复变函数-柯西积分定理.ppt

3.2 柯西积分定理 ?, )(,)(: 而与积分路径无关呢和终点有关 仅与积分路径的起点在什么条件下问题 C dzzfzf 即的积分为零内任意一条闭曲线沿函数 那么内处处解析在单连通域若柯西积分定理定理 ,)( ,)()( CDzf Dzf 0)( C dzzf ( ) , ( ) C f z D f z d z CC 推 论 如 果 在 单 连 通 域 内 处 处 解 析 则 与 路 线 无 关 ， 仅 由 路 线 的 起 点 及 终 点 来 确 定 。 ;)1(: DC 曲线说明 ( 2 ) , ( ) ,C D f z D C若 在 及 解 析 则0)( C dzzf ( 3 ) , ( ) , ,C D f z D C若 在 内 解 析 在 上 连 续 则 0)( C dzzf :,: 一定要注意定理的条件应用柯西定理时注意 单连通解析 Dzf ,)( 不能直接应用该定理。有奇点时，当 )( zf C dzzz )1( 12计算例 2 1|)2(; 2 1|)1( izCzC 为为 izizzzz 1 2 11 2 11 )1( 1: 2由于解 所以 21| z 21| iz dzizizzI C 1 2 11 2 11)1( dzizdzizdzz CCC 1211211 i2 CCC dzizdzizdzzI 1211211)2( 0 0 i2 0 0 i22 i 21| z 21| iz 。为其中验证下列积分值为零不经计算例 1|, zC CC dzzzdzzz )3)(2( 1)2(651)1( 322 。所以积分为 所包围的区域解析在由于解 0 ,1|)()1(: zzf )3)(2( 1)( zzzf )2( 。所以积分为 所包围的区域解析在由于 0 ,1|)( zzf 变上限积分与原函数二 . ),()()( 00 0 固定zDzzdfzF zz 称为变上限积分。 ()fz定 理 若 并且内解析在固定则函数 ,)()()( 0 0 DzdfzF zz )()( zfzF D在 单 连 通 区 域 内 解 析 :原函数 zz zfdfzF 0 )()()(, 的一个原函数。是显然 : , 尼兹公式 莱布可以得出复积分的牛顿利用原函数的概念 ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) f z D D F z F z f z F z f z 设 在 单 连 通 区 域 内 连 续 若 存 在 内 解 析 函 数 使 则 称 是 的 一 个 原 函 数 。 有则对一个原函数 的是内解析在单连通区域设定理 , )()(,)( Dba zfzFDzf )()()()( aFbFzFdzzf baba :注 积分法仍成立。 分步实函数的换元积分法和在求原函数时 ,)2( ;)1( 分路径无关的积分本公式只用于计算与积 ii dzz421 2计算积分例 232 3 1,: zzz 且在整个复平面上解析解 )1886(3131 42 1 342 1 2 izdzz i i i i si n , 1 | 22 C z zd z C i zi 例 计 算 积 分 其 中 是 由 原 点 沿 右 半 圆 周 到 点 的 曲 线 。 可得于是用分部积分法路径无关。 因而积分与在复平面内处处解析由于解 , ,s i n: zz 000s in s in c o s c o s ii i C z z d z z z d z z z z d z 1)s i n(c o s ieiiii 3.3 复合闭路定理 1 2 1 2 : , , ., , , ., () nn DC C C C C C C C f z D 复 合 闭 路 定 理 多 连 通 域 由 简 单 闭 曲 线 的 内 部 以 及 的 外 部 围 成 ， 全 包 含 在 的 内 部 ， 并 且 它 们 互 不 包 含 互 不 相 交 . 在 内 解 析 ， 在 其 边 界 连 续 ， 则 12 ( ) ( ) ( ) ( ) nC C C C f z d z f z d z f z d z f z d z 2C C 1C 证明的任一简单闭曲线是复平面包含设例 ,0zC 0,0 0,1 )( 1 2 1 1 0 n ndz zzi C n rCrzC 为半径的正向圆周为圆心内部作一个以在证 ,: 0 由于 0,0 0,2 )( 1 1 0 n nidz zzrC n 得由复合闭路定理 , rC nC n dzzzidzzzi 1 0 1 0 )( 1 2 1 )( 1 2 1 0,0 0,1 n n 。的任何正向简单闭曲线 在其内部为包含圆盘计算例 1|,12 zCdz zzC 处处解析。 两个奇点外、在复平面内除解 101)(: 2 zz zz zf 2C1C C :1,0 的圆周为圆心作两个互不相交以 zz 2211 |1|:|: rzCrzC :, 得到由复合闭路定理 21 222 111 CCC dzzzdzzzdzzz zzzzzz 1 1 1 )1( 11 2 由于 2211 11111112 CCCCC dzzdzzdzzdzzdzzz 2C1C C 00220 ii ,于 是 得 到 3.4 柯西积分公式 一、 柯西积分公式 则有对为正向简单闭曲线 连续在内处处解析在区域若定理 , ,)( 0 DzC DCDzf C dzzz zfizf 0 0 )( 2 1)( 称之为柯西积分公式。 ; ,)1(: 上的值通过积分来表示的值用它在边界一点 内部任可以把函数在通过柯西积分公式说明 Cz C 1 ( )() 2 C fo r f z d iz :)2( 积分表达式给出了解析函数的一个 )(2)( 0 0 zifdzzz zf C 0( 3 ) C D z积 分 曲 线 可 以 是 解 析 区 域 内 部 的 包 含 的 任 意 正 向 简 单 闭 曲 线 则围成 为圆周若定理中区域特别地 , :, 0 irezzCD 2 0 0 2 0 0 0 0 )( 2 1 )( 2 1)( 2 1 )( drezf idre re rezf i dz zz zf i zf i i i i C - 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值 . :)( 值沿圆周正向计算下列积分例 4|4| )3)(1( 13)2(co s2 1)1( zz dzzz zdzz zi 内解析在解 4|co s)()1(: zzzf 4|4| 0co s2 1co s2 1 zz dzz zidzz zi 1co s 0 zz 3 2 1 1 )3)(1( 13)2( zzzz z 4|4|4| 3211)3)(1( 13 zzz dzzdzzdzzz z 内包含在由于 4|3,1 zzz :,由柯西积分公式得到所以 iii 6222 上式 3,1)3)(1( 13)(: zCzz zzf 内有两个奇点在解法二 4|3,1 21 zCCzz 、作两个互不相交的圆以 得到由复合闭路定理 , 1 3 4 21 )()()( CCC dzzfdzzfdzzf 21 )3)(1( 13)3)(1 13 CC dzzz zdzzz z（ 21 3 1 13 1 3 13 CC dz z z z dz z z z 31 1 1322 3 13 zz z zii z z iii 642 1 3 4 1C 2C )1( 3,173)( 22 2 if yxCd z zf C 求 为正向圆周设例 ,: 内时在当由柯西积分公式知解 Cz ）173(2)173(2)( 22 zziizf z )76(2)( zizf 内在而 Ciz 1 )136(2)1( iif 所以 二、 高阶求导公式 ( ) , , , ( ) , f z D C D C f z D 定 理 设 在 内 解 析 在 连 续 为 简 单 正 向 闭 曲 线 则 的 各 阶 导 函 数 在 内 仍 解 析 且 , . . .2,1,)( )(2 !)( 01 0 0 )( nDzdzzz zf i nzf C n n ; )1(: 0 闭曲线 的简单正向内任何包含可以是含于说明 zDC ( 2 ) , , 上 述 公 式 不 在 于 通 过 积 分 来 求 导 数 而 在 于 通 过 通 过 求 导 数 来 求 积 分 即 )(!2)( )( 0)(1 0 zfn idzzz zf nC n :求下列积分值例 C iCdziz z 的简单正向闭曲线为任一包含,)( s i n)1( 3 所包含区域解析在解 Czs i n: izizC zi izdz iz z )s i n()!13( 2)(s i n )( s i n )2( 3 ii s in )(2 1 ee 1|:,)1( co s)2( 5 rzCdzz zC 解析解 zco s: 12)(c o s!4 2 )1( co s 5 1 )4( 5 izidz z z zC 22( 3 ) , : | | 1( 1 ) z C e dz C z r z 的奇点为解 22 )1(: z eiz z 21 CC iiz 、 相交互不包含的圆周分别为圆心作两个互不和以 所围区域解析在则 2122 )1( CCCz e z i i 21 222222 )1()1()1( C z C z C z dzz edzz edzz e 21 2 2 2 2 )( )( )( )( C z C z dz iz iz e dz iz iz e 2 2 )()!12( 2 )()!12( 2 iz z iz z iz ei iz ei 2 )1(2 )1( ii eiei )()(2 iiii eeiee 1co s1s i n1co s21s i n22 iii ,0 的简单正向闭曲线是不通过设例 zC 的值。求 C dz zz zzzg 3 0 24 0 )()( 内解析在的外部时在当解 Czz zzCz 3 0 24 0 )(,: 0)(, 0 zg有由柯西积分定理 有公式 由高阶导数设的内部时在当 , ,)(, 240 zzzfCz )(!22)( 00 zfizg izzi )16(2)212( 2020 : () ( ) 0 ( ) C f z D D C f z dz f z D Morera 定 理 若 函 数 在 单 连 通 域 内 连 续 ， 且 对 内 任 意 封 闭 曲 线 有 ， 则 在 区 域 内 解 析 。 : ( ) ( )f z f z Liouville 定 理 若 在 复 平 面 上 解 析 且 有 界 ， 则 恒 为 常 数 。