第8章 向量自回归模型本科讲稿

第8章 VAR 模型与协整1980 年 Sims 提出向量自回归模型( vector autoregressive model)。这种模型采用多方程联立 的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个 方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值 进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。8.1向量自回归(VAR)模型定义8.1.1 模型定义1)两个变量滞后 1 期的 VARVAR 模型是自回归模型的联立形式 ，所以称向量 自回归模型。假设ylt，y2t之间存在关系，如果分别 建立两个自回归模型y1,t =f (y1, t-1, y1, t-2, )y2,t =f (y2, t-1, y2, t-2, )则无法捕捉两个变量之间的关系。如果采用联立的 形式，就可以建立起两个变量之间的关系。 VAR 模 型的结构与两个参数有关。一个是所含变量个数 N 一个是最大滞后阶数 k。以两个变量y，滞后1期的VAR模型为例, yi, t = C1 + 兀11.1 yi, t-1 + 兀 12.1 y2, t-1 + U11y2, t = C2 + 兀21.1 yi, t-1 + 兀221 y2, t-1 + U21(8.1)其中 u1, u2 厂 IID (0, a 2), Cov(u1 严21) = 0。写成矩阵形式是，y1t2t兀11.1兀21.1=y,c =c1Ly2tL c 2Yty i,+u1tL y 2,t-1 _L u 2t兀12.1兀22.1兀11.1兀21.1兀12.1兀22 .1(8.2),utu1tu2tY = c + 口 1Y-1 + 叫(83)2) N 个变量滞后 k 期的 VAR 模型含有 N 个变量滞后 k 期的 VAR 模型表示如下：Yt=c+口 1Y-1+口 2 Y-2+口 kYk +u IID (0, Q)(8.4)t其中，11.j12.j1N.j21.j22.j2N.jj = 1, 2,kLN1. jYt为N1阶时间序列列向量。C为N1阶常数项列向量。口,比均为NN阶参数矩阵,u厂IID （0, G）是Nx 1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的 随机误差项之间可能存在相关。因 VAR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量 的滞后项，他们与u是渐近不相关的，所以可以用OLS 法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都 具有一致性。3）估计 VAR 的 EViews 4.1 操作打开工作文件，点击 Quick 键, 选 Estimate VAR 功能。作相应选项后，即可得到 VAR 的表格式输出方式。在 VAR 模型估计结果窗口点击 View 选representation 功能可得到 VAR 的代数式输出结 果。8.1.2 VAR 模型的特点是：（1）不以严格的经济理论为依据。在建模过程 中只需明确两件事：共有哪些变量是相互有关系 的，把有关系的变量包括在VAR模型中；确定 滞后期使模型能反映出变量间相互影响的绝大 部分。（2）VAR模型对参数不施加零约束。（对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除，不分析回归参数的经济意义。）3）VAR 模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在 VAR 模型 中都不存在（主要是参数估计量的非一致性问题）。（ 4） VAR 模型的另一个特点是有相当多的参数 需要估计。比如一个 VAR 模型含有三个变量，最 大滞后期 k = 3，则有 k N 2 = 3 32 = 27 个参数需要 估计。当样本容量较小时，多数参数的估计量误差 较大。（ 5）无约束 VAR 模型的应用之一是预测。由于 在VAR模型中每个方程的右侧都不含有当期变量, 这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解（6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。 做样本外长期预测时,则只能预测出变动的趋势, 而对短期波动预测不理想。西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关 系的变量,也可以作为外生变量加入 VAR 模型。附录：( file:B8c1 )VAR模型静态预测的EViews操作：点击Procs 选Make Model功能。点击Solve。在出现的对话框 的 Solution option （求解选择）中选择Static solution （静态解）。VAR模型动态预测的EViews操作：点击Procs 选Make Model功能（工作文件中如果已经有 Model,则直接双击Model）。点击Solve。在出现 的对话框的Solution option （求解选择）中选择 Dynamic solution （静态解） 。注意：Model窗口中的第一行，“ ASSIGNALL F”表示模拟结果保存在原序列名后加F的新序列中，以免原序列中的数据被覆盖掉。静态预测的效果非常好。动态预测的表现是前若干期预测值很接近真值，以后则只能准确预测变 化的总趋势，而对动态的变化特征预测效果较差。综上所述，用VAR做样本外动态预测1, 2期则预测效果肯定是非常好的。8.2 VAR 模型稳定的条件VAR 模型稳定的充分与必要条件是 （1 见 （8.3） 式）的所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为 实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为 1 的圆称为单位圆)，或特征值的模都 要小于 1。1.先回顾单方程情形。以AR(2)过程X = *1 儿-1 + *2 儿-2 + 叫(11)为例。改写为(1-* L - *2 L 2) yt =(L) yt = ut (8yt稳定的条件是(L) = 0的根必须在单位圆以外。 2对于 VAR 模型，也用特征方程判别稳定性。以(83)式，Yt = c + n1 Yt-1 + ut，为例，改写为 (I - n 1L) Yt = c + 叫(8.13)ACI保持VAR模型稳定的条件是11 - 口上I = 0的根都 在单位圆以外。11 -n1Li = 0在此称作相反的特征 方程( reverse characteristic function)。 (第 2 章称 特征方程)以二变量(N = 2), k = 1的VAR模型其中口 1程是y it-y 21 -5/81/4= 5 / 8 1/ 21/45/8y i, t -1+y 2,t-1 u1tu21(8.14)1/2 5/8为例分析稳定性。相反的特征方例 8.110 (5 / 8)L(1/2) L 01_ (1/4) L(5/8) LIZ -口 上 I = (1- (5/8) L)2 - 1/8 L2= (1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0(8.15)求解得L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.6901 2因为 L 1，L 2 都大于 1，所以对应的 VAR 模型是稳 定的。3VAR 模型稳定的另一种判别条件是， 特征方程I口-九I I = 0的根都在单位圆以内。特征方程 I n 1-入11 = 0的根就是口的特征值。例 8.2 仍以 VAR 模型(8.14) 为例，特征方程表达如下：5/81/2九 0 I n 1-九 1 I =1/45 /80 九5/8 九 1/2= =01/45/8 九即(5/8 -九 p - 1/8 = (5/8 -心-市=(0.978 -九)(0.271 -九)=0(8.16)得 人=0.9786,人=0.2714 入、是特征方程I 口 11 2 1 2 1-九I I = 0的根，是参数矩阵口的特征值。因为九=0.978,九2 = 0.271,都小于1,该VAR模型是稳定的。 注意：(1)因为 L1=1/0.978 =1A, L2 =1/0.27=1/九2，所 以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数， L = 1/九。( 2)在单方程模型中，通常用相反的特征方程(L) = 0的根描述模型的稳定性，即单变量过程稳 定的条件是(相反的)特征方程(L) = 0的根都要在单位圆以外；而在 VAR 模型中通常用特征方程I n 1-九i I = 0的根描述模型的稳定性。var模型稳定的条件是，特征方程I n1-九I I =0的根都要在单位圆以内，或相反的特征方程11-L n1 I = 0 的根都要在单位圆以外。4对于 k1 的 k 阶 VAR 模型可以通过 友矩阵变书(companion form)，改写成1阶分块矩阵的VAR模型形式。然后利用其特征方程的根判别稳定性。具体变换过程如下。给出 k 阶 VAR 模型Yt =c+ n1Yt-1 + n2 Yt-2 + + nkYt-k +ut(8.17)再配上如下等式，t-1t-1Yt-2 =Yt-2Yt-k+1 =Yt-k+1把以上 k 个等式写成分块矩阵形式，Y cnnnnYut12k-1kt-1tYt-1=0+I000Yt 2+0Y0oI00Y0t - 2t 3Y0o0I0Y01 t k +1NK x1NK x NKtkNK x1NK x1NK xl(8.18)其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。令Yt = (Yt-1 C = (ct-k+1) NKx1Y Yt-2 00 0) NKx1NKx1nk -100nk00NK x NKUt = (ut上式可写为0 0) NKx1Yt = C + A Yt -1 + Ut（8.19）注意，用友矩阵变换的矩阵（向量）用正黑体 字母表示。 k 阶 VAR 模型用友矩阵表示成了 1 阶分 块矩阵的 VAR 模型。例如，2 变量 2 阶 VAR 模型的友矩阵变换形式 是u+t0口 口Y (8.20)其中等式的每一个元素（项）都表示一个4x1阶向 量或4x4阶矩阵。例如，2 变量 3 阶 VAR 模型的友矩阵变换形式 是Y tc口1口2口 3Y 一t1utYt -1=0+I00Yt 2+0(8.21)YL t 200I0Yt30其中等式的每一个元素（项）都表示一个 6x1 阶向 量或 6x6 阶矩阵。VAR 模型的稳定性要求 A 的全部特征值，即特征方程I A-入II = 0的全部根必须在单位圆以内 或者相反的特征方程 | I - L A| = 0 的全部根必须在 单位圆以外。注意：特征方程中的 A 是 NkxNk 阶的。特征方程中的I也是NkxNk阶的。以 2 阶 VAR 模型的友矩阵变换为例| I - AL| =I00II 口 L 口 L1 2ILI=11 - ni L - n2 L2 I = 0 (8.22)12的全部根必须在单位圆以外。口 口 口123I 00 L以 3 阶 VAR 模型的友矩阵变换为例，I00I I -AL|=0I000II 口 L 口 L 口 L123ILI00 ILI=11- 口 L - 口2 L2-口3 L3| = 0 (8.23)的全部根必须在单位圆以外。因此，对于 k 阶 VAR 模型的友矩阵变换形式特征方程是，I I - n 1 L - 口2 L 2 -n, L k I = 0 (8.24)12k附录：求VAR模型特征根的EViews 4.1操作：在VAR模型估计结果窗口点击View选Lag Structrure,AR Roots Table功能，即可得到VAR模型的全部特征根。若选 Lag Structrure, AR Roots Graph 功能,即可得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根的位置图。VAR Stability Condition CheckRoots of Characteristic Polynomial Endogenous variables: LNGP LNCP LNIP Exogenous variables: CLag specification: 1 3Date: 05/16/05 Time: 22:23RootModulus1.0154971.0154970.466948 - 0.673264i0.8193440.466948 +0.673264i0.8193440.8057360.805736-0.220604 - 0.488752i0.536232-0.220604 +0.488752i0.5362320.4401940.4401940.158844 - 0.22935210.2789870.158844 +0.229352i0.278987Warning: At least one root outside the unit circle VAR does not satisfy the stability condition.Inverse Roots of AR Characteristic PolynomialVAR Stability Condition CheckRoots of Characteristic Polynomial Endogenous variables: PHO QHO NHO Exogenous variables: CLag specification: 1 8Date: 05/16/05 Time: 22:19RootModulus0.041175 - 0.491343i0.9741630.041175 +0.491343i0.9741630.9659120.9659120.9446240.9446240.414863 +0.793512i0.0954100.414863 - 0.793512i0.095410-0.768707 +0.432418i0.082054-0.768707 - 0.432418i0.0820540.115255 +0.817329i0.0254150.115255 - 0.817329i0.025415-0.462531 - 0.662775i0.008211-0.462531 +0.662775i0.008211-0.146717 - 0.785193i0.798703-0.146717 +O.705193i0.7987030.692431 - 0.387520i0.7934940.692431 +O.30752Oi0.7934940.755603 - 0.227275i0.7891210.755603 +0.227275i0.789121-0.764310 +0.106167i0.771657-0.764310 - 0.106167i0.7716570.090502 + 0.507231i0.5941760.090502 - 0.587231 i0.594176-0.419544 +0.375699i0.563176-0.419544 - 0.375699i0.563176No root lies outside the unit circle.VAR satisfies the stability conditionInverse Roots of AR Characteristic Polynomial8.3 VAR模型的稳定性(stability)特征现在讨论 VAR 模型的稳定性特征。稳定性是指 当把一个脉动冲击施加在 VAR 模型中某一个方程的新息(innovation)过程上时，随着时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。如果是不消失，则系统是不稳定的。面分析一阶 VAR 模型Y=c+ n 1 Yt-1 + 叫(829)为例。当 t = 1 时，有Y1 =c + n1Y0 +u1(8.30)当 t = 2 时，采用迭代方式计算，Y2 =c + n1Y1 +u2 =c + n1(c + n1Y0 +u1) +u2 =(I + n 1) c + n12 Y0 + nx u1 + u2(8.31)当 t = 3 时，进一步迭代，Y3 =c + n1Y2 +u331 23=c + n1(I+ n1) c + n12Y0 + n1u1 +u2 +u3 = (I+n1 +n12) c +n13 Y0 +n12u1 +n1u2 +u3(8.32)对于 t 期，按上述形式推导y =(z+n +n2+ t-i)c +n tY + m n i u .t1111 01 t-ii=o(8.33)由上式可知，口o = I。通过上述变换，把 y表示成了漂移项向量卩、初始值向量Y0和新息向量ut 的函数。可见系统是否稳定可以通过观察漂移项 向量c、初始值向量Y0和新息向量ut经受冲击后的 表现。假定模型是稳定的，将有如下 3 个结论。1)假设 t = 1 时，对 c 施加一个单位的冲击，那么到 t 期的影响是(i+n + 口2 + +n 严)当t T8时，此影响是一个有限值，(i - ni)-1。 (2)假设在初始值 Y0 上施加一个单位的冲击。到 t期的影响是n,。随着t 8，nT o，影响消失 (因为对于平稳的 VAR 模型， n1 中的元素小于 1 所以随着t T8，取t次方后，nJT 0)。1i ut-i 项可以看出，白噪声中的冲击离1 t-it期越远，影响力就越小。f n i = (I - n 1) -1，称作长 11期乘子矩阵，是对宀i = 0i ut-i 求期望得到的。t-i对单一方程的分析知道，含有单位根的自回归 过程对新息中的脉动冲击有长久的记忆能力。同 理，含有单位根的 VAR 模型也是非平稳过程。当 新息中存在脉动冲击时，VAR模型中内生变量的响 应不会随时间的推移而消失。平稳变量构成的一定是稳定（stability）的模型, 但稳定的模型不一定由平稳变量构成。也可能由非 平稳（nonstationary）变量（存在协整关系）构成。8.4 VAR 模型滞后期 k 的选择建立 VAR 模型除了要满足平稳性条件外，还应 该正确确定滞后期肌如果滞后期太少，误差项的 自相关会很严重，并导致参数的非一致性估计。正 如在第 4 章介绍 ADF 检验的原理一样，在 VAR 模 型中适当加大 k 值（增加滞后变量个数），可以消 除误差项中存在的自相关。但从另一方面看， k 值 又不宜过大。 k 值过大会导致自由度减小，直接影 响模型参数估计量的有效性。下面介绍几种选择 k值的方法。1）用LR统计量选择k值。LR （似然比）统计量 定义为，M = - 2 （fOg L（k）- lOg L（k+i）2（n 2）（834）其 中 log L(k) 和 log L(k+1) 分 别是 VAR(k) 和VAR依+1)模型的极大似然估计值。k表示VAR模型中滞后变量的最大滞后期。 LR 统计量渐近服从z 2(n2)分布。显然当VAR模型滞后期的增加不会给(N2)极大似然函数值带来显着性增大时，即 LR 统计量 的值小于临界值时，新增加的滞后变量对 VAR 模 型毫无意义。应该注意，当样本容量与被估参数个 数相比不够充分大时，LR的有限样本分布与LR渐 近分布存在很大差异。2)用赤池(Akaike)信息准则(A 选择k2k+ T(8.34)fy T U 2、AIC = log I tj_L-V T丿其中u表示残差，T表示样本容量，k表示最大滞 t后期。选择 k 值的原则是在增加 k 值的过程中使 AIC的值达到最小。2k+ TEViews 3.0 的计算公式是AIC 二-2 loglog L 丿3)用施瓦茨(Schwartz)准则(SC)选择k值。SC = log(y T 八 2 乙 U 2t1 tTV丿+ klogTT(8.35)其中 表示残差，T表示样本容量，k表示最大滞后 期。选择最佳k值的原则是在增加k值的过程中使 SC 值达到最小。EViews 3.0 的计算公式是(log L ) klog T SC = - 2 _ +(T丿T例 8.3 以第 8 章案例为例， k =1、2、3、4 时的 logL、Akaike AIC 和 Schwarz SC 的值见下表。VAR(1) VAR(2) VAR(3) VAR(4)logL 184.6-2 Wg L(k) Sg L(k+1)286Akaike AIC-7.84Schwarz SC-7.36198.9200.0207.82.215.6J X 2(9)=16.9 (9)-8.27-8.09-8.23-7.41-6.85-6.6VAR Lag Order Selection Criteria Endogenous variables: LNGP LNCP LNIP Exogenous variables: CDate: 05/25/05 Time: 23:52Sample: 1953 1997Included observations: 42LagLogLLRFPEAICSCHQ22.98003NA7.75E-05-0.951430-0.827311-0.9059351175.5519276.08250.34E-O8-7.780187-7.291710-7.6062082195.759233.67880 indicates lag order selected by the criterionLR: sequential modified LR test statistic (each test at 5% level) FPE: Final prediction errorAIC: Akaike information criterionSC: Schwarz information criterionHQ: Hannan-Quinn information criterion4.93E-08*-8.321867*-7.453032*-0.003404*3199.96546.4094576.31 E-08-0.093591-6.852398-7.638645建立滞后 2 期的 VAR 模型是可以的。附录：考察VAR模型最大滞后期的EViews 41操作： 在VAR模型估计结果窗口点击View选Lag Structrure, Lag Lengyh Criteria 功能，即可得到 585 VAR 模型的脉冲响应函数和方差分解由于 VAR 模型参数的 OLS 估计量只具有一致 性，单个参数估计值的经济解释是很困难的。要想 对一个 VAR 模型做出分析，通常是观察系统的脉 冲响应函数（1）脉冲响应函数。脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反应。具体地说，它描述的是在随机误差项上施加未来值所带来的影响。对于如下VAR模型，y, t表示GDP, y2, t表示货 币供应量，yi, t = C1 + 兀 11.1 yi, t-1 + 兀 121 y2, t-1 + U11y2, t = C2 + 兀 21.1 y1, t-1 + 兀22.1 y2, t-1 + U21(836)在模型(8.36)中，如果误差u1t和u2t不相关， 就很容易解释。u1t是y1t的误差项；u2t是y2t的误 差项。脉冲响应函数衡量当期u1t和ut一个标准差 的冲击分别对 GDP 和货币存量的当前值和未来值 的影响。对于每一个 VAR 模型都可以表示成为一个无限 阶的向量MA(8)过程。具体方法是对于任何一个 VAR(k) 模型 都可以 通过友矩 阵变换 改写成一 个 VAR(1)模型(见 8.1.2 节)。Yt = Ai Yt -1 + Ut (I - L A 1) Yt = UtYt = (I - L A 1)-1 Ut= Ut + A1Ut-1 + A12Ut-2 + A1sUt-s +这是一个无限阶的向量MA(8)过程。或写成， Yt+s = Ut+s + A1Ut+s -1 + A12Ut+s -2 + A1sUt + 全部的移动平均参数矩阵用改用, (j=1,s)表示,Yt+s 叫严1Ut+s -1 + 叽-2 + + 勺 Ut + (8.37)其中范=A1，呼 A12,田 s = A1 s，显然，由 (8.37)式有下式成立，= t + sS a utW s中第i行第j列元素表示的是，令其它误差项在 任何时期都不变的条件下，当第 j 个变量 yj t 对应的 jt 误差项 uj t 在 t 期受到一个单位的冲击后，对第 i 个 jt内生变量 yit 在 t + s 期造成的影响。把W s中第i行第/列元素看作是滞后期s的函数j，t+s, s = 1, 2, 3, aujt称作脉冲响应函数（impulse-response function）， 脉冲响应函数描述了其它变量在 t 期以及以前各期 保持不变的前提下， yi,t+s 对 uj, t 时一次冲击的响应 过程。注意：对于 ut 中的每一个误差项，内生变量都对应着一个脉冲响应函数。这样，一个含有 4 个内生 变量的 VAR 将有 16 个脉冲响应函数。附录：VAR模型残差序列及其方差、协方差矩 阵的求法。点击 VAR窗口中的 Procs键,选 Make Residuals （生成残差）功能，工作文件中就会生成以resid01, resid02,为编号的残差序列（残差序列的顺序与VAR模型估计对话框中输入的变量顺序相一致）， 并打开残差序列数据组窗口。在这个残差序列数据 组窗口中点击View键，选择Covarances功能，即 可得到残差序列的方差、协方差矩阵。选择Correlation功能，即可得到残差序列的相关系数矩 阵。Covariance MatrixRESID01RESID02RESID03RESID0125.85272-0.056293-7.166736RESID02-0.05629315.240536.196976RESID03-7.1667366.19697636.75376Correlation MatrixRESID01RESID02RESID03RESID011.000000-0.002836-0.232497RESID02-0.0028361.0000000.261036RESID03-0.2324970.2618361.000000附录：脉冲响应的EViews操作(file:VAR01) 点击VAR窗口中的Impulse键。在随后弹出的 对话框中做出各项选择后点击OK键。例8.4 美国民用燃油价格、生产量、储量的脉冲响应图。图1表示美国民用燃油价格(PHO)分别对燃油价格（PHO）、生产量（QHO）、储量（NHO） 3 个方程相应新息过程一个标准差冲击的响应。图2表示美国燃油生产量（QHO）分别对燃油价格（PHO）、生产量（QHO）、储量（NHO） 3 个方程相应新息过程一个标准差冲击的响应。图3表示美国燃油储量（NHO）分别对燃油价格（PHO）、生产量（QHO）、储量（NHO） 3个方程相应新息过程一个标准差冲击的响应。（ 2）方差分解。VAR模型的另一种分析方法是方差分解，既分析 未来t+s期的y,如的预测误差的方差由不同新息的 冲击影响的比例。假设下式是由任一 VAR（k） 模型转换而得到的关 于Yt的一阶向量自回归模型。Yt = A Yt -1 + Ut（8.38）, Q, i = j E (U U ) = tt 0 i 丰 jJ其中Qnpnp = ； 0 I :。其中每一个元素都是NxN 0 00阶的。 （8.38）式中的前 N 行就是原 VAR（k） 模型。对（8.38）进行迭代运算，Yt = A Yt -1 + Ut = A (A Yt -2 + Ut-1) + Ut = A2 Yt -2 + A Ut-1 + Ut= As Yt -s+ Ut + A Ut-1+ A2Ut-2+ + As-1 Ut -s+1把上式中的 t 期换为 t+s 期，得Yt+s= AsYt+Ut+s +AUt+s-1+A2Ut+s -2 + As-1 Ut +1t+st t+st+s-1t+s -2t +1(8.39)上式中的前 N 行(原 VAR 中的方程)可用向量表 示为，yt+s = A11(S)yt+ A12(S)yt-1 + A1k(s)Yt -k+1+ 叫+s + A11 ut+s -1+ A11 ut+s -2 +A11 3 叫+1(8.40)其中 (A11(s) Yt + A12(s) Yt-1 + + A1k (s) Yt -k+1) 表示 (839)式中 As Yt 的前 N 行。他+s + 绻 u+s -1+ Au2 ut+s -2 + A11s-1 ut +1)表示(839)式中 g+s + A Ut+s -1+ A2Ut+s -2 + + + As-1 Ut +1)的前 N 行。其中 A1j (s), ( j =1, 2, , k) 表示 As 中第 1 至 N 行和N(k-1)+1到 Nk列围成的块。AJ) , (i =1, 2, s-1)表示Ai的左上块。A为A的i次方。把(840)式写成，Yt+s = A11(s) Yt + A12(s) Yt-1 + A1k (s) Yt -k+1+ 叫 +s + % ut+s -1+ 笃U+ -2 +W S-1 叫 +1 (8.41)其中A11=T1,每叫，A1严)=屮s-1。当用(8.41)式预测时，应该令式中的 ut +s, ut+s -1, ut+s -2,ut +1 等于零，得.=A11(S)Ft+ A12(S)yt-1 + 化(S)Yt-k+1t+s期的yj t+s, (/ = 1, 2,N)的预测误差可以表示 为向量自回归形式，Yt+s 玄=U+s 珥 U+s-1 + 光-2 ut+ 2+ %-1 Ut+1 所以，预测前S期的.的误差均方为，MSE(”)= E(Yt+s)Y+s 】,)t+s t t + s t t + st - 一一=C + TQT + TQT + +W QT 1122s-1s-1(8.40)其中Q = E(ut ut )。(不同期的ut等于零)下面考察每一个正交化误差项对MSEQ )的 贡献。现在，通过下式把u变换为正交化误差项vt。ut =M vt=m1v1t + m2v2t + mNvN t 其中v1t，v2pvNt不相关(相互正交)。所以有Q = E(ut ut ) = (m1v1t + m2v2t + mNvN t) ( m1v1t + m2v2t + mNvN t) = m1 m1Var(v1t)+ m2 m2Var(v2t) + mN mNVar(vNt)把用上式表达的。代入(8.40)式，并合并同期 项，MSE(亍)=Var(p1t)( m1 m,+% m1 m,当r *St + 光 mi m,% + + 屮 A】 mi m J + Var(v2t)( m2 m2+i m2 m2i + % m2 m2*2 + +T s-1 m2 m2 s-1)+ Var(vNt)( m2 m2+%1 mN mN%1 + %2 mN mN%2+ +T s-1 mN F s-1) Var( v )( m m + % m m % + % m m 叱+ . +% m m % )jj j1 j j 12 j j 2s-1 j js-1%s-1m m % ）表示正交化的第j js-1j 二 1Var( v )( m m + % m m % + . +jt j j 1 j j 1 Var( v )( m m + % m m % + . + % m m % )jtj j1 j j 1s-1 j js-1j个新息对前s期预测量方差的贡献百分比。Y I见第8章案例，关于s LnGP的10期的方差分解表和图如下。S.E列数字表示预测LnGP将来1期、2期、10期时LnGP的预测标准误差。LnGP、 LnCP 和 LnIP 对应的数字列依次表示相应 期 3 个误差项变动对 LnGP 预测方差贡献的百分 比。以 t = 3 为例， LnGP 的预测标准误差等于0.0915。其中 89.40%由 LnGP 相应的误差冲击所 致。7.24%由 LnCP 相应的误差冲击所致。 3.36% 由 LnIP 相应的误差冲击所致。加起来为 100%。0-Variance Decomposition of LNGP:LNCPLNIPPeriodS.E.LNGP10.050570100.00000.0000000.00000020.08065896.399014.03E-053.60095030.09152689.401897.2411783.35693440.10564367.2789628.124014.59703050.12617547.9894040.1543011.8563060.14445136.8632042.0340521.1027570.15835930.8608540.2579328.8812280.16977027.7154438.0782134.2063590.17992025.2654337.0223537.71222100.19060022.5963337.0193540.38432图4 图5SE所对应的列是相对于不同预测期的变量的预 测误差。这种预测误差来源于新息的当期值和未来 值。其它的几栏给出关于源于某个特定的新息所引 起的方差占内生变量总方差的百分比。向前一个时 期，一个变量的所有变动均来自其本身的新息。因 此第一个数字总是 100%。同样，方差分解主要取 决于方程的顺序。8.6 格兰杰非因果性检验1）检验模型VAR 模型还可用来检验一个变量与另一个变量是否存在因果关系。经济计量学中格兰杰(Granger)非因果性定义如下：格兰杰非因果性：如果由几和xt滞后值所决定的 yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相 同，即/(yt Iytj ,x)=代yt |yt,)，(8.38) 则称xt 1对齐存在格兰杰非因果性。格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不 变，若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在 显着性改善，则称xt-1对yt存在格兰杰非因果性关 系。为简便，通常总是把 xt-1 对 yt 存在非因果关系表 述为xt (去掉下标-1)对yt存在非因果关系(严格 讲，这种表述是不正确的)。在实际中，除了使用 格兰杰非因果性概念外，也使用“格兰杰因果性” 概念。顾名思义，这个概念首先由格兰杰( Granger 1969)提出。西姆斯(Sims 1972)也提出因果性定 义。这两个定义是一致的。tVAR 模型中以 yt 为被解释变量的方程表示如下根据以上定义， xt 对 yt 是否存在因果关系的检验 可通过检验 VAR 模型以 yt 为被解释变量的方程中 是否可以把 x 的全部滞后变量剔除掉而完成。比如a y +卩xi t 一 ii t 一 i+u1t(8.39)如有必要，常数项，趋势项，季节虚拟变量等都可 以包括在上式中。则检验xt对齐存在格兰杰非因果性的零假设是H0：卩1 =卩2=卩k = 0 显然如果(8.39)式中的 xt 的滞后变量的回归参数 估计值全部不存在显着性，则上述假设不能被拒 绝。换句话说，如果 xt 的任何一个滞后变量的回归 参数的估计值存在显着性，则结论应是 xt 对 yt 存 在格兰杰因果关系。上述检验可用 F 统计量完成。(SSE - SSE ) kF 二ruSSE /(T - kN )其中SSE表示施加约束(零假设成立)后的残差T平方和。 SSEu 表示不施加约束条件下的残差平方 u和。k表示最大滞后期。N 表示VAR模型中所含当 期变量个数，本例中 N = 2，T 表示样本容量。在 零假设成立条件下，F统计量近似服从Fn)分 布。用样本计算的 F 值如果落在临界值以内，接受 原假设，即 xt 对 yt 不存在格兰杰因果关系。2 ) 例 8.5 ：( file: stock ) 以 661 天（1999.1.4-2001.10.5）的上海（SH）和深圳（SZ）股票收盘价格综合指数为例，2500700600500400300SZSH20001500100010020050060030滞后 10 期的 Granger 因果性检验结果如下率小于 0.05 时，表示推翻原假设）Pairwise Granger Causality TestsDate: 05/16/04 Time: 19:56 Sample: 1 661Lags: 10Null Hypothesis:ObsF-StatisticProbabilitySH does not Granger Cause SZ6511.363750.19316SZ does not Granger Cause SH23.43950.00000:nP(F1.36) = 0.19316图示如下：图7P（F23.44） = 0.00000因为 F 值（1.36）落在原假设接受域，所以原 假设“上海股票价格综合指数对深圳股票价格综合 指数不存在 Granger 因果关系” 被接受。因为 F 值（23.44）落在原假设拒绝域，所以 原假设“深圳股票价格综合指数对上海股票价格综 合指数不存在 Granger 因果关系”被推翻。3）格兰杰因果关系检验操作EViews 操作方法是，打开数剧组窗口，点 View 键，选Granger Cauility。在打开的对话窗口中填 上滞后期（上面的结果取滞后期为 10），点击 OK键。用滞后 5, 10, 15, 20, 25 期的检验式分别检验，结果见下表：k=5k=10k=15k=20k=25H0: SH does Cause SZnotGranger1.081.361.211.291.40接受H0H0: SZ does Cause SH notGranger43.923.415.912.610.3拒绝H0A40才08 结论都是上海股票价格综合指数不是深圳股票价格综合指数变化的原因，但深圳股票价格综合指数是上海股票价格综合指数变化的原因。注意：（1）滞后期 k 的选取是任意的。实质上是一个 判断性问题。一般来说要试检验若干个不同滞后期k 的格兰杰因果关系检验，且结论相同时，才可以 最终下结论。（2）当做 xt 是否为导致 yt 变化的格兰杰原因检 验时，如果zt也是齐变化的格兰杰原因，且z又与 xt相关，这时在xt是否为导致齐变化的格兰杰因果关系检验式的右端应加入z的滞后项（实际上是3 个变量 VAR 模型中的一个方程）。3）不存在协整关系的非平稳变量之间不能进行格兰杰因果关系检验。8.7 VAR 模型与协整 如果 VAR 模型y = n 1 y1 + n 2 y1 + + n y , + u t 1 t-12 t-1k t-ktu IID （0, Q）t的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的 一阶差分序列建立一个平稳的 VAR 模型。ay =n *ay. +n * Ar+_+n * ay f + u *t 1t-12t-2k t-k t然而，当这些变量存在协整关系时，采用差分的方法构造 VAR 模型虽然是平稳的，但不是最好 的选择。如果Yt -1（1），且非平稳变量间存在协整关系。那么由这些非平稳变量组成的线性组合则是平稳 的。建立单纯的差分 VAR 模型将丢失重要的非均 衡误差信息。因为变量间的协整关系给出了变量间 的长期关系。同时用这种非均衡误差以及变量的差 分变量同样可以构造平稳的 VAR 模型。从而得到 一类重要的模型，这就是向量误差修正模型。1）向量误差修正模型下面推导向量误差修正（VEC）模型的一般形式。对于 k= 1 的 VAR 模型，Y=口 i Y-1+u(8.42)两侧同减Yt1,得A 阿-Y-1+u 对于 k=2 的 VAR 模型，Y=口 i Y-1+口 2 Y-2+u两侧同减Yt十在右侧加、减n2Ytl,并整理得：A Yt = M + 口2 -1）Yl 口2AYt-1 + 叫（843） 对于 k=3 的 VAR 模型,Y产 口 1 Y-1 + 口2 Y-2 + 口3 Y-3+ U两侧同减Yt1，在右侧加、减n2Yti和口3Yt1并整 理得：A Y=（ni+口 2+咛）Y-1-口 2Y-1+口 2Yt-2+口 3 Y-3+u t6口 2+口3-叫1-口2 Ayt.1-n3yt.l+n3yt-3+ U 在右侧加、减口3 Y-2并整理得馅=阿 + 口 2 + 口 3 - D Y-1 - 口 2 化1 - 口 3 Y-1 + 口3 Y-2 口3 Y-2 + 口3 Yt-3+ U =(01 + 口2 + 口3 -D Yl - 口2 AYt-1 口3 t-1 -口3 叽 + U=(ni+n2+n3-I)Yt.1-(n2+n3)AYf1-n3 AYt-2+t(8.44)对于 k 阶 VAR 模型，Yt = 口 1 Yt-i + 口2 Y-2 + + 叭 + U利用 k=1, 2, 3 的 VAR 模型的推导规律，见(8.42) (8.44)式，其向量误差修正模型(VEC)的表达式 是：阿=阿+口2+口机1化+口3+叫AY-1 -(口3 +叫)AYt-2 nk AYt - (k-1) +叫 (8.45)kn = s 口 i二口 +n +n ii 1 2 ki=ikrj =仁 口 i, j =1,2, 辰 1,i=j+1Ay =n y +r af +rAy +_+ r Ay + utt-1 1 t-1 2 t-2k-1 t- (k-1)t(8.47)口称为压缩矩阵(impact matrix,影响矩阵)。 n是全部参数矩阵的和减一个单位阵。口为多项 式矩阵，其中每一个元素都是一个多项式。运算规 则于一般矩阵相同。滞后期的延长不影响对协整向 量个数的分析。2)协整与秩根据 Granger 定理，向量误差修正模型( VEC) 的表达式是：At(L) (1-L) Y = ap Y 1+ d(L) u(8.48)tt-1t其中At(L)是多项式矩阵A(L)分离出因子(1- L)后降低一阶的多项式矩