概率论与数理统计22

第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量 定义定义 如果随机变量如果随机变量 X 所有可能取的值只有有限所有可能取的值只有有限个 或 可 列 无 限 多 个个 或 可 列 无 限 多 个(即 可 以 和 自 然 数 集即 可 以 和 自 然 数 集,2,1 nN 中的元素中的元素 1-1 对应对应),则称则称 X 为为离散型离散型随机变量随机变量.一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布 ),2,1()(,),2,1(kpxXPpxXkxXkkkkk即即的概率为的概率为取值取值而而所有可能取值为所有可能取值为设离散型随机变量设离散型随机变量定义定义2.1 称为离散型随机变量的称为离散型随机变量的概率分布或分布律概率分布或分布律.分布律还可以简单地表示为：分布律还可以简单地表示为：分布律具有以下性质分布律具有以下性质:，21,0)1(kpk1)2(1 kkpXx1x2xkPp1p2pk.,5,39 的概率分布的概率分布求次品数求次品数件件从中任取从中任取个次品个次品个正品个正品一批零件含有一批零件含有X例例1 解解 X的分布律为的分布律为:3,210512593，kCCCk)P(Xkk 例例2 2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯个信号灯,每个信号灯以每个信号灯以1/21/2的概率允许或禁止的概率允许或禁止汽车通过汽车通过.以以X X表示汽车首次停下时表示汽车首次停下时,它已通过的它已通过的信号灯数信号灯数(设各信号灯的工作是相互独立的设各信号灯的工作是相互独立的),),求求X X的分布律的分布律.解解 以以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易易知知X的分布律为的分布律为X01234Pp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4X01234P0.50.250.1250.06250.0625:2/1 .)1()4(),3,2,1,0(,)1()(4代代入入得得以以或或写写成成公公式式 ppXPkppkXPk例例 3 设设随随机机变变量量 X X 具具有有分分布布律律54321 ,kak,k)P(X 12655151 aakk)P(Xkk15/1 a从从而而)2/52/1(XP)21(XP)2()1(XPXP5/1)15/2()15/1()2()1(XPXP5/1)15/2()15/1().21()2/52/1(XPXPa与与和和概概率率求求常常数数解解 由分布律的性质由分布律的性质,得得1.1.两点分布两点分布(0-1(0-1分布分布)XabPk1-pp如果随机变量如果随机变量X只取两个值只取两个值,就称就称X服从两点分服从两点分布布,一般两点分布取值为一般两点分布取值为a和和b,分布律为分布律为:如果如果a=0,b=1,则称则称X服从服从0-1分布分布,记作记作)10(X例例 1 射手每次射击的成绩在射手每次射击的成绩在 9.5 环以上时被认为射环以上时被认为射击成功击成功.如果每次射击成功的概率为如果每次射击成功的概率为 0.45,令令 否则否则当射击成功当射击成功,0,1X 则随机变量则随机变量 X 服从服从 0-1 分布分布,分布律为分布律为 X01Pk0.550.45X01Pk0.10.6+0.39.0)1(XP取取得得合合格格品品的的概概率率为为 否则否则取得合格品取得合格品,0,1X则则X服从服从0-1分布分布,其分布律为其分布律为解解 令令 例例2 商店里有商店里有10张同类张同类CD片片,其中其中6张为一级品张为一级品,3张张为二级品为二级品,1张为不合格品张为不合格品.顾客购买时任取其中一张顾客购买时任取其中一张,求取得合格品的概率求取得合格品的概率.当取到正品时当取到正品时当取到次品时当取到次品时,1,0)(XX 当取到正品时当取到正品时当取到次品时当取到次品时,0,1)(YY例例3 在在100件产品中件产品中,有有95件正品件正品,5件次品件次品.现从中现从中随机地取一件随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等假如取到每件产品的机会都相等.若定义随机变量若定义随机变量X为为则有则有 P(X=0)=0.05,P(X=1)=0.95若定义随机变量若定义随机变量Y为为则有则有 P(Y=0)=0.95,P(Y=1)=0.05从中看到从中看到X,Y都服从都服从(0-1)分布分布2.超几何分布超几何分布例例4 在在N件产品中件产品中,有有M件次品件次品.现从中随机地取出现从中随机地取出n件件(不放回抽样不放回抽样),假如取到每件产品的机会都相假如取到每件产品的机会都相等等.求取出的求取出的n件产品中次品数件产品中次品数X的分布律的分布律.其中其中(M N,n N)。解解 依题意依题意,的可能取值为的可能取值为,1,2,n,由于从由于从N件中任取件中任取n件件,共有共有 nNC种取法种取法,而而n件中有件中有X=m件件次品的取法共有次品的取法共有,种种mnMNmMCC 因此因此nmmXPnNmnMNmMCCC,2,1,0 ,)(称此分布为称此分布为超几何分布超几何分布,记做记做 H(n,M,N)定义定义 若随机变量若随机变量X的可能取值为的可能取值为0,1,2,n且其分且其分布律为布律为则称则称X服从服从参数为参数为n,p的的二项分布二项分布,记做记做XB(n,p)nkppCkXPknkkn,2,1,0 ,)1()(例例5 从次品率为从次品率为20%的一大批产品中任取的一大批产品中任取5件产件产品品,求次品数求次品数X的分布率的分布率,并求并求P(X3)之值之值.解解 由于产品数量大由于产品数量大,抽取件数少抽取件数少,可视为可视为有放回抽有放回抽样样.因此每取一件产品可看作是一次试验因此每取一件产品可看作是一次试验,这是一个这是一个贝努利概型贝努利概型.次品数次品数X服从二项分布服从二项分布B(5,0.2)5,4,3,210)8.0()2.0(55，kCk)P(Xkkk 99328.000672.01100032.018.00016.051)8.0()2.0()8.0()2.0(1)5()4(1)3(1)3(5555545445 CCXPXPXPXP例例6 一办公室内有一办公室内有8台计算机台计算机,在任一时刻每台计算在任一时刻每台计算机被使用的概率为机被使用的概率为0.6,计算机是否被使用相互独立计算机是否被使用相互独立,问在同一时刻问在同一时刻:(1)恰有恰有3台计算机被使用的概率是多少台计算机被使用的概率是多少?(2)至多有至多有2台计算机被使用的概率是多少台计算机被使用的概率是多少?(3)至少有至少有2台计算机被使用的概率是多少台计算机被使用的概率是多少?解解 设为在同一时刻设为在同一时刻8台计算机中被使用的台数台计算机中被使用的台数,则则XB(8,0.6),于是于是1239.04.06.0)3()1(5338 CXP)2()1()0()2()2(888PPPXP 622871880084.06.04.06.04.06.0 CCC0498.0)1()0(1)2()3(88PPXP 71880084.06.04.06.01 CC9915.0 X012345678P0.00070.00790.04130.12390.23220.27870.20900.08960.0168当当k从从0增加时增加时,概率概率P(X=k)经历了一个从小到大经历了一个从小到大,又从又从大变小的过程大变小的过程,事件事件“X=5”发生的概率最大发生的概率最大,我们称之我们称之为为最可能事件最可能事件,“5次次”为为最可能次数最可能次数.一般地一般地,若若XB(n,p),则当则当(n+1)p是整数时是整数时,X有两个有两个最最可能次数可能次数(n+1)p及及(n+1)p-1;当当(n+1)p不是整数时不是整数时,最可能次数最可能次数为为(n+1)p(即即(n+1)p的整数部分的整数部分).，否否则则发发生生次次试试验验中中，第第01AiXini,2,1 则每一个则每一个iX都服从都服从 0-1 分布分布,且有相同的分布律且有相同的分布律 X01Pi1-ppni,2,1 由于贝努里试验是由于贝努里试验是n次相互独立的重复试验次相互独立的重复试验,每每次试验只有两个可能结果次试验只有两个可能结果,即事件即事件A发生或者不发生发生或者不发生,如果令如果令n 次贝努里试验中次贝努里试验中 A 发生的次数发生的次数 nXXXX 21即即二项分布随机变量可以分解成二项分布随机变量可以分解成n个个0-1分布随机变分布随机变量之和量之和,而且这而且这n个随机变量的取值互不影响个随机变量的取值互不影响.反之反之,n个取值互不影响的个取值互不影响的0-1分布随机变量之和服从二项分布随机变量之和服从二项分布分布.xnxxnnNxnMNxMqpCCCC .1,/pqNMp 其中其中,2,1,0,!)(kekkXPk 定义定义 如果随机变量如果随机变量X所有可能取值为所有可能取值为0,1,2,3,而取各个值的概率为而取各个值的概率为其中其中0为常数为常数,则称则称X服从服从参数参数为为的的泊松分布泊松分布,记做记做XP().,1,0 ,0)(kkXP1!)(000 eekeekkXPkkkkk易知易知泊松分布在实际中具有十分广泛的应用泊松分布在实际中具有十分广泛的应用,例如电话交例如电话交换台在一个时间间隔内收到的电话换台在一个时间间隔内收到的电话呼唤次数呼唤次数,某车辆某车辆收费站每天过往收费站每天过往车辆的台数车辆的台数,车站某时段车站某时段候车人数候车人数及及购物中心来往购物中心来往顾客的人数顾客的人数,在一个时间间隔内某种放在一个时间间隔内某种放射性物质发出的射性物质发出的,经过计数器的经过计数器的粒子数粒子数等都服从泊松等都服从泊松分布分布.泊松分布也是概率论中的一种重要分布泊松分布也是概率论中的一种重要分布.)1()0(1)2(XPXPXP9826.0!16!061660 ee例例7 统计资料表明某路口每天经过某特种车辆的次统计资料表明某路口每天经过某特种车辆的次数服从参数为数服从参数为6的泊松分布的泊松分布,求该路口一天内至少经求该路口一天内至少经过两次特种车的概率过两次特种车的概率.解解 设该路口每天经过特种车的次数为设该路口每天经过特种车的次数为X,由题设由题设,XP(6),因此因此,所求概率为所求概率为即该路口一天内至少经过两次特种车的概率为即该路口一天内至少经过两次特种车的概率为 0.9826解解 (1)3(XP53!35 e1404.0 例例8 8 某种商品日销量某种商品日销量XP(5),求以下事件的概求以下事件的概率率 (1)(1)日销日销3 3件的概率件的概率;(2)(2)日销量不超过日销量不超过1010件的概率件的概率;(3)(3)在已售出在已售出1 1件的条件下件的条件下,求当日至少售求当日至少售出出3 3件的概率件的概率.(2)511!51)10(1)10(ekXPXPkk986305.0013695.01 (3)1()3()1()1()3()13(XPXPXPXXPXXP881286.0993262.0875348.0!5/!51535 kkkkekek 例例8 8 某种商品日销量某种商品日销量XP(5),求以下事件的概求以下事件的概率率 (1)(1)日销日销3 3件的概率件的概率;(2)(2)日销量不超过日销量不超过1010件的概率件的概率;(3)(3)在已售出在已售出1 1件的条件下件的条件下,求当日至少售求当日至少售出出3 3件的概率件的概率.,2,1,0 ,!lim)(lim kekqpCkXPkknnknknnnn .1nnpq 其中其中 二项分布的计算比较复杂二项分布的计算比较复杂.如果如果XB(n,p),当当n10,p0.3时时,可利用泊松定理作近似计算可利用泊松定理作近似计算.且且设设),2,1(),(nPnBXnn泊松定理泊松定理则则,0,lim nnnp)(kXPn 证明证明knnknknqpC nnnpknknknkknnnnnqnp)1(1!)1()2)(1(nnnpknknknknnnqnp)1()1()1)(1(!1121 ekkkk)01()01()01)(01(!1)()1(有有限限个个 ekk!证毕证毕例例9 设某人每次射击的命中率为设某人每次射击的命中率为0.98.独立射击独立射击300次次,试求至少有试求至少有5次未击中的概率次未击中的概率.解解 将每次射击看成一次试验将每次射击看成一次试验.设未击中的次数为设未击中的次数为X,则则XB(300,0.02).其分布率为其分布率为)5(1)5(XPXP64040!61)(1 ekkXPkkk6)2412966216236161(1 e 715.00024787752.01151 300,2,1,0 ,)98.0()02.0()(300300 kCkXPkkk至少有至少有5次未击中的概率次未击中的概率(0.71765)例例10 某地有某地有2500人参加某种人寿保险人参加某种人寿保险,每人在年每人在年初向保险公司交付保险金初向保险公司交付保险金200元元,若在一年内投保若在一年内投保人死亡人死亡,则由其家属从保险公司领取则由其家属从保险公司领取5万元万元,设该类设该类投保人死亡率为投保人死亡率为0.2%,求保险公司获利不少于求保险公司获利不少于10万万元的概率元的概率.解解 设设X为投保人中一年内的死亡人数为投保人中一年内的死亡人数,由题设知由题设知XB(2500,0.002).若投保人中有若投保人中有X人死亡人死亡,则保险公则保险公司将付出司将付出50000X元元,而这一年保险公司收入为而这一年保险公司收入为XX50000500000500002500200 元元,所求概率为所求概率为)8()10000050000500000(XPXP002.0250080!)002.02500(ekkkkkkkC 2500802500)998.0()002.0(59!51 ekkk931906.0068094.01 22.00175.0!2.02kkkeXP例例11 有有80台同类型设备台同类型设备,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发发生故障的概率都是生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障由一人处且一台设备的故障由一人处理理.考虑两种配备维修工人的方法考虑两种配备维修工人的方法:一是由一是由4人维护人维护,每人每人负责负责20台台;二是由二是由三人共同维护三人共同维护80台台.试比较这两种方试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.即有即有 PA1+A2+A3+A4 0.0175 解解 按第一种方法按第一种方法.以以X记记“第第1人维护的人维护的20台中同一台中同一时刻发生故障的台数时刻发生故障的台数”,以事件以事件Ai=第第i人维护的人维护的20台台中发生故障不能及时维修中发生故障不能及时维修(i=1,2,3,4),则知则知80台中发台中发生故障不能及时维修的概率为生故障不能及时维修的概率为 PA1+A2+A3+A4PA1=PX2 而而XB(20,0.01),这时这时=np=0.2,故有故有 解解 按第二种方法按第二种方法.以以Y记记80台中在同一时刻发和故台中在同一时刻发和故障的台数障的台数.此时此时Y B(80,0.01),=np=0.8,故故80台中发台中发生故障不能及时维修的概率为生故障不能及时维修的概率为 48.00091.0!8.04kkkeYP所以第二种方法较第一种方法而言所以第二种方法较第一种方法而言,不仅节约了人力不仅节约了人力,而且设备发生故障时不能及时维修的概率要小得多而且设备发生故障时不能及时维修的概率要小得多.例例11 有有80台同类型设备台同类型设备,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发发生故障的概率都是生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障由一人处且一台设备的故障由一人处理理.考虑两种配备维修工人的方法考虑两种配备维修工人的方法:一是由一是由4人维护人维护,每人每人负责负责20台台;二是由二是由三人共同维护三人共同维护80台台.试试比较比较这两种方这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小概率的大小.