第二章误差分析及数据处理方法

第二章 误差分析和数据处理方法2.1 测量与误差1、测量物理实验不仅要定性观察各种物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定 量关系。为此就需要进行测量。测量指的是将待测的物理量与一个选来作为标准的 同类量进行比较的过程。通过比较得出它们的倍数关系，进而认识待测量的一些未 知属性。可以认为测量就是一种研究方法。选作标准的同类量称为单位。倍数称为 测量数值。由此可见，一个物理量的测量值等于测量值与单位的乘积。一个物理量 的大小是客观存在的，选择不同的单位，相应的测量数值就有所不同。单位越大， 测量数值愈小，反之亦然。测量可分为两类。一类是直接测量。如用尺量长度，以表计时间，天平称质量， 温度计量温度等；另一类是间接测量，是根据直接测量所得的数据，根据一定的公 式，通过运算，得出所需要的结果，例如直接测出单摆的长度I和周期，应用公式 g=4n2i/T2，求出重力加速度g。在物理的测量中，绝大部分是间接测量，但直接测 量是一切间接测量的基础。不论直接测量或间接测量，都需要满足一定的实验条件， 按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此，在实验过程中， 一定要明白实验的目的，正确地使用仪器，细心地进行操作、读数和记录，以达到 巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。2.误差 物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。然而在实际测量时，由于实验条 件、实验方法和仪器精度等的限制或者不够完善，以及实验人员技术水平和经验等 原因，使得测量值与客观存在的真值之间有一定的差异。测量值x与真值T的差值x称为测量误差5,简称误差。即6 = x Tx任何测量都不可避免地存在误差，所以，一个完整的测量结果应该包括测量值 和误差两个部分。既然测量不能得到真值，那么怎样才能最大限度地减小测量误差 并估算出这误差的范围呢？要回答这些问题，首先要了解误差产生的原因及其性质。测量误差按其产生原因与性质可分为系统误差、随机误差和过失误差三大类。（1）系统误差系统误差的特点是有规律的，测量结果都大于真值，或小于真值。或在测量条 件改变时，误差也按一定规律变化。系统误差的产生有以下几个方面：1）由于测量仪器的不完善、仪器不够精密或安装调整不妥，如刻度不准、零 点不对、砝码未经校准、天平臂不等长、应该水平放置的仪器未放水平等。2）由于实验理论和实验方法的不完善，所引用的理论与实验条件不符，如在 空气中称质量而没有考虑空气浮力的影响，测微小长度时没有考虑温度变化使尺长 的改变，量热时没有考虑热量的散失，测量电压时未考虑电压表内阻对电压的影响， 标准电池的电动势未作温度校正等。3）由于实验者生理或心理特点、缺乏经验等而产生误差。例如有些人习惯于 侧坐斜视读数，眼睛辨色能力较差等，使测量值偏大或偏小。减小系统误差是实验技能问题，应尽可能采取各种措施将它减小到最低程度。 例如将仪器进行校正，改变实验方法或者在计算公式中列入一些修正项以消除某些 因素对实验结果的影响，纠正不良习惯等。能否识别或降低系统误差与实验者的经验和实际知识有密切的关系。学生在实 验过程中要逐步积累这方面的感性知识，结合实验的具体情况对系统误差进行分析 和讨论。因在设计实验仪器和实验原理时，系统误差已被减小到最小程度，所以大 学物理实验课中不要求学生对实验系统进行修正。（2）随机误差（又称偶然误差） 在相同条件下，对同一物理量进行重复多次测量，即使系统误差减小到最小程 度之后，测量值仍然出现一些难以预料和无法控制的起伏，而且测量值误差的绝对 值和符号在随机地变化着。这种误差称为随机误差。随机误差主要来源于人们视觉、听觉和触角等感觉能力的限制以及实验环境偶 然因素的干扰。例如温度、湿度、电源电压的起伏、气流波动以及振动等因素的影 响。从个别测量值来看，它的数值带有随机性，似乎杂乱无章。但是，如果测量次 数足够多的话，就会发现随机误差遵循一定的统计规律，可以用概率理论估算它。（3）过失误差 在测量中还可能出现错误，如读数错误、记录错误、估算错误、操作错误等因 素引起的误差，称为过失误差。过失误差已不属于正常的测量工作范畴，应当尽量 避免。克服错误的方法，除端正工作态度，严格工作方法外，可用与另一次测量结 果相比较的办法发现纠正，或者运用异常数据剔除准则来判别因过失而引入的异常 数据，并加以剔除。3、正确度、精密度和准确度 正确度、精密度和准确度是评价测量结果优劣的三个述语。 测量结果的正确度是指测量值与真值的接近程度。正确度高，说明测量值接近 真值程度好，即系统误差小。可见，正确度是反映测量结果系统误差大小的述语。测量结果的精密度是指重复测量所得结果相互接近的程度。精密度高，说明重 复性好，各个测量误差的分布密集，即随机误差小。可见，精密度是反映测量结果 随机误差大小的术语。测量结果的准确度是指综合评定测量结果重复性与接近真值的程度。准确度 高，说明精密度和正确度都高。可见，准确度反映随机误差和系统误差的综合效果。在实验中系统误差已被减小到最小程度，所以，误差计算主要是估算随机误差， 因此往往不再严格区分精密度和准确度，而泛称精度。4、绝对误差、相对误差和百分差误差的表示形式，有绝对误差和相对误差之分。绝对误差土 Ax表示测量结果x与真值T之间的差值以一定的可能性(概率)出现的范围，即真值以一定可能性 x(概率)出现在x至x + Ax区间内。仅仅根据绝对误差的大小还难以评价一个测量结果的可靠程度，还需要看测量值本身的大小，为此引入相对误差的概念。 相对误差厂 Ax Ax “ceE = q x 100%T xx表示绝对误差在整个物理量中所占的比重，一般用百分比表示。例如，一长度测量 值是1000米，而绝对误差为1米。另一长度测量值为100厘米，而绝对误差为1厘 米。后者的相对误差为1%,前者的相对误差为0.1%，所以，前者较后者更可靠。如果待测量有理论值或公认值，也可用百分差表示测量的好坏。即百分差E0测量值x -公认值x公认值xx 100 %绝对误差、相对误差和百分差通常只取12位数字来表示。2.2随机误差的高斯分布与标准误差随机性是随机误差的特点。也就是说，在相同条件下，对同一物理量进行多次 重复测量，每次测量值的误差时大时小，对某一次测量值来说，其误差的大小与正 负都无法预先知道，纯属偶然。但是，如果测量次数相当多的话，随机误差的出现 仍服从一定的统计规律。根据实验情况的不同，随机误差出现的分布规律有高斯分 布(即正态分布)、t分布、均匀分布以及反正弦分布等等。按大纲要求，仅介绍随 机误差的高斯分布。1高斯分布的特征和数学表述遵从高斯分布规律的随机误差具有下列四大特征:(1) 单峰性 绝对值小的误差出现的可能性(概率)大，大误差出现的可能 性小。(2) 对称性 大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值 的两侧。(3) 有界性 非常大的正误差或负误差出现的可能性几乎为零。(4) 抵偿性 当测量次数非常多时，正误差和负误差相互抵消，于是，误差的代数和趋向于 零。高斯分布的 特征可以用高斯 分布曲线形象地 表示出来，见图 2-2-1 (a)。横坐标 为误差纵坐标0S 2-1随机逞是的正藍分布曲變为误差的概率密度分布函数f (5 )。根据误差理论可以证明函数的数学表述式为:_15 2f (5)二丰e 2-2-1)测量值的随机误差出现在到 +dS区间内的可能性(概率)为f(5)dS，即图2-2-l(a)中阴影线所包含的面积元。上式中的。是一个与实验条件有关的常数，称 为标准误差。其量值为=limn t a式中，n为测量次数，各次测量值的随机误差为5i = 1,2,3,n。可见标准误差i是将各个误差的平方取平均值，再开方得到，所以，标准误差又称为均方根误差。2标准误差的物理意义由式(2-2-1)可知，随机误差正态分布曲线的形状取决于。值的大小，如图 (2-2-1) b所示。值愈小，分布曲线愈陡峭，峰值f (5 )愈高，说明绝对值小的误 差占多数，且测量值的重复性好，分散小；反之，。值愈大，曲线愈平坦峰值愈低, 说明测量值的重复性差，分散性大。标准误差反映了测量值的离散程度。由于f()d是测量值随机误差出现在小区间(, +d)的可能性(概率)， 那么，测量值误差出现在区间(-。，。)内的可能性(概率)就是P = (-c 5 c ) = r f (5 )d5-a15 2=J e 2 兀 2 d 5 = 68.3%-a这说明对任意一次测量，其测量值误差出现在-c到。区间内的可能性(概率)为 68.3%。也就是说，假如我们对某一物理量在相同条件下进行了1000 次测量，那么， 测量值误差可能有683次落在-c到。区间内。注意标准误差的统计意义，它并不 表示任一次测量值的误差就是土。，也不表示误差不会超出。的界限。标准误差 只是一个具有统计性质的特征量，用以表征测量值离散程度的一个特征量。3极限误差 与上述相仿，同样可以计算，在相同条件下对某一物理学量进行多次测量，其 任意一次测量值的误差落在-3。到3。区域之间的可能性(概率)。其值为P (- 3 c ,3 c ) = j 3 G f (5 ) d 53 c15 2=J3c e 2兀2 d5 = 99 .7%-3 c .也就是说，在1000次测量 中，可能有3次测量值的误差绝对值会超过3。在通常 的有限次测量情况下，测量次数很少超过几十次，因此测量值的误差超出3。范围 的情况几乎不会出现，所以把3o称为极限误差。在测量次数相当多的情况下，如出现测量值的误差的绝对值大于3。的数据， 可以认为这是由于过失而引起的异常数据而加以剔除。但是，对于测量次数较少的 情况，这种判别方法就不可靠，而需要采用另外的判别准则。23 近真值算术平均值尽管一个物理量的真值是客观存在的，然而，即使对测量值已进行了系统误差的修正，也会由于随机误差的存在，企图得到真值的愿望仍不能实现。那么，是否 能够得到一个测量结果的最佳值，或者说得到一个最接近真值的数值(近真值)呢？ 这个近真值又如何来求得？根据随机误差具有抵偿性的特点，误差理论可以证明， 如果对一个物理量测量了相当多次，那么算术平均值就是接近真值的最佳值。设在相同条件下对一个物理量进行了多次测量,测量值分别为x，x，x，123xn，各次测量值的随机误差分别为5 1，5 2, 5 3,，5 n，并用Tx表示该物理量的真值。根据误差的定义有5 =x -T11 x5 = x -T ， 5 = x -T ， 5 = x -T22 x33 xn n x将以上各式相加，得1艺5nii=1nii = 1(2-3-1)用x代表算术平均值，即X = 1( x + x +n 1 21n+ x )= 乂 x.(2-3-2)nnii = 1式（2-3-1）可改写为(2-3-3)根据随机误差的抵偿性特征，当测量次数n相当多时,由于正、负误差相互抵消,各个误差的代数和趋近于零，即lim 另 5 = 0inT8 .-i=1于是有x T TX由此可见，测量次数愈多，算术平均值接近真值的可能性愈大。当测量次数相当多 时，算术平均值是真值的最佳值，即近真值。24 标准误差的估算标准偏差1任意一次测量值的标准偏差某一次测量值X的误差5是测量值X与真值Tx的误差值。由于真值不知道，iii误差5 计算不出。因而，按照式（2-2-2），标准误差5 也无从估算。根据算术平均 i值是近真值的结论，在实际估算时采用算术平均值X代替真值，用各次测量值与算术平均值的差值V = X 一 Xii来估算各次的误差。差值V称为残差。i误差理论可以证明，当测量次数n有限，用残差来估算标准误差时，其计算式为:区 V 2:_1b = i=-= X （x 一 X ）2x n 一 1 n 一 1 ii=1b称之为任意一次测量值的标准偏差，它是测量次数有限多时，标准误蹇的X一个估计值。其代表的物理意义是，如果多次测量的随机误差遵从高斯分布，那么，任意一次测量，测量值误差落在-b到+ b区域之间的可能性（概率）为68.3%。或者说，它表示这组数据的误差有68.3%的概率出现在-b到+ b区间 内。2平均值的标准偏差误差理论证明，平均值x的标准偏差为工(X - X )2ii 1 n ( n 1)上式说明 ,平均值的标准偏差是 n 次测量中任意一次测量值标准偏差的i.n倍。b-小于，这个结果的合理性是显而易见的。因为算术平均值是测XX量结果的最佳值，它比任意一次测量值X更接近真值，误差要小。b -的物理意 iX义是，在多次测量的随机误差遵从高斯分布的条件下，真值处于Xb -区间内X 的概率为68.3%。值得注意，用b和b -来估算随机误差，理论上都要求测量次数相当多。XX 但实际上，往往受到教学时间的限制，重复测量的次数不可能很多，所以，用它 们来估算的随机误差带有相当程度的近似性。另外，在测量次数较少时(nvio), b随着测量次数n的增加而明显地减小，以后，随着测量次数n的继续增加，bXX 的减小愈来愈不明显而趋近于恒定值。由此可见，过多地增加测量次数，其价值 并不太大。根据实际情况，如果需要多次重复测量，一般测量次数取510次为 宜。25 误差传递公式直接测量值不可避免地存在误差，显然由直接测量值根据一定的函数关系，经 过运算而得到的间接测量值也必然有误差存在。怎样来估算间接测量值的误差，实 质上是要解决一个误差传递的问题，即求得估算间接测量值误差的公式。这种公式 称之为误差传递公式。1误差的一般传递公式设待测量N是n个独立的直接测量量A，B，C,，H的函数，即N= f (A,B,C,H)(2-5-1)若各直接测量值的绝对误差分别为A A，A B，A c,，A H,则间接测量值N 的绝对误差为A N。下面介绍具体计算方法。将(2-5-1)求全微分，得dN = f dA + 蛍 dB + f dC + + 聖 dH（2 5 2）SA dBdCdH（2-5-2）由于A A, A B, A c,，A H分别相对于A, B, C,，H是一个很小的量，将式（2-5-2）中的dA, dB, dC,，dH用A A, A B, A C,，A H 代替,则AN = -L AA + f AB + f AC + + AH（2-5-3）SASBSCSH由于上式右端各项分误差的符号正负不定,为谨慎起见,作最不利情况考虑,认为各项分误差将累加,因此,将上式右端各项分别取绝对值相加,即AN 二f AA +f AB +SBSfSCAC + +fSHAH2-5-4）很明显,这样做会导致测量结果误差偏大。但在实际工程设计中常常必须这样处理。 相对误差为E 亠=1Nf （A, B, C,H）f AB +SBSfSCAC + +SfSHAH ）2-5-5）式（2-5-4）和式（2-5-5）称为误差的一般传递公式,或称为误差的算术合成。根据 以上两式计算出的常用误差公式列在表2-5-1中,以供参考。表 2-5-1几种常用的误差传递公式函数关系误差的一般传递公式标准误差传递公式N=A+B 或 N=A-BAN 二 AA + ABJG = JG 2 + g 2 N7 ABN=AB或N=A/BANAA AB=1NABG-N = yN I GG1 （A ）2 + （B ）2ABN=K AAN 二 kAG 二 k GNA“ Ap BqN =CrANAAABAC=p+ q+ r NABCGN 上）2 + （心）2 + （巴）2ABCN = 4AAN _ 1 AA N_p 飞b1bN _ - ANp AN=sinAAN _ cos A| - AAb _ cos A bNAN 二 In AAN _ - AA A1b _ bN A A2.标准误差的传递公式若各个独立的直接测量值的绝对误差分别为标准偏差。a，- b，,，-h等，则间接测量值N的误差估算需要用误差的方和根合成，即绝对误差为2-5-6)N Tf A)2 + (鲁A + ( C)2 + + ( H)2和相对误差为bb )2H2-5-7)E = - = Nb )2 + (堂 b )2 + (生 b )2 + + ABB B dC c以上两式称为标准误差的传递公式，或称为误差的方和根合成。几种常用的标准误差的传递公式列于表（2-5-1）中，供需要时查用。从表（2-5-1）中可见：1）对于和或差函数关系，函数N的绝对误差都是直接测量值标准误差的“方和根”所以，应先计算出N的绝对误差，即b，然后再按E = b JN计算N的 nN相对误差 EN。2）对于乘或除函数关系，函数N的相对误差En都是各直接测量值相对误差的“方和根”所以，应先计算出N的相对误差En，再按b = N - E计算函数NNNN的绝对误差，即bn误差传递公式除了可以用来估算间接测量值 N 的误差之外，还有一个重要的 功能，就是用它来分析各直接测量值的误差对最后结果误差影响的大小。对于那些 影响大的直接测量值，预先考虑措施，以减小它们的影响，为合理选用仪器和实验 方法提供依据。26 不确定度与测量结果表述用标准误差来评估测量结果的可靠程度，这种做法不尽完善，往往有可能遗漏 影响测量结果准确性的因素，例如未定的系统误差、仪器误差等。鉴于上述原因， 为了更准确地表述测量结果的可靠程度，提出了采用不确定度的概念。1不确定度概念一个完整的测量结果不仅要给出该测量值的大小(即数值和单位)，同时还应 给出它的不确定度。用不确定度来表征测量结果的可信懒程度。于是测量结果应写 成下列标准形式：X 二 x + U (单位)，U =x 100%(2-6-1)rx式中x为测量值，对等精度多次测量而言，X为测量的算术平均值；U为不确定度,Ur 为相对不确定度。“不确定度”(Uncertainty) 词是指可疑、不能肯定、或测不准的意思。不确 定度是测量结果所携带的一个必要参数，以表征测量值的分散性、准确性和可靠程 度。严格的测试报告在给出测量结果的同时，应有详尽的测试参数，并给出相应的 不确定度。不确定度越小，表示对测量对象属性的了解越透彻，测量结果的可信度 越高，使用价值也越高。测量结果标准形式示例：普朗克常数h=(6.62607750.0000004)x10-34jsU =0.60x106r基本电荷e=(1.602177330.00000033)X10T(9Ur=0.30x10-6r2、大学物理实验中测量不确定度的表达通常，测量不确定度由几个分量构成。按数值的估算方法不同可将分量分为两 类：A 类：在一系列重复测量中，用统计方法计算的分量，它的表征值用标准误差 表示，即S = (X - X)2(2-6-2)n -1ii=1需要指出，另外还有一个表征值，称为自由度，在此简略。B 类：用其它方法计算的分量。 在仅考虑仪器误差的情况下， B 类分量的表征值为u= A. / C(2-6-3)inst式中A.是指计量器具的示值误差；C是一个大于1的，且与误差分布特性有关的inst系数。若仪器误差的概率密度函数是遵循均匀分布规律的，C =心3。本课程所用计量器具和仪表多数属于这种情况。实际上， B 类分量考虑的因素很多，很复杂。如用统计方法无法发现的固有系 统误差。这要通过对测量过程的仔细分析、根据经验和有关信息来估算。有关信息 包括过去测量的数据、对仪器性能的了解、仪表的技术指标、仪器调整不垂直、不 水平或不对准等因素引入的附加误差，检定书提供的数据以及技术手册查到的的参 考数据的不确定度等。（2-6-3）只是一种简化处理。A 类和 B 类分量采用方和根合成，得到合成的不确定度为U fS2 + u2（2-6-4）若A类分量Si有n个；B类分量片有m个，那么用方和根合成所得到的合成 的不确定度为U = 艺 S 2 +区 u2 .（2-6-5）iji=1j=13间接测量的不确定度不确定度的传递公式与标准误差的传递公式形式上完全相同,它们同样是方和根 合成，只要将（2-5-6）和（2-5-7沖的标准误差改写成不确定度,即可得到间接测量量N不 确度的计算式(2-6-6)(2-6-7)UN = / A + (R + (fUC)2 + + (fUH)2和相对不确定度计算式U1N =Nf (A, B, C,H)fUA)2 + (fUB)2 + + (fUH)2式中N=f （A, B，C,，H）, N是几个相互独立的直接测量量A，B，C,，H dfdfdf的函数，它们的不确定度分别为uA, UB，uC,，uh等。三， ABCHSAQBdCdf称之为各直接测量量的不确定度传递系数。SH4单次直接测量量的不确定度估计实验时，常常由于条件不许可，或者某一量的不确定度对整个测量的总不确度影响甚微，因而测量只进行了一次。这时，对于此量的不确定度只能根据仪器误差、 测量方法、实验条件以及实验者技术水平等实际情况，进行合理估计，不能一概而 论。一般情况下的简单做法是采用仪器误差或其倍数的大小作为单次测量量的不确 定度的估计值。5计算示例例1、在室温23oC下，用共振干涉法测量超声波在空气中传播时的波长九,数据见表 2-6-1。下面用列表法计算超声波波长的平均值和不确定度。表 2-6-1i九.(cm)iv =九一九(x10-4cm)iiv 2. (x10-4cm)210.68721010020.6854-86430.6840-2248440.68801832450.6820-42176460.68801832470.6852-1010080.686863690.688018324100.687014196入=0.6862工 v2, =3716ii=1解：波长平均值为九=工九=0.6862cm10 ii=1 （九一九）2任意一次波长测量值标准偏差为3.7 x 103 x 108(10 -1)9Q 0.0020cm实验装置的游标精度值A=0.0020cm波长不确定度U九的A类分量S九=0.0020cm,B类分量u = A/f3=0.0012cm。于是波长的不确定度为U =2 + u 2 = (2.0x 10-3)2 + (1.2x 10-3)2 =0.0023cm九九九和相对不确定度为U = 1 二 0.0023 /0.69 - 0.33%处 九结果：在室温230C下，用共振干涉法测量超声波在空气中传播时的波长九 =(0.68620.0023)cm，U . =0.33%rk例 2、上题中，如果已测得超声波频率为f = (5.072 0.005) x 104Hz Uf 沁 试计算超声波在23C空气中的传播速度及其不确定度。解：超声波在23C空气中的传播速度为v = f = 0.06862 x 10 -2 x 5.072 x 10 -4 = 348 .0m / s根据不确定度传递公式(2-6-7)可以得到超声波传播速度的相对不确定度U = = ( )2 + ( )2 = (3.3 x 10-3)2 + (1 x 10-3)2 = 0.34% rv VkfU = v - U = 3.5 x 10 2 x 0.34 % 沁 1.2m / svrv结果：超声波在23 C空气中的传播速度为v=(348.01.2)m/s，Urv=0.34%说明：(1) 不确度只能在数量级上对测量结果的可靠程度作出一个恰当的评价， 因此它的数值没有必要计算得过于精确。通常约定不确度和误差最多用两位数字表 示，而且，在运算过程中只需取两位(或最多取三位)数字计算即可满足要求。(2)不确定度的历史发展。长期以来，全世界对不确定度的表述，方法颇多，存在分歧与混 乱。为寻求统一，有利国际交流，1978年国际计量大会(CIPM)委托国际计量局(BIPM)联合 各国国家计量标准实验室一起共同研究，并制定一个表述不确度的指导性文件。国际计量局在调 查和征求意见的基础上，1998年召集专家会议,制定出实验不确定度的规定建议书INC-1(1980)， 简单扼要地叙述，实验不确定度的表述，以此作为各国计算不确定度的共同依据。这建议书 1981 年被(CIPM)采纳，并于1986年再次被肯定与充实。在此基础上，国际标准化组织(ISO)牵头, 国际法制计量组织(OIML)、国际电工委员会(IEC)和国际计量局等一起参与，制定出一个更详 细、更实用、具有国际指导性的文件测量不确定度表达指南1992 2。 1993年除上述四个 组织外，还有国际理论与应用物理联合会(IUPAP)、国际理论与应用化学联合会(IUPAC)等一 些国际组织批准实行此指南，作为制定检定规程和技术标准必须遵循的文件。测量不确定度表达 指南 1992对一些基本概念和不确定度表达给予了新的、具有发展性的定义与计算方法，是国际 和国内各行各业表述不确定度最具权威的依据。1986年我国计量科学院发出了采用不确定度作为误差数字指标名称的通知。1992年10月1 日我国开始执行国家计量技术规范JJG1027-91测量误差及数据处理(试行)，规定测量结果的最终表示形式用总不确定度或相对不确定度表达。需要指出的是，有关不确定度的概念、理论和应用规范还在不断地发展和完善。因此，在本 课程教学中要准确地用不确定度来评定测量结果目前尚有困难，但是，为了执行国家技术规范又 易于初学者接受，我们在保证科学性的前提下，对不确定度的计算方法作了适当的简化处理，把 教学重点放在建立必要的概念上，使学生对不确定度概念有一个初步的基础。以后工作需要时， 可以参考有关文献3继续深入与提高。参考文献2 International Organization for Standardization. GUIDE OFUNCERTAINTY IN MEASUREMENT. First edition 1992国际标准化组织.测量不确定度表达指南.肖明耀等译.北京：中国计量出版社，19943 刘智敏等编著测量不确定度手册北京：中国计量出版社，199727有效数字实验所处理的数值有两种。一种是不确定度为零的准确值(如测量的次数，公 式中的纯数等)；另一种是测量值。测量值总有不确定度，因此它的数字就不应无止 境地写下去。例如，测量值P =1.19423gcm-3,其不确定度U = 0.003 g - cm -3。P可见测量值小数点后第三位数字已是可疑，我们认为这位数字“4”是不可靠的，在它后面的数字就没有再表示出来的必要。上面的结果应写成P = (1.194 土 0.003 )g - cm 一3，我们把这个测量值中前面的三位数字“1”、“1”和“9”称为可靠数字，而最后一位与不确定度对齐的数字“4”称为可疑数字。又 例如在直接测量中，如图2-7-1所示，用最小刻度Il ill itji I ill I uihu I h iLhiLiiiLLjIiniliu7 彩图 2-7-1为1mm的米尺去测量一块铝板的 厚度，其值为26.3mm。这三位数 字中，前两位“26”是准确读出来 的，是“可靠数字”，最后一位“3” 是估读出来的，换一个人也可能估 读为“2”或“4”，这类估读出来 的数字就称为“可疑数字”。通常规定数值中的可靠数字与所保留的一位可疑数字，统称为有效数字。上述的第一个例子中，测量值P为四位有效数字，第二个例子为三位有效数字。 如果用游标尺（游标精度值为0.02m m）去测量上述铝板的宽度，得到的测量值 为26.30mm。从数学的观点看，26.30和26.3是相等的数值，似乎前者小数点最后的“0”没有保留的必要。然而从测量误差的观点看，它表示测量可以进行到X10-2mm 级，只不过它的读数刚好是零而已。同样一个测量对象，用米尺测量其宽度为 26.3m m,为三位有效数字；而用游标尺测量，其宽度为26.30m m,为四位有效数字。 所以，决不能把测量值 26.30mm 和 26.3mm 等同，前者比后者准确。由此可见，在 直接测量中，测量仪器的最小刻度（或仪器精度）与测量值的有效数字位数有着密 切的关系。对同一测量对象而言，仪器精度越高，测量值的有效数字越多。切记， 在记录实验数据的时候，小数点后面的零是有效数字，不能任意删除或添加。必需注意，十进制单位变换只涉及小数点位置改变，而不允许改变有效数字的 位数。例如，1.3m为两位有效数字，在换算成km或mm时，应采用科学计数法（用 10的不同次幂表示）写成为1.3m=1.3x10-3km=1.3x103mm如把1.3m写成0.0013km，它仍然是两位有效数字，所以，表示小数点位置的“0” 不是有效数字。但是，1.3m决不能写成1300mm,因为后者是四位有效数字。由于不确定度是根据概率理论估算得到的，它只是在数量级上对实验结果恰当 的评价。因此，把它们的结果计算得十分精确是没有意义的。基于这一点，我们规 定不确定度和误差只用一位（最多两位）数字表示。当不确定度算出来以后，根据 测量值的最后一位（或两位）数字应与不确定度对齐的原则，决定测量值的有效数 字，写出测量结果。示例见上节。28 简算方法和数字取舍规则1、简算方法在数据运算中，首先应保证结果的准确程度，在此前提下，尽可能节省运算时 间，免得浪费精力。运算时应使结果具有足够的有效数字，不要少算，也不要多算。 少算会带来附加误差，降低结果的准确程度；多算是没有必要的，算得位数很多， 但决不可能减少误差。有效数字运算取舍的原则是，运算结果保留一位（最多两位）可疑数字。（1）加减运算几个数相加减时，最后结果的可疑数字与各数值中最先出现的可疑数字对齐。下面示例中数字下加下划线的是可疑数字。例1、已知 Y=A+BC，式中 A= （103.30.5） cm，B=（13.5610.012）cm，C=（1.6520.005）cm。试问计算结果Y值应保留几位有效数字？解： 先观察具体的运算过程。103.3103.3+13.561可简化为+13.561116.861116.9可见各数相加，和的有效数字与最先出现的可疑数字0.3对齐116.9116.91.652可简化为一1.652115.248115.2可见，一个数字与一个数字相加减，其结果 必然是可疑数字。本例各数值中 最先出现可疑数字的位置在小数点后第一位(即103.3)。按照运算结果只保留一位 可疑数字的原则，上例的简算方法为Y=103.3+13.61.7=115.2cm结果表示为Y=(115.20.5)cm，UY/Y=0.4%(2) 乘除运算几个数相乘除，计算结果的有效数字位数与各数值中有效数字位数最少的一个相同(或最多再多保留一位)。例2、1.111丄灯.1丄=?试问计算结果应保留几位有效数字？解：用计算器计算可得，1.1111x1.11=1.233321。但是此结果究竟应取几位有 效数字才合理。看一下具体运算过程便一目了然。见下式：1.1111x 1.111 2 3 3 3 2 1因为一个数字与一个可疑数字相乘，其结果必然是可疑数字。所以，由上面的运算 过程可见，小数点后面第二位的“3”及其以后的数字都是可疑数字。按照保留一位 有效数字的原则，计算结果应写成 1.23，三位有效数字。这与上述的乘除简算法则 是一致的。即在此例中，五位有效数字与三位有效数字相乘，计算结果为三位有效 数字。除法是乘法逆运算，因此不再专门说明。 对于一个间接测量量，如果它是由几个直接测量值相乘除而计算得到的，那么， 在进行测量时应考虑各个直接测量值的有效数字位数要基本相仿，或者说它们的相 对不确定度要比较接近。如果相差悬殊，那么，精度过高的测量就失去意义。例 3、在长度测量中，用米尺、游标卡尺和螺旋测微计分别测量得一个长方体的三个边长为 A = (13.790.02) cm, B = (3.6350.005) cm, C = (0.49150.0005)cm。试计算长方体的体积V。 解：根据简算方法,长方体体积为V=A B C=13.79x3.635x0.4915=24.64cm3由误差传递公式算得相对不确定度为0.0214)2 + (0.0053.6)2 + (0.00050.5沁 0.22%U=V：(U )2 + ( UB )2 + ( Kc )2ABC和UV=25x0.22%=0.055a0.06cm结果用标准形式表示,长方体积V=(24.64 0.06)cm3, Uv a 0.22 %V 从上例可见,用简算方法与利用不确定度传递公式计算得到的测量结果表示是 一致的。实验中测量三个边长分别采用不同精度的量具,其目的是为了使三个边长 测量值有相同的有效数字位数,相对不确定度很接近。( 3)乘方运算乘方运算的有效数字位数与其底数相同。(4)对数、三角函数和n次方运算 上面所述的简算方法已不适用。它们的计算结果必须按照不确定度传递公式计 算出函数值的不确定度,然后,根据测量结果最后一位有效数字与不确定度对齐的 原则来决定有效数字。例 4、 A=30002计算：y = In A，由计算器计算得 y = In A = ln 3000 = 8.0063676按照传递公式,Uy=UA/A=2/3000=0.0007yA结果： y = ln A =8.00640.0007, Uy/y=0.009%计算：Z = 3A ,由计算器得 Z = 3A = V3000 =14.4224961 2 1 1U =-A-3U =X 2 = 0.003Z 3 A3*3000 2结果： Z=14.4220.003 , UZ/Z=0.021%例 5、0 = 60.00。+ 0.030计算：x = sin0，由计算器计算得 x = sin0 = sin 60.000 = 0.86602542兀按照传递公式，U = |cos0 U = 0.5 x 0.03 x = 0.00026x9360结果：x=（0.866030.00026） , UJx=0.03%值得指出，上述的简算方法不是绝对的。一般说来，为了避免在运算过程中数 字的取舍而引入计算误差，在运算过程中应多保留一位为妥，但最后结果仍应删去， 以间接测量值最后一位数字与不确定度对齐的原则为准。2、数字取舍规则数字的取舍采用“四舍六入五凑偶”规则，即：（1）被舍去数字的最高位为“4”或“4”以下的数字，则“舍”；若为“6” 或“6”以上的数字，则“入”。（2）欲舍去数字的最高位为“5”时，前一位为奇数，则“入”；为偶数，则 “舍”。即通过这种取舍，总是把前一位数凑成偶数。故又称之为“单进双不进”规 则。这样可以使“入”和“舍”的机会均等，可避免用“四舍五入”规则处理较多 数据时，因入多舍少而引入计算误差。举例说明如下，将下列数据取舍到小数后第二位：5.075.065.065.06数据运算是实验数据处理的一个中间过程。简算方法和数字取舍规则的采用， 目的是保证测量结果的准确度不致因数字取舍不当而受影响。当今人们已普遍使用 计算器计算数据，计算结果可以给出8 到 10位数字，但是，实验者必须会正确地判 别实验结果是几位有效数字，怎样用标准形式来表示实验结果。29 数据处理方法实验必然要采集大量数据，实验者需要对实验数据进行记录、整理、计算与分 析，从而寻找出测量对象的内在规律，正确地给出实验结果。所以说，数据处理是 实验工作不可缺少的一部份。下面介绍处理实验数据常用的四种方法。1、列表法对一个物理量进行多次测量，或者测量几个量之间的函数关系，往往借助于列表 法把实验数据列成表格。它的好处是，使大量数据表达清晰醒目，条理化，易于检 查数据和发现问题，避免差错，同时有助于反映出物理量之间的关系。列表格没有统一的格式，但在设计表格时要求能充分反映上述优点，实验者要 注意以下各点：（1） 表头必须注明表格名称和相应物理量的单位。（2）表内各栏目的顺序充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、 有条理。（3）反映测量值函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序 排列。2、图解法图线能够明显地表示出实验数据的关系，并且通过它可以找出两个量之间的数 学关系式。所以图解法是处理实验数据的重要方法之一，它在科学技术上很有用处。 用图解法处理数据，首先要求画出合乎规范的图线。为此要注意下列几点：1）作图纸的选择 作图纸有直角坐标纸（即毫米方格纸），对数坐标纸，半对 数坐标纸和极坐标纸等几种，根据作图需要进行选择。在物理实验中比较常用的毫 米方格纸（每厘米为一大格，其中又分成十小格）。由于图线中直线最易绘画，而且 直线方程的两个参数斜率和截距也较易算得。所以，对于两变量之间的函数关 系是非线性的情况，如它们之间的函数关系是已知的或者准备用某种关系式去拟合 曲线时，尽可能通过变量变换将非线性的函数曲线转变线性函数的直线。下面是几 种常见的变换方法。1）PV=C （C为常数），令u=1/V，则P=Cu。可见P与u为线性关系。| 4兀 22） T=2兀。令y=T2，则y=4兀2 。y与为线性关系，斜率为 -。ggg3）y=axb，式中a和b为常数。等式两边取对数得，log y=log a+blog x。于是log y与log x为线性关系，b为斜率，log a为截距。（2）坐标比例的选取与标度作图时通常以自变量作横坐标（X轴），以因变量作纵坐标（y轴），并标明坐标 轴所标明的物理量（或相应的符号）和单位。坐标比例的选取，原则上要做到数据 中的可靠数字在图上应是可靠的。坐标比例选得不适当时，若过小会损害数据的准 确度；若过大会夸大数据的准确度。并且使点子过于分散对确定图线的位置造成困 难。对于直线，其倾斜率最好在40。60。之间，以免图线偏于一方。坐标比例的选 取应以便于读数为原则，常用比例为1：1， 1：2， 1：5等系列（包括1：0.1， 1： 10），切勿采用复杂的比例关系，如 1：3， 1：7， 1：9， 1：11， 1：13 等。这样不 但绘制不便，而且读数困难和易出差错。纵横坐标的比例可以不同，并且标度也不 一定从零开始。可以用小于实验数据最小值的某一数作为坐标轴的起始点，用大于 实验数据最高值的某一数据作为终点，这样图纸就能被充分利用。坐标轴上每隔一定间距（如25cm）应均匀地标出分度值，标记所用的有效数 字位数应与实验数据的有效数字位数相同。（3）标出数据点 实验数据点用“+”符号标出，符号的交点正是数据点的位 置。同一张图上如有几条实验曲线，各条实验曲线的数据点可用不同的符号（如X,等）标出，以示区别。（4）描绘曲线由实验数据点描绘出平滑的实验曲线，连线要用透明直尺或三角板、曲线板等连接，要尽可能使所描绘的曲线通过较多的测量点。对于那些严 重偏离曲线的个别点，应检查标点是否错误。若没有错误，在连线时可舍去不予考 虑。其它不在图线上的点应均匀分布在曲线两旁。对于仪器仪表的校正曲线和定标 曲线，连接时应将相邻的两点连成直线，整个曲线呈折线形状。（5）注解和说明在图纸上要写明图线的名称、作图者姓名、日期以及必要的简单说明（如实验条件；温度、压力等）。直线图解法首先是求出斜率和截距，进而得出完整的线性方程。其步骤如下：1）选点。用两点法，因为直线不一定通过原点，所以不能采用一点法。在直线 上取相距较远的两点AEy）和B（x2,y2）此两点不一定是实验数据点，并用与实验数据 点不同的记号表示,在记号旁注明其坐标值。如果所选两点相距过近，计算斜率时会 减少有效数字的位数。不能在实验数据范围以外选点，因为它已无实验依据。2）求斜率。直线方程为y=a +bx,将A和B两点坐标值代入，便可算出斜率。即y yb = t 1 （单位）x x213）求截距。 若横坐标起点为零，则可将直线用虚线延长得到与纵坐标轴的 交点，便可求出截距，单位）x y x ya 二_11 2x x21下面介绍用图解法求两物理量线性关系的实例。例题：用惠斯登电桥测定铜丝在不同温度下的电阻值，数据记录见表2-9-1。求 铜丝的电阻与温度的关系。表 2-9-1铜丝的电阻与温度的关系温度t (t)电阻R (Q)温度t ( t )电阻R (Q)15.52.80740.33.05924.02.89745.03.10726.52.91949.73.1553112.96954.93.20735.03.00360.03.261解 以电阻R为纵坐标，温度t为横坐标，纵坐标选取2mm代表0.0100横坐 标2mm代表l.OoC，绘制铜丝的电阻与温度的关系曲线（见图2-9-1）。由图中数据 点分布可知，铜丝电阻与温度为线性关系，满足下面的线性方程，即R= a +pt圏2-Q-l 审绍:电Si写砒屋曲线在图线上取两代表点（q,R1）和（t2,R2）代入上式，得厂 R1=a + 卩 t1一 R2= a + 卩 t2从而可以计算出线性方程的斜率卩和截距a,即卩=R t R t 和廿a = 2i1 2t t2 1代表点的选取应考虑到它们之间的距离尽可能大些。这样不致于在两数相减（r2 R1）和（t2q）时，有效数字减少，而使得结果准确度降低。为此，取q=20.0C, R=2.853Q 和 t2=60.0 C，R2=3.255Q 代入得卩=0.0101Q/ Ca =2.652Q所以，铜丝电阻与温度的关系为R=2.652+0.0101t （Q）3. 逐差法在两个变量间存在多项式函数关系，且自变量为等差级数变化的情况下，用逐 差法处理数据，既能充分利用实验数据，又具有减小误差的效果。具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后两组，将对应项分别相减，然后 再求平均值。下面举例说明。在拉伸法测定钢丝的杨氏弹性模量实验中，已知望远镜中标尺读数x和所加砝 码质量m之间满足线性关系，m=kx,式中k为比例常数。等差地改变砝码个数（每个砝码质量为0.500kg),测得下列一组数据(见表2-9-2),计算k的数值。 表 2-9-2i次数祛码质量m (k)i标尺读数x (cm)i10x0.50015.9521x0.50016.5532x0.50017.1843x0.50017.8054x0.50018.4065x0.50019.0276x0.50019.6387x0.50020.2298x0.50020.84109x0.50021.47如果逐项相减，然后再计算每增加0.500 kg砝码标尺读数变化的平均值A7 , i即(x _ x ) + (x _ x ) +nion21329 A xiA x = 4in=0.613 cm于是比例系数k =丄=0613 = 1.23 x 10 _ 2 m / kg A m0.500这样，中间测量值共 7 个数据全部未用上，只用了始末两个数据，它与一次增 加 9 个砝码的单次测量等价。实验的准确度降低了。若改用多项间隔逐差，即 将上述数据分成后组( x10,x9,x8,x7,x6 ) 和前组 ( x5,x4,x3,x2,x1) ,然后对应项相减求平均值，即(x _ x ) + (x _ x ) + (x _ x ) + (x _ x ) + (x _ x )Ax = 1059483726155=53.07 + 3.04 + 3.08 + 3.07 = 3.06cm于是，k=嘉=总=122 x 10 _2 m / 炮Ax5是每增加5个砝码，标尺读数变化的平均值。这样全部数据都用上，相当 于重复测量 5 次，应该说，这个计算结果比前面的计算结果要准确些，它保持了多 次测量的优点，减少了测量误差。4最小二乘法（线性回归）将实验结果画成图线，可以形象地表示出物理规律，但图线的表示往往不如用函 数表示那样明确和定量化。另外，用图解法处理数据，由于绘制图线有一定的主观 随意性，同一组数据用图解法可能得出不同的结果。为此，下面介绍一种利用最小 二乘法来确定一条最佳直线的方法，从而准确地求得两个测量值之间的线性函数关 系（即经验方程）。由实验数据求经验方程，称之为方程的回归。回归法首先要确定函数的形式。函数形式的确定一般是根据理论的推断或者从实 验数据的变化趋势而推测出来。如果推断物理量x和y之间的线性关系，则可把函 数形式写成y= A + Bx （2-9-1）自变量只有 x 一个，故称为线性回归。这是方程回归中最简单最基本的问题。回归 法可以认为就是用实验的数据来确定方程中的待定系数。在一元线性回归中确定 A 和B,相当于作