常见的几何体计算公式

常见几何体的面积、体积求法与应用要计算某材料的密度、重量，研究某物体性能及其物质结构等，特别 对于机械专业的学生，必须要求工件的面积、体积等，若按课本上公式来 计算，而课本上公式不统一，不好记住，并且很繁杂，应用时要找公式， 对号入座很麻烦。笔者在教学与实践中总结出一种计算常见几何体的面积、 体积方法。其公式统一，容易记住，且计算简单。对技校学生来说，排除 大部分繁琐的概念、定理，以及公式的推导应用等。由统计学中的用加权平均数对估计未来很准确。比如，估计某商品下 个月销售量，若去年平均销售量为y,设本月权为4,上月权数为1,下月 权数为1,各月权数分别乘销售量相加后除以6等于y。这样能准确地确定 下个月销售量。能不能以这种思想方法用到求几何体的面积、体积呢？通 过推导与实践,对于常见的几何体确实可用这种方法来求得其面积、体积。 下面分别说明求常见几何体的面积、体积统一公式的正确性与可用性。常见几何体的面积、体积统一公式：A = 0(C + 4C + C )6 0 1 2V = (S + 4S + S )6 0 1 2(其中A为几何体侧面积，C为上底面周长，C为中间横截面周长，C0 1 2为下底面周长，V为几何体体积，S为上底面面积，S为中间横截面面积， S为下底面面积，h为高，h为斜高或母线长。注：中1间横截面为上、下底 20等距离的截面。)一、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的面积 、体积用统一公式 的正确性1 、棱柱：据棱柱上底周长、下底周长、中间横截面周长相等，即C =C = C，012可得：Sy + 4C +C)= h o . 6 C = hC，这与课本中的棱柱侧面积公式等同。6 0 1 2 6 2 0 2以下每个几何体都能推得与课本中相应公式等同,说明这统一公式的 正确性。据棱柱上底面、下底面、中间横截面相等，可知：S = S = s，即：012V =(S + 4 S + S ) =(S + 4 S + S ) = S h 6 0 1 2 6 2 2 2 22、棱锥设底边长为a，边数为n斜高为h，侧面三角形中位线为a，则2 0 1a=1 a221。=C 22hA = f (C60+ 4 C + C )12h11=(0 + 4 C + C ) = C h6 2 2 2 2 2 0设正棱锥底面 n 边形中心点与边分割成 n 块三角形，相应对应中间横截面也分割成n块三角形，而每块对应三角形底边1=a22，且高也为一半，即 h = 1 h22n111na h = a h =22222422 21 S 42a=1h=(S60+ 4 S + S )123、棱台 设上底面边长为h1=(0 + 4 S642hS32a0，中间横截面边长为a1，下底面边长为a2，1(a201=(C20h.A = f (C6设正棱台h为上底面中点与边所分割成三角形的高,h1+ 4 C + C )=壮 C + 4 (C + C ) + C 1 2 6 0 2 0 2 2h(3C + 3C )6 0 2hL(C2为中间横截面相应分割成三角形的高， h 为下底面相应分割成三角形的高，则即 a h =20h0h2a0a2.S1ah021 n 1=na h = _ (a2 1 1 2201+ a ) (h + h )2 2 0 2n=(a h + a h + a h + a h )8 0 0 0 2 2 0 2 2hV =(S + 4 S6 0 1h-S60h -S 60h(2 S60h(S + S30h(S30h(S30S 2)=h00注：hnS + 4 -(a h6 0 8 0 0n+ 2S + 2 a h )2 2 2 0+ a h + a h + a h ) + S 0 2 2 0 2 2 2h + S 2 2 2n+ a h )2 2 0,nna h a h)/ 2 2 0 2 2 0,nna h a h) f 2 0 0 2 2 2h:(S + S + *S S )30202以上几何体若底边长不相等时，同理可推得。02例：已知正四棱台容器量得斜高为1.3m,上、下底面边长分别为0.8m 和1.8m，求容器能盛多少水？解：1.8 - 0.8-( )22=1.2,1=(0.8 + 1.8) = 1.321.2(0.82 + 4 x 1.32 + 1.82)=6则容器能盛2.128吨水。4、圆柱hV =(S60+ 4 S + S )122.128 m3 = 2.128 吨设母线长为 h ，上底面半径为 r ，00径为 r ，则 r =r =r1 0 1 2下底面半径长为 r ，中间横截面半2hhhA = f (C+ 4C + C ) =(2兀r+ 4 - 2兀r+2兀r) =(2兀r+ 8兀r+2兀r) =2兀rh6 0 1 2 6 0 1 2 6 2 2 2 2 0hhhhV =(S + 4S + S )=(冗r2 + 4冗r2 +冗r 2)=(冗r2 +4冗r2 +冗r 2) =- 6冗r2 =冗r 2h6 0 1 2 6 0 1 2 6 2 2 2 6 2 25、圆锥若母线长为 h ，底半径为 r ，中间横截面半径为 r0 2 11r22hhh1hA = o(C + 4 C + C)= 0(0 + 4 - 2兀r+2 兀 r )=0(0 + 8 兀- r +2 兀 r )=06兀r =兀r h60 1 26126222622hhh1hV =(S+ 4 S + S )=(0 +4兀r 2 +兀r 2)(0 +4冗(r )2+ 冗 r 2)=(冗 r2+兀r 2)60 1 261262226221h1=2 兀 r 2 = 兀 r 2 h623 26、圆台 若母线长为h，高为h，上底面半径为r 00 面半径为r2,则r =丄（r+ r ）。2 1 2 0 2中间横截面半径为 r ，下底hA = f(C + 4C + C )=6 0 1 2hF(2冗r + 4 - 2冗r + 2冗r )6 0 1 2h1=-2兀r + 4 - 2兀 (r + r ) + 2兀r 6 0 2 0 2 260022hh=f (2 兀 r +2 兀 r )=（C+ C )202202hhV = 一 (S + 4 S+S )=(冗r 2+ 4 冗 r 26012601h=(兀 r 2+兀r2 + 2 冗 rr +冗r2 + 冗 r 26000222h=(2 冗 r2 + 2 冗 r r + 2 冗 r 2)60022h=(冗 r 2+冗r12 + 冗 r2 冗r 2)30202h=(2兀r + 4兀r + 4兀r + 2兀r )h1+ 兀 r 2)二=冗 r 2 + 4冗(r + r )2 + 冗r 2 2604 0 2 2)y = ax + b 在 x e 0,h的曲边梯形面积为：A = jh (ax + b) dx =而这时 f (0),y1y + 4 y01x2a + bx2f (),2ha + b,2a=h2 + bh20f (h)分别为y = ah + b2y0,h=b + 4(a + b) + ah + b =2得 hA =(y + y + y )6 0 1 2设二次函数y = ax 2 + bx + c 在 x eA = jh (ax 2 + bx + c) dx =0x3 x2a + b + cx32h=(2ah 2 + 3bh + 6c)(1)6由 f (0),hf (),2f (h)分别为y0,y,ay = h214h=(3 ah + 6 b)6y1 , y 22 b + 2 ah + 4 b + ah(1)=3ah + 6b，代入(1), h 上的曲边梯形面积为:h h3 h2ab=a + b + ch = h (h2 + h + c)32320y2y = ah 2 + bh + c2h-=(S + S + ：S - S )30202例：某圆台工件量得大头直径为36 毫米，小头直径为24毫米，长为180 毫米，求体积。解： r = 12, r = 18, r = -(12 + 18) = 15, h = 1800 2 1 2180V =(冗 12 2 + 4 冗-15 2 + 冗 18 2) = 41040 冗=41.04冗厘米 36二、常见曲线围成面积与旋转体体积1、一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成面积可用hA = (y + 4 y + y )6 0 1 2设一次函数ab=c + 4(h2 +h + c) + ah 2 + bh + c42设三次函数：6 0 1 2 y = ax 3 + bx 2 + cx + e在x e 0, h的曲边梯形面积为：=2 c + ah 2 + 2 bh + 4 c + ah 2 + bh = 2 ah 2 + 3bh + 6 cA =(y + 4 y + y )hA=hJ (ax 3 + bx 2 + cx + e) dx =0x4x3x2a + b + c + ex432h4h3h2a + b + c + eh432(1)abch 3h ( h3 + h2 + h + e)=(ah3 + 2 bh 2 + 3 ch + 6 e)4326 2y1 =y = ah 3 + bh 2 + ch + e2y + 4 y + y01h3h2=e + 4( a+ b +84h+ e) + ah 3 + bh 2 + ch +2代入(1)可得：a=e + h3 + bh 2 + 2 ch + 4 e + ah 3 + bh 2 + ch + e2hA = (y + 4 y + y )6 0 1 23，=h3 + 2 bh 2 + 3 ch + 6 e ， 2综上所述，可得出一个结论：对于任何是由一次函数、二次函数、三次函数的曲线所围成的面积都可用：A = h(y+ y + y)。6 0 1 2例：求 f (x) = x2 + 2x + 1与 o (x) = x3 + 1, x “0,2所围成的面积。 解y = f(0)-o(0) = 0, y = f e二 2, y = f(2)-o(2)= 0 0 1 228面积 A =(0 + 4 x 2 + 0)=632、球、球缺、椭球、抛物面等几何体体积可用：V = h (S + 4S + S)6 0 1 2在所有旋转体要求体积时，若被积函数为一次函数、二次函数、三次函数据对前面推导可知，其体积都可用V = h(S + 4 S + S)。6 0 1 2 如:球半径为R时，球的体积为V =込(0 + 4 k R 2 + 0) = 4 K R 363 例：求f (x)八x3 + 2 x + 5, x e 0,2绕X轴旋转所成几何体体积。 解：x = 0时 S = k - f2 (0) = 5k0x = 1 时 S = k - f2 (1) = 8 兀1x = 2时 S = k - f 2(2) = 17兀2例：求体积解：2V =(5k + 4 x 8k + 17 k ) = 18 k6已知抛物面形水池，上口直径为2.j2 m，中间直径为2m，深为4m,V = ( i；2)2 x 冗 + 4 x I2 x 冗 + 0 = x 6冗=4冗m3 63例：椭球型汽油罐，长为8m，宽为6m，高为6m，求体积。解： 8V =(0 + 4 x 32 xk+ 0) = 48Km36总而言之，求常见几何体的面积、体积时，所用公式统一，只要记住“头尾量与中间量4倍的和再与头尾距离1的积”且公式中所需要的数据6在实际中很容易得到，因此笔者认为很实用。