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页例例1010 已知，将表示成已知，将表示成 的函数的函数 uy xy523 xu解解 将代入，可得将代入，可得uy523 xu523xy例例1 12 2指出下列复合函数是由哪些简单指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的函数复合而成的(1)(1)；)4sin(3xy(2)(2)xy1cot51.1.5 1.1.5 复合函数与初等函数复合函数与初等函数返回返回60/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页解解(1)(1)设设则由则由，复合而成，复合而成 43 xu)4sin(3xyuysin43 xu(2)(2)设，则；设设，则；设 ，则，所以，可以看成是由则，所以，可以看成是由 ，三个函数复合而成，三个函数复合而成的的xu1cotuy5xv1vucotxy1cot5uy5vucotxv11.1.5 1.1.5 复合函数与初等函数复合函数与初等函数返回返回61/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页2.2.初等函数初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合而成的函数叫做初等函数，及有限次的复合而成的函数叫做初等函数，一般来说，初等函数都可以用一个解析式表一般来说，初等函数都可以用一个解析式表示示1.1.5 1.1.5 复合函数与初等函数复合函数与初等函数返回返回62/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页xxysin1sin1arctan53coslnxy 3arccotexy xxxxyxsec)13(log53232函数函数例如例如，都是初等都是初等1.1.5 1.1.5 复合函数与初等函数复合函数与初等函数返回返回63/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页,132xxxy0,10,00,1xxxy，都不是初等函数都不是初等函数1.1.5 1.1.5 复合函数与初等函数复合函数与初等函数返回返回64/64上一页上一页上一页上一页下一页下一页下一页下一页返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回返 回名师伴你行名师伴你行名师伴你行 函数的函数的基本性质基本性质理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.名师伴你行 1.函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位.2.函数的奇偶性常与函数的单调性、最值等结合考查，是高考考查的热点.3.函数的奇偶性,以选择、填空题居多，且是高考考查的热点，预测明年仍将是考查的热点.1.函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,若 ,则f(x)在区间D上是 ;若 ,则f(x)在区间D上是 .f(x1)f(x2)增函数 减函数 名师伴你行 (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 或 ,那么就说函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,叫做f(x)的单调区间.2.判断函数单调性的方法 (1)定义法:利用定义严格判断.(2)利用函数的运算性质:如若f(x),g(x)为增函数,则 f(x)+g(x)为增函数;为减函数(f(x)0);为增函数(f(x)0);f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0);-f(x)为减函数.增函数 减函数 f(x)f(x)1f(x)f(x)区间D 名师伴你行 (3)利用复合函数关系判断单调性.法则是“”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为 ;若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为 .(4)图象法.(5)奇函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性.同增异减 增函数 减函数 相同 相反 名师伴你行 (6)导数法 若f(x)在某个区间内可导,当f(x)0时,f(x)为 函数;当f(x)0时,f(x)为 函数;若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在该区间上递增时,则f(x)0;当f(x)在该区间上递减时,则f(x)0.3.奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个x,都 有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数.一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个x,都 有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)增 减 名师伴你行 4.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:(1)考查定义域是否关于 ;(2)根据定义域考查表达式 f(-x)是否等于 f(x)或-f(x):若f(-x)=,则f(x)为奇函数;若f(-x)=,则f(x)为偶函数;若f(-x)=且f(-x)=,则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(-x)-f(x)且f(-x)f(x),则f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数.f(x)原点对称 -f(x)f(x)-f(x)名师伴你行 5.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”“相反”）.(2)在公共定义域内,两个奇函数的和是 ,两个奇函数的积是 ;两个偶函数的和、积是 ；一个奇函数，一个偶函数的积是 .奇函数 相同 相反 奇函数 偶函数 偶函数 名师伴你行试讨论函数f(x)=,x(-1,1)的单调性(其中a0).1xax2 名师伴你行名师伴你行【解析】解法一:任取x1,x2(-1,1),且x10,则y=f(x2)-f(x1)-1x1x21,|x1|1,|x2|1,x1-x20,x12-10,x22-10,|x1x2|1,即-1x1x20,0时,y=f(x2)-f(x1)0,此时函数f(x)在(-1,1)上为减函数;当a0,此时函数f(x)在(-1,1)上为增函数.)1x)(1x()1xx)(xx(a1xax1xax21222121211222 )1x)(1x()1xx)(xx(21222121 解法二:a0时,f(x)0,函数f(x)在(-1,1)上为减函数;a0,函数f(x)在(-1,1)上为增函数.2222221)(x)1x(a1)(x2xax-1)a(x)x(f 名师伴你行 对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导数解之.讨论函数f(x)=x+(a0)的单调性.x xa a名师伴你行:显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+)上的单调性,设x1x20,则 当0 x21,则f(x1)-f(x2)0，即 f(x1)x2 时，0 0,即f(x1)f(x2),故f(x)在 ,+)上是增函数.f(x)是奇函数，f(x)分别在(-,-,+)上为增函数；f(x)分别在-,0),(0,上为减函数.).x xx xa a-)(1 1x x-(x x)x xa a(x x-)x xa a(x x2 21 12 21 12 22 21 11 1a2 21 1x xx xa aa2 21 1x xx xa aaaaaaa f(x1)-f(x2)=名师伴你行:由f(x)=1-=0可得x=.当x 时或x0,f(x)分别在 ,+),(-,-上是增函数.同理0 x 或-x0时,f(x)0,得函数的定义域是(0,4).令t=4x-x2,则y=.t=4x-x2=-(x-2)2+4,t=4x-x2的单调减区间是2,4),增区间是(0,2.又y=在(0,+)上是减函数,函数y=的单调减区间是(0,2,单调增区间是2,4).)x x-(4x(4xloglog=y y2 22 21 1t tloglog2 21 1t tloglog2 21 1)x x-(4x(4xloglog2 22 21 1名师伴你行函数f(x)对任意的a,bR,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时,f(x)1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.(1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”，为此,需将右边常数 3 看成某个变量的函数值.名师伴你行(1)证明:设x1,x2R,且x10,f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f(x2)f(x1).即f(x)是R上的增函数.名师伴你行(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3,原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函数,3m2-m-22,解得-1m .故解集为 .3434,1名师伴你行(1)f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性,则f(x1)f(x2)f(x1)-f(x2)0,若函数是增函 数,则f(x1)f(x2)x11时，f(x)0，且f(xy)=f(x)+f(y).（1）求f(1);（2）证明f(x)在定义域上是增函数；（3）如果f（）=-1，求满足不等式f(x)-2 的x的取值范围.31)2 2-x x1 1f f(名师伴你行（1）令x=y=1，得f(1)=2f(1)，故f(1)=0.（2）证明:令y=,得f(1）=f(x)+f（）=0，故f（）=-f(x).任取x1,x2(0,+)，且x11,故f 0，从而f(x2)f(x1).f(x)在(0,+)上是增函数.x1x1x111x12xx12xx)(12xx名师伴你行（3）由于f =-1，而f =-f(3)，故f(3)=1.在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2.又-f（）=f(x-2)，故所给不等式可化为f(x)+f(x-2)f(9)，即fx(x-2)f(9).x0,x-20,x(x-2)9.x的取值范围是1+,+).)31()31(21x解得x1+.1010名师伴你行2010年高考广东卷若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则 ()A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数名师伴你行B 【分析】判断函数奇偶性应分两步:(1)定义域是否关于原点对称;(2)判断f(-x)与f(x)的关系.【解析】f(x)=3x+3-x，f(-x)=3-x+3x.f(x)=f(-x)，即f(x)是偶函数.又g(x)=3x-3-x,g(-x)=3-x-3x.g(x)=-g(-x)，即函数g(x)是奇函数.故应选B.名师伴你行判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称区域,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域 是关于 原点的对称区域,再 判 断 f(-x)是否等于f(x)或判断 f(x)f(-x)是否等于零或判断 (f(-x)0)是否等于1等.(2)图象法:奇(或偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称.(3)性质法:偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域.)x)x)f(f(f(x)f(x)名师伴你行判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=；（2）f(x)=log2(x+)(xR)；x2+x(x0)；（4）f(x)=lg|x-2|.判断函数奇偶性应分两步:（1）定义域是否关于原点对称;（2）判断f(-x)与f(x)的关系.2 22 2x x-1 11 1-x x12 2x x（3）f(x)=名师伴你行【解析】（1）x2-10且1-x20,x=1，即f(x)的定义域是-1,1.f(1)=0,f(-1)=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1)，故f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）已知f(x)的定义域为R，f(-x)=log2-x+=log2 =-log2(x+)=-f(x),f(x)是奇函数.1 1x xx x1 12 21 1x x2 21 1(-x)(-x)2 2名师伴你行 （3）当x0，则 f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)；当x0时,-x0，得x2.f(x)的定义域 x|x2 关于原点不对称，故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.名师伴你行2010年高考江苏卷设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a的值为 .【分析】利用f(x)=f(-x)对任意xR恒成立,解a的值.【解析】因为f(x)是偶函数，所以恒有f(-x)=f(x)，即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立，所以a=-1.名师伴你行对任意x恒成立与解关于x的方程是不一样的,注意区别.设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR),已知g(x)=f(x)-f(x)是奇函数.(1)求b,c的值;(2)求g(x)的单调区间与极值.名师伴你行 (1)f(x)=x3+bx2+cx,f(x)=3x2+2bx+c,从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数,g(0)=0得c=0,由奇函数定义得b=3.(2)由(1)知g(x)=x3-6x,从而g(x)=3x2-6,由此可知,(-,-)和(,+)是函数g(x)的单调递增区间;(-,)是函数g(x)的单调递减区间;g(x)在x=-时,取得极大值,极大值为4 ;g(x)在x=2时,取得极小值,极小值为-4 .2222222名师伴你行函数f(x)的定义域为D=x|x0,且满足对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且f(x)在(0,+)上是增 函数,求x的取值范围.(1)依题设可令x1=x2=1,则可求f(1)的值;(2)令x1=-1,x2=x,即可找到f(-x)与f(x)间的关系,但需求f(-1)的值;(3)充分利用奇、偶函数在其对称区间上的单调性求解.名师伴你行名师伴你行【解析】(1)对于任意x1,x2D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),f(1)=0.(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.21 (3)依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2,f(164)=f(16)+f(4)=3.f(3x+1)+f(2x-6)3,即f(3x+1)(2x-6)f(64).(*)解法一:f(x)为偶函数,f|(3x+1)(2x-6)|f(64).又 f(x)在(0,+)上是增函数,0|(3x+1)(2x-6)|64.解上式得3x5或 x-或 x3.x的取值范围为 x x 或 x3或30 (3x+1)(2x-6)64或 (3x+1)(2x-6)3或x x5 或 x3 xR.3x5或 x 或 x3.x的取值范围为x x 或 x3或30时,f(x)0恒成立,f(3)=-3.(1)证明:函数y=f(x)是R上的减函数;(2)证明:函数y=f(x)是奇函数;(3)试求函数y=f(x)在m,n(m,nZ)上的值域.名师伴你行(1)证明:设x1,x2R,且x10,f(x2-x1)0.f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1).故f(x)是R上的减函数.(2)证明:f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立,可令a=-b=x,则有f(x)+f(-x)=f(0),又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0.从而xR,f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x).故y=f(x)是奇函数.名师伴你行 (3)由于y=f(x)是R上的单调递减函数,y=f(x)在m,n上也是减函数,故f(x)在m,n 上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).由于f(n)=f(1+(n-1)=f(1)+f(n-1)=nf(1),同理f(m)=mf(1).又f(3)=3f(1)=-3,f(1)=-1,f(m)=-m,f(n)=-n.函数y=f(x)在m,n上的值域为-n,-m.名师伴你行已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x).（1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0 x1时，f(x)=x，求使f(x)=-在0,2 009上的所有x的个数.(1)只需证明f(x+T)=f(x),则f(x)即是以T为周期的周期函数;(2)由第(1)问可知只需求 一 个周期中f(x)=-的x的个数便可知在0,2 009 上的x的个数.212121(1)证明:f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数.(2)当0 x1时,f(x)=x,设-1x0,则0-x1,f(-x)=(-x)=-x.f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),-f(x)=-x,即f(x)=x.故f(x)=x(-1x1).又设1x3,则-1x-21,f(x-2)=(x-2).21212121212121名师伴你行又f(x-2)=-f(2-x)=-f(-x)+2)=-f(-x)=-f(x),-f(x)=(x-2),f(x)=-(x-2)(1x3).x (-1x1)-(x-2)(1xb?a:b);main()int a=8;/*定义局部变量a*/printf(%d,max(a,b);/*局部变量a和全局变量b作为函数调用的实参*/运行结果：8第六节 变量的存储类别一、动态存储方式和静态存储方式从变量的作用域（即从空间）角度来分，可以分为全局变量和局部变量。从变量值存在的作时间（即生存期）角度来分，可以分为静态存储方式和动态存储方式 第六节 变量的存储类别静态存储方式：在程序运行期间分配固定的存储空间的方式 动态存储方式：在程序运行期间根据需要进行动态的分配存储空间的方式 第六节 变量的存储类别用户存储空间可以分为三个部分：程序区静态存储区动态存储区 程 序 区静态存储区动态存储区用户区第六节 变量的存储类别静态存储区存储以下数据：全局变量由static声明的静态变量第六节 变量的存储类别动态存储区存储以下数据：函数形式参数自动变量函数调用时的现场保护和返回地址等第六节 变量的存储类别1.auto变量函数中的局部变量如不专门声明为static存储类别则都是动态分配存储空间，这类局部变量称为自动变量，用关键字auto作存储类别的声明第六节 变量的存储类别例如：int f(int a)auto int b,c;关键字auto可以省略，auto不写则隐含定为“自动存储类别”，属于动态存储方式，一般在定义局部变量的时候都省略不写第六节 变量的存储类别main()int x=1;void prt(void);int x=3;prt();printf(“2nd x=%dn”,x);printf(“1st x=%dn”,x);void prt(void)int x=5;printf(“3th x=%dn”,x);第六节 变量的存储类别2.用static声明局部变量 如果希望函数中的局部变量的值在函数调用结束后不消失而保留原值，这时就应该指定局部变量为“静态局部变量”，用关键字static进行声明 第六节 变量的存储类别main()void increment(void);increment();increment();increment();void increment(void)static int x=0;x+;printf(“%dn”,x);main()void increment(void);increment();increment();increment();void increment(void)int x=0;x+;printf(“%dn”,x);第六节 变量的存储类别静态局部变量和动态局部变量的比较：1.静态局部变量属于静态存储类别，在静态存储区内分配存储单元。在程序整个运行期间都不释放。自动变量（即动态局部变量）属于动态存储类别，占动态存储空间，函数调用结束后即释放第六节 变量的存储类别2.静态局部变量在编译时赋初值，即只赋初值一次 对自动变量赋初值是在函数调用时进行，每调用一次函数重新给一次初值，相当于执行一次赋值语句第六节 变量的存储类别3.如果在定义局部变量时不赋初值的话，则对静态局部变量来说，编译时自动赋初值0（对数值型变量）或空字符（对字符变量）对自动变量来说，如果不赋初值则它的值是一个不确定的值程序举例第六节 变量的存储类别程序举例：打印1到5的阶乘值（无需递归）第六节 变量的存储类别3.register变量为了提高效率，C语言允许将局部变量得值放在CPU中的寄存器中，这种变量叫“寄存器变量”，用关键字register作声明，主要用于使用较频繁的变量，节省效率第六节 变量的存储类别在定义register变量时应注意：只有局部自动变量和形式参数可以作为寄存器变量一个计算机系统中的寄存器数目有限，不能定义任意多个寄存器变量局部静态变量不能定义为寄存器变量第六节 变量的存储类别程序举例：使用寄存器变量的打印1到5的阶乘值第六节 变量的存储类别4.用extern声明外部变量外部变量（即全局变量）是在函数的外部定义的，它的作用域为从变量定义处开始，到本程序文件的末尾第六节 变量的存储类别1.如果外部变量不在文件的开头定义，其有效的作用范围只限于定义处到文件终了。如果在定义点之前的函数想引用该外部变量，则应该在引用之前用关键字extern对该变量作“外部变量声明”。表示该变量是一个已经定义的外部变量。有了此声明，就可以从“声明”处起，合法地使用该外部变量第六节 变量的存储类别程序举例第六节 变量
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