第八章电磁波的辐射

第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射1第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射 8.1 时变场的位函数 8.2 电基本振子的辐射 8.3 磁基本振子的辐射场和对偶原理 8.4 天线的电参数 8.5 对称振子天线 8.6 均匀直线阵 8.7 面天线的辐射 第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射2 电磁场理论和实践证明，随时间变化的电荷、电流分布会激发随时间变化的电磁场，时变电磁场可以脱离场源以波的形式向远处传播，这种现象称为电磁波的辐射电磁波的辐射。辐射电磁波的装置称为天线天线。天线既能辐射电磁波，又能接收电磁波，故称为无线电设备的“耳目”，它是无线电通信、导航、雷达、遥测、射电天文、电子对抗和信息战等应用系统的重要组成部分。严格地说，求解辐射问题就是根据天线的边界条件求解麦克斯韦方程组。然而，这种严格求解在数学上往往遇到很大的困难，有时甚至是不可能的。因此，实践中采用近似解法，即先近似求得场源分布，再根据场源分布（或等效场源分布）求辐射场。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射3 天线按形式大致可分为线天线和面天线两大类。线天线由半径远小于工作波长的金属导线构成，主要用于长波、中波、短波和超短波波段；面天线由尺寸大于工作波长的导体曲面构成，主要用于微波波段。由于这两类天线的不同特点，求解其辐射场的方法也不相同。对于前者，一般是由天线的电流分布求辐射场，而对于后者，则采用等效场源法求解口径面的衍射场。在本章中，首先根据麦克斯韦方程组引入时变场的位函数，建立其所满足的方程并得出滞后位解。据此求解两种基本辐射单元的辐射场，再由迭加原理讨论基本线天线的辐射。对于面天线，则从惠更斯原理出发，在已知口径面上电磁场分布的情况下求解辐射场。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射48.1 时变场的位函数时变场的位函数8.1.1 有源区域的波动方程 在电流、电荷的分布已知的情况下求解辐射场，其出发点是有源区域的麦克斯韦方程组：tDJH（8-1-1a）tBE（8-1-1b）D（8-1-1c）（8-1-1d）0 B第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射5 式（8-1-2）为有源区域的非齐次矢量波动方程。由于场源 和 以较复杂的形式出现在方程中，故根据场源分布直接求解方程（8-1-2）相当困难。为了简化分析，引入位函数的概念，由位函数间接地求解 和 。以及式（8-1-1c）、（8-1-1d），整理可得对式（8-1-1a）、（8-1-1b）取旋度，利用矢量恒等式 AAA2)()(JtHH222（8-1-2a）tJtEE222（8-1-2b）JEH第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射68.1.2 时变场的位函数 由麦克斯韦方程 ，对于时变场仍可以引入矢量位 ：0 BAAB （8-1-3）将式（8-1-3）代入式（8-1-1b），有)(AtE该式可写为0)(tAE由此可以引入标量位 ：tAE第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射7可见，可以用矢量位 和标量位 来共同表示时变电磁场。A将式（8-1-3）、（8-1-4）代入式（8-1-1a）和（8-1-1c），得到 和 所满足的方程：AtAE（8-1-4）即)(222tAJtAA（8-1-5a）)(2At （8-1-5b）采用洛仑兹规范：tA（8-1-6）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射8A和 的方程可简化为 JtAA222（8-1-7a）222t （8-1-7b）严格地求解达朗贝尔方程（8-1-7）仍很困难。这里将采用较为简单的方法进行求解，而把重点放在对于解的物理意义的理解上。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射9 设时变电荷 分布在体积元 内，以外无电荷分布。体积元 的总电荷可视为点电荷，所产生的电位为 。以电荷所在处为坐标原点，则 满足方程：8.1.3 滞后位VdVdVdd)0(0222rt（8-1-8）式（8-1-8b）为齐次波动方程。由于点电荷激发的电场具有球对称性，故在球坐标系中，标量位 仅与 有关。于是，r第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射100),(),(12222ttrrtrrrr（8-1-9）设 ，则上式变换为rtrutr),(),(0),(),(2222ttrurtru （8-1-10）式(8-1-8)可写为该式是标准的一维齐次波动方程，其通解为)(t)(t),(2211vrfCvrfCtru（8-1-11）其中，和 为常数；、是任意函数；v 为波的传播速度。1C2C1f2f第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射11 式(8-1-11)右边第一项表示沿 方向传播的波；第二项表示沿 方向传播的波。对于辐射问题，仅考虑第一项，故令 。所以 只要确定了函数 的形式，就求得了 。的函数形式应由位于坐标原点的电荷 确定。rr02C)-(1d1vrtfr（8-1-12）1f1fVtqd)(已知位于坐标原点的静止电荷 在 处所产生的电位为dVrrVrd41)(d （8-1-13）静态场是时变场的特例，比较式（8-1-12）和（8-1-13）d第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射12可得位于坐标原点的时变电荷 在空间任一点 处所产生的标量位为Vtd)(rrVvrttrd)(41),(d（8-1-14）如果电荷不位于坐标原点，而是在位置矢径为 的任一点上，令 ，则式（8-1-14）改写为rrrRRVvRtrtrd),(41),(d（8-1-15）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射13 上式表明，时刻空间任一点 处的标量位不是由该时刻体积V内的电荷分布所决定，而是由前一时刻 的电荷分布决定。也就是说场点的标量位变化滞后于场源的变化，滞后时间 正是电磁波传播距离 R 所需的时间。因此，式（8-1-16）所表示的标量位称为标量滞后位标量滞后位。由场的迭加原理，体电荷分布 在空间任一点 处所产生的标量位为),(trrVRvRtrtrVd),(41),(（8-1-16）tr)(vRt vR第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射14 综上所述，只要根据给定的电流分布 、电荷分布 ，由式（8-1-16）、（8-1-17）求出 和 ，再代入式（8-1-4）和（8-1-3），即可求得电磁场 和 。矢量位 的方程式（8-1-7a）可以分解为三个形式相同的标量方程，每个标量方程都具有与式（8-1-16）相似的解，即),(trA),(d),(4),(zyxiVRvRtrJtrAVii故矢量滞后位表示为VRvRtrJtrAVd),(4),(（8-1-17）JAEB第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射15 对于时谐电磁场，和 的复数形式为JtrJtrJje)(),(（8-1-18）trtrje)(),(（8-1-19）故时谐场的标量位和矢量位的复数形式为VRrrVkRde)(41)(jVRrJrAVkRde)(4)(j （8-1-20）（8-1-21）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射16 由电流连续性方程和洛仑兹条件可以得到，时谐场情形下，与 、与 有简单的关系：JAJj，Aj （8-1-22）可见，对于时谐场只要给定 ，也就确定了，因而电磁场确定。故时谐场情形下，只要由式（8-1-21）求出 ，便可确定电磁场 和 。JAEB 实际应用中，所求辐射场是被激发后离开场源的电磁场，通常可以利用下列方程求解：VRrJrAVkRde)(4)(j（8-1-23a）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射17AH1 （8-1-23b）HEj （8-1-23c）8.2 电基本振子的辐射电基本振子的辐射 电基本振子是一段载有均匀同相高频电流的直导线，其直径d 和长度 远小于波长，也称为电偶极子或电流元辐射体，它是一种基本辐射单元。l第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射188.2.1 电基本振子的电磁场 设电基本振子沿z轴放置，中点位于坐标原点，其上载有沿z轴的时谐电流 ，如图8-2-1所示。tItIje)(图8-2-1 球坐标系中的电基本振子及其矢量磁位 第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射19 对于沿z轴的线电流，有 ，由式（8-1-23a），该电基本振子所激发的矢量位：其中，。对 的场点 ，有 。将 其代入式（8-2-1），可得zIeVJzdd/2/2jde4)(llRkzRzIerA （8-2-1）cos2)(22222zrzrzzyxRlrrcoszrR/2/2)cos(jcosde4)(llzrkzzrzIerA （8-2-2）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射20 忽略电基本振子上各点与场点的距离不同对远区场振幅的影响，即忽略分母中的 。但是指数因子中的 一般不能忽略，因为 ，故还涉及另一个长度量波长 。只有当 时，电基本振子上各点的电流在场点不会引起显著的相位差，其影响才可以忽略。因此，式（8-2-2）可写为coszcosz2kl22)cos(jde4)(llzrkzzIrerA（8-2-3）对于电基本振子，有 ，于是lAelIrezIrerAzrkzllrkzj22je4de4)(（8-2-4）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射21在球坐标下，的三个分量分别为AcosAAr （8-2-5a）sinAA（8-2-5b）0A（8-2-5c）由式（8-1-23b），有0sincossinsin112rAArerererAHr第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射22可得rkrkrklIkHj22e)(1j4sin（8-2-6a）0HHr （8-2-6b）再由式（8-1-23c）HEj可得rkrrkrklIkEj323e)(j)(12cosd （8-2-6c）rkrkrkkrlIkEj323e)(j)(1j4sind（8-2-6d）0E （8-2-6e）可见，电基本振子的 和 相互垂直，在过振子轴线的平面内。在垂直于振子轴线的平面内。通常把场分为近区和远区加以讨论。EEHH第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射238.2.2 电基本振子的近区场（感应场）所谓近区是指场点与场源的距离远小于工作波长的区域，即 的区域。在此区域有12rkr32)(1)(11rkrkrk,1ejrk此时，式（8-2-6）中只取 的高次幂项，得到kr1cos2j3rlIEr（8-2-7a）sin4j3rlIE（8-2-7b）sin42rlIH（8-2-7c）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射24 另外，载流短导线上下两端有随时间变化的电荷聚集，其电荷量与导线中电流的关系为 。故载流短导线可视为一个振荡电偶极子，其偶极矩为 。式（8-2-7a）、（8-2-7b）可表示为qtqIjddlIlqpjcos23rpEr（8-2-8a）sin43rpE（8-2-8b）式（8-2-8）与静电场中电偶极子产生的电场表达式相同。因此，电基本振子近区场的性质与静态场的相似，称为准静态场。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射25 由式（8-2-7）可见，近区场中，电场和磁场的相差为 。因此没有能量的辐射，只有能量在电场与磁场之间相互转换。故近区场又称为感应场。2 应该指出，这些结论是在 的条件下，忽略了 、后得出的，是一个近似结果。实际上，正是这些被忽略的项构成了远区场中电磁波的辐射。1rkrk12)(1rk第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射268.2.3 电基本振子的远区场（辐射场）所谓远区是指场点距场源的距离远大于工作波长的区域，即 的区域。在该区域，有1rk32)(1)(11rkrkrk此时，式（8-2-6）中仅取 项，可得kr1rkrlIEjesin2j（8-2-9a）rkrlIHjesin2j（8-2-9b）0HHEErr（8-2-9c）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射27可见，与 同相，因而平均坡印廷矢量不为零：EH2*av2121Re21EeHEeHESrr（8-2-10）这表明，有电磁能量沿径向向外辐射。故远区场又称为辐射场。1辐射场的特性 电场只有 分量，磁场只有 分量，它们相互垂直，并且都与传播方向 相垂直。因此，电基本振子的辐射场是沿径向的TEM波。EHre 电场、磁场的振幅均与r 成反比，与l、（电长度）成正比，且满足 lHE（8-2-11）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射28 、的空间相位因子都是 ，等相位面是r为常数的球面，故辐射场是球面波。由于在等相位面上 、均是 的函数，所以是非均匀球面波。HrkEH 电基本振子的辐射具有方向性。在垂直于天线轴的方向（）上，辐射场最大；沿着天线轴的方向（和 ）,辐射场为零。o90o0o180E2方向性函数和方向图 方向性是天线辐射的一个重要特性，可用方向性函数和方向图来表征。辐射场的表达式中，振幅中与空间角度 有关的函数称为天线的方向性函数，由方向性函数绘制出的图形称为方向图。),(f第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射29 电基本振子的方向性函数为 ，其方向图如图8-2-2所示。图中，(a)为三维立体方向图，(b)和(c)分别为电场线所在平面（E面）和磁场线所在平面（H面）的二维方向图。sin),(f图8-2-2 电基本振子的方向图第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射303辐射功率和辐射电阻 以电基本振子的中点为球心，以r为半径（）作一球面，电基本振子的辐射功率全部通过该球面，其总辐射功率为lrrreHeESPd2d21d22avr20202ddsin)sin2(21rrlI220322)(31dsin)(41lIlI（8-2-12）若辐射场处在空气填充的空间中，则 ，代入上式可得1200第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射31其中 称为辐射电阻。rR由式（8-2-13）可得，电基本振子的辐射电阻为202r)(80lR （8-2-15）电基本振子辐射出去的能量对场源而言是一种损耗。可引入一个等效电阻，此等效电阻所消耗的功率就等于电基本振子的辐射功率，即r2r21RIP（8-2-14）2022r)(40lIP（8-2-13）由上两式可见，在电流幅度相同的情况下，越大，则 越强。天线的电长度越大，辐射电阻越大，辐射能力越强。rRrP第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射328.3 磁基本振子的辐射和对偶原理磁基本振子的辐射和对偶原理 磁基本振子是载有均匀同相高频电流的圆环导线，其直径d和长度l 都远小于波长，也称为磁偶极子。它也是一种基本辐射单元。求解磁基本振子辐射场的基本方法仍是根据式（8-1-23），其过程类似于电基本振子辐射场的求解；还可利用对偶原理，由电基本振子辐射场通过对偶变换得到。下面，先利用式（8-1-23）计算磁基本振子辐射场，然后介绍对偶原理方法。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射338.3.1 磁基本振子的辐射场 设磁基本振子位于xoy平面，圆环半径为 ，其上载有等幅同相时谐电流 。取坐标原点位于小圆环的中心，如图 8-3-1所示。atItIje)(图8-3-1 球坐标系中的磁基本振子第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射34 磁基本振子也是线电流分布，代入式（8-1-23a），有lIVJddlRklRIrAde4)(j（8-3-1）因为 ，故 。利用泰勒级数展开，被积函数中的指数因子可以近似为ar rR)(j1 eeeeej)(jj)(jjrRkrkrRkrkrrRkRk故式(8-3-1)可近似写为 lrklkRlkRrkRIlRIrAd)jj(114ede4)(jjllrklIklRIrkd4jd14e)j(1j（8-3-2）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射35 等式右边的第二项积分为零。第一项方括号中的表示式与稳恒线电流分布激发的矢量磁位具有完全相同的形式。利用3.5【例2】中圆形电流矢量磁位的计算结果，有sin4d14d142rISelrrIlRIll于是，磁基本振子的矢量位为rkkrrISerAj2esin)j1(4)(（8-3-3）由 ，得到其磁场的表达式为 AH1第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射36rkrrkrkSIkHj323e)(1)(jcos2（8-3-4a）rkkrrkrkSIkHj323e)(1)(j1sin4（8-3-4b）0H（8-3-4c）再由 ，得到其电场为HEjrkrkrkSIkEj23e)(1jsin4j（8-3-4d）0EEr（8-3-4e）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射37 可见，电场和磁场相互垂直，在包含圆环法向的平面内，在平行于圆环的平面内。HE 磁基本振子的电磁场也分为近区和远区加以讨论，这里我们仅讨论远区场，即辐射场。对于远区，式（8-3-4）中仅保留 项，于是得到1rkrk1rkrSIEj2esin（8-3-5a）rkrSIHj2esin（8-3-5b）0HHEErr（8-3-5c）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射38磁基本振子的辐射功率为 HSPd2d2avrddsin)sin(212220 02rrSI2223032223)(34dsin)(SISI（8-3-6a）若辐射场处在空气填充的空间中，辐射功率为402622024r)(160)(160aISIP（8-3-6b）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射39其辐射电阻为4062r)(3202aIPR（8-3-7）将磁基本振子的辐射场表达式（8-3-5）和电基本振子的辐射场表达式（8-2-9）加以比较，可知，两种基本振子的 相互垂直，也相互垂直。利用这一特性，可用一个电基本振子和一个磁基本振子，并使振子轴线与小圆环平面中心法向相重合，构成圆极化波天线。EH第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射40 麦克斯韦方程组的两个旋度方程及两个散度方程是不对称的，如果引入磁荷和磁流的概念，就可以将麦克斯韦方程组改写为对称的形式。如果两个方程具有相同的数学形式，这两个方程就称为对偶方程，方程中对应位置的物理量称为对偶量。若已知一个方程的解，通过对偶变换便可写出其对偶方程的解，该原理称为对偶原理。8.3.2 对偶原理 假设存在磁荷和磁流。仿照电流、电荷之间的关系，可定义磁流：tqIddmm（8-3-8）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射41并且有磁流连续性方程：tJmm（8-3-9）与电荷产生电场，电流产生磁场相对应，可认为磁荷产生磁场，磁流产生电场。于是麦克斯韦方程组可写为下面对称的形式：EJHj（8-3-10a）HJEjm（8-3-10b）m B（8-3-10c）D（8-3-10d）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射42 按式（8-3-10a），电流所产生的磁场与电流满足右手螺旋关系，故式（8-3-10b）等号右边的负号表示磁流所产生的电场与磁流成左手螺旋关系。在方程组（8-3-10）中出现了两种类型的场源：电型源电荷 和电流 ，以及磁型源磁荷 和磁流 。根据场的叠加原理，电磁场可视为这两种源所产生场的叠加，即JmmJmeEEE（8-3-11a）meHHH（8-3-11b）其中，下标e和m分别表示由电型源和磁型源激发的场。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射43 将式（8-3-11）代入式（8-3-10），便可得到 、和 、所分别满足的麦克斯韦方程组：eEmEeHmHeejEJH（8-3-12a）eejHE（8-3-12b）0e B（8-3-12c）eD（8-3-12d）和mmjEH（8-3-13a）mmmjHJE（8-3-13b）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射44mm B（8-3-13c）0m D（8-3-13d）与方程组（8-3-12）对应的边界条件为0)(e1e2nEEe （8-3-14a）SJHHe)(1e2en （8-3-14b）SDDe)(1e2en（8-3-14c）0)(1e2enBBe（8-3-14d）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射45与方程组（8-3-13）对应的边界条件为SJEEem1m2mn)(（8-3-15a）0)(1m2mnHHe （8-3-15b）0)(1m2mnDDe（8-3-15c）SBBem1m2mn)(（8-3-15d）显而易见，式（8-3-12）与（8-3-13）是对偶方程，边界条件（8-3-14）与（8-3-15）也是对偶的，其对偶量的对偶关系为meHEmeEHmJJm，（8-3-16）如果有两个问题，一个满足式（8-3-12）和（8-3-14），另一个满足式（8-3-13）和（8-3-15），则后者的解可以由前者的解做对偶量变换得到，反之亦然。这就是电磁场的对偶原理。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射46 下面应用对偶原理，利用电基本振子的辐射场计算结果，导出磁基本振子的辐射场。电基本振子的辐射场由式（8-2-9）给出，利用式（8-3-16），对其进行对偶量置换，可得rkrlIHjmesin12j（8-3-17a）rkrlIEjmesin2j（8-3-17b）0HHEErr（8-3-17c）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射47 关键在于写出磁基本振子的磁流 。磁基本振子的磁偶极矩 与圆环电流 I 的关系为mImp)(S)(nmtIetISp（8-3-18）其中，为圆环面积，其法向单位矢量 与圆环电流I成右手螺旋关系。2aSne 引入磁荷概念后，仿照电偶极矩与电荷的定义，磁偶极矩可定义为lqlqpzmmme（8-3-19）由式（8-3-18）和（8-3-19），可得磁基本振子的磁荷为ltIStq)()(m（8-3-20）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射48将上式代入磁流的定义式（8-3-8），可得磁基本振子的磁流为IlStIlStqIjddddmm（8-3-21）将式(8-3-21)代入（8-3-17），就得到了磁基本振子的辐射场：rkrISHj2esin-rkrISEj2esin0HHEErr结果与式（8-3-5）相同。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射498.4 天线的电参数天线的电参数 天线的电参数包括方向图、主瓣宽度、主瓣张角、旁瓣电平、方向性系数、天线效率、增益、极化形式、输入驻波比、输入阻抗和频带宽度等，它们是描述天线辐射性能的参量。8.4.1 归一化方向性函数与方向图 由天线的方向性函数绘制的图形称为天线方向图。在绘制方向图和比较不同天线的方向特性时，常采用归一化方向性函数，其定义为相同 r 的球面上 点的场强与最大场强之比，即),(maxmax),(),(),(ffEEF（8-4-1）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射50另外，常用的还有功率方向性函数，其定义为),(),(2FFP （8-4-2）设某天线的方向图如图8-4-1所示。该方向图呈现出多波瓣，有主瓣、第一旁瓣、第二旁瓣和尾瓣。旁瓣也称为副瓣，尾瓣也称为后瓣。图8-4-1 极坐标系下的方向图第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射511.主瓣宽度 主瓣宽度定义为主瓣最大辐射方向（主向）两侧 或 的两矢径之间的夹角，记为 ，也称为半功率角或3dB主瓣宽度。主瓣宽度愈小，天线辐射的能量愈集中，即方向性愈强。707.0),(F5.0),(PF5.022.主瓣张角 主瓣张角定义为主瓣两侧两个零辐射矢径之间的夹角，记为 ，也称为零功率主瓣宽度。023.旁瓣电平 旁瓣电平定义为第一旁瓣最大辐射方向的功率密度 与主瓣最大辐射方向上的功率密度 之比，通常用分贝表示，即1S0S第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射52dB)(lg20lg100101SLLEESSP（8-4-3）方向图的旁瓣是所不希望的，故在天线设计中应使旁瓣电平尽可能地低。4.前后比 前后比也称前后抑制比，定义为尾瓣的最大辐射方向的功率密度 与主瓣最大辐射方向上的功率密度 之比，通常用分贝表示，即bS0SdB)(lg20lg100b0bFBREESSP（8-4-4）方向图的尾瓣也是所不希望的，故应尽量降低。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射538.4.2 方向性系数 方向性函数或方向图能够表示天线各方向辐射的相对大小，但不能明确表示场在特定方向上能量集中的程度，即聚束能力。为了定量描述天线辐射能量的集中程度，引入方向性系数。方向性系数定义为在辐射功率相同的条件下，定向天线在主向远区某点的功率密度与理想的无方向性天线在该点的功率密度之比，即相同相同，相同相同，rPrPEESSD202max0max（8-4-5）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射54 方向性系数也可定义为定向天线在主向远区r 处得到相同电场强度E的条件下，理想天线的辐射功率与被研究天线的辐射功率之比，即相同，相同 ErPPD,r0（8-4-6）理想的无方向性天线可视为点源天线，在空气空间中，其辐射功率为0202020244ErSrP（8-4-7）对于被研究的天线，其辐射功率为 ESPd),(21d),(20avrddsin),(2220 0202maxrFE （8-4-8）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射55 由式（8-4-7）和（8-4-8），根据式（8-4-5）或（8-4-6），可得20 02ddsin),(4FD（8-4-9）欲使天线的方向性系数大，不仅要求主瓣窄，而且要求全空间的旁瓣电平小。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射568.4.3 其它电参数1.天线效率 天线效率定义为天线的辐射功率与输入功率之比，记为 ，即ALrrinrAPPPPP（8-4-10）式中，为天线的导体损耗、介质损耗和感应等损耗的总和。LP由于 可视为等效辐射电阻 的功率损耗，若把 视为等效损耗电阻 的损耗功率，则有 rPrRLPLRLrrARRR（8-4-11）可见，欲提高天线效率，就要提高 ，减小 。常用微波天线的 。rRLR1A第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射572.天线增益 天线增益是综合衡量天线能量转换和方向特性的一个参数，定义为在输入功率相同的条件下，定向天线在主向远区某点的功率密度与理想无方向性天线在该点的功率密度之比，理想无方向性天线的 ，即 。或定义为定向天线在主向远区r 处产生相同电场强度E的条件下，理想天线所需的输入功率与被研究天线所需的输入功率之比，即1A0inPP 相同相同相同相同rErPPPSSG,in0,0maxin（8-4-12）将式（8-4-6）和式（8-4-10）代入，可得DGA （8-4-13）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射583.极化形式 某天线的极化形式是指在该天线的最大辐射方向上电场的极化状态。常用的有线极化波天线和圆极化波天线两类。线极化波天线又分为水平极化和垂直极化两种；圆极化波天线又分左旋圆极化和右旋圆极化两种。在通信和雷达中，通常采用线极化波天线，但若相互通信中的一方处于剧烈摆动或高速运动状态时，则常采用圆极化波天线。例如在电磁干扰和电子对抗应用中，就采用圆极化波天线。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射594.输入阻抗 天线的输入阻抗是指天线馈电点向天线看入的阻抗，欲使天线效率高，就必须使天线与馈线良好的匹配。天线的输入阻抗定义为天线输入端（馈电点）的电压与电流之比，即inininininjXRIUZ（8-4-14）一般取天线的输入阻抗等于馈线的特性阻抗，即 ，可达到无反射匹配。0inZZ第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射605.频带宽度 天线的电参数与频率有关，当工作频率偏离所设计天线的中心频率时，会引起天线电参数的变化。天线的频带宽度定义为所有电参数均在所要求的范围内时，所对应的频率范围，简称天线带宽。8.5 对称振子天线对称振子天线 由横截面半径远小于波长的金属导线构成的天线称为线天线。线天线广泛用于通信、广播电视、雷达等无线电系统中。这里仅讨论对称振子天线，它是一种常用的线天线。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射618.5.1 对称振子天线的辐射场 对称振子天线由两根直径和长度均相同的导线所构成，其结构如图8-5-1所示。设对称振子沿z轴放置，其中心位于坐标原点，每一个臂长为l，总长度为2l。图8-5-1 对称振子天线第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射62 根据传输线理论，对称振子上的电流分布可近似表示为lzlzlkItzI)(sin),(m（8-5-1）式中，为驻波电流的波腹值；为相位常数。mI2k 由于沿天线分布的电流不再是振幅和相位处处相同的均匀电流，因此不能将整个天线看作一个电基本振子。但可以将对称振子分解为无限多个电流元，每一个电流元即是一个电基本振子。这无限多个基本振子的辐射场的叠加即为天线的辐射场。为便于计算，在对称振子上取对称点z和-z，在两对称点处各取一个长度相同的电流元 。由式（8-2-9a），这两个电基本振子的辐射场分别为zIezd第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射631j11esin2d)(jdrkrzzIE（8-5-2a）2j22esin2d)(jdrkrzzIE （8-5-2b）其中，、分别表示z和-z处的电流元与场点的距离。1r2r 设场点的位矢为 ，故可认为各电流元至场点的距离矢径 与场点的位矢 相互平行。由图8-5-1可知rlr irrcos1zrrcos2zrr，（8-5-3）将式（8-5-3）代入（8-5-2），并在分母中忽略 ，即分母中的 可写为 ，此即忽略各电流元 与场点间距离的不同对远区场振幅的影响。但是指数因子中的 cosz21,rrrrr21zIezdcosz第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射64 不能忽略，因为的 线度为l，而 l 并不满足 。因此各电流元将在场点引起显著的相位差，其影响不可忽略。zl于是，两个对称电流元的辐射场之和为)ee(sin2d)(jddd21jj21rkrkrzzIEEErkzkzkzlkrzIjcosjcosjme)ee)(sinsin2djrkzkzlkrzIjme)coscos()(sinsindj （8-5-4）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射65整个对称振子在远区场点所产生的电场为zzkzlkrIElrkd)coscos()(sinesinj0jmrkklklrIjmesin)cos()coscos(2j（8-5-5a）rkklklrIEHjmesin)cos()coscos(2j（8-5-5b）由式可见，对称振子的辐射场为球面波，电场只有 分量，磁场只有 分量，是沿径向传播的TEM波，这与电基本振子的辐射特性相似。但对称振子的方向性与电基本振子显著不同。EH第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射668.5.2 对称振子的方向性函数和方向图由式（8-5-5）可知，对称振子的方向性函数为sin)cos()coscos(),(klklf （8-5-6）可见，对称振子的方向性函数仅与 有关，而与 无关。因此，H面方向图是个圆，也就是说H面无方向性；E面方向图关于z 轴对称，也关于 的平面对称，其形状随对称振子的电长度 的不同而不同。图8-5-2分别给出了 、和 四种情况下，沿z方向放置的对称振子的E面方向图。2l4l2l43ll第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射67图8-5-2 不同电长度对称振子的E面方向图第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射68 由图可见，当 时，E面方向图均为8字形，最大辐射方向在 的方向上，且随电长度的增加，波瓣变尖锐；当 时，方向图除主瓣外，还出现旁瓣，这是由于对称振子 上出现了反向电流；当 时，E面方向图是相同大小的四个波瓣，其立体方向图为两个波瓣。通常选取 ，常用的是 的半波对称振子，其方向性函数为o90 l2l2l4lsin)cos2cos(),(),(Ff（8-5-7）2l第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射698.5.3 对称振子的辐射功率与辐射电阻 以对称振子的中点为球心，以r为半径作一球面，且 ，并设空间为空气填充，则其总辐射功率为lr ddsin21d220 020avrrESPdsin)cos()coscos(40202mklklI （8-5-8）辐射电阻为dsin)cos()coscos(2020rklklR（8-5-9）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射702m0202mr56.36dsin)cos2(cos4IIP)(13.73dsin)cos2(cos2020rR（8-5-10）（8-5-11）对于半波对称振子，将 代入上两式，可得，其辐射功率和辐射电阻分别为4l第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射718.6 均匀直线阵均匀直线阵 为了提高天线的方向性或得到所需的辐射方向，往往采用阵列天线，简称天线阵。所谓天线阵是将许多相同的辐射单元按一定规律排列构成的辐射系统。构成天线阵的辐射单元称为阵元，它可以是任意形式的独立天线。这些阵元的中心可以是排列在一条直线上或一平面上或三维空间内，分别称为直线阵或面阵或体阵。这里只讨论直线阵。如果直线阵由N个具有相同电流振幅、电流相位按等差级数递增或递减的阵元等间距、同极化方向排列构成，则称为N元均匀直线阵，各阵元中心的连线称为阵轴。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射72第i 个阵元上的电流为NiIIIiii3,2,1,ee1)-(j1j1（8-6-1）第i个阵元中心距远区场点的距离可表示为 设N元均匀直线阵的阵轴沿x方向，阵元为对称振子，振子轴线沿z方向，相邻阵元的间距为d，相邻阵元电流的相位差为 ，各阵元至场点的距离矢径分别为 ，与阵轴之间的夹角为 ，如图8-6-1所示。Nirrrr、21ir8.6.1 均匀直线阵的辐射场Nidirdrrii3,2,1,cos)1(cos11（8-6-2）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射73图8-6-1 N元均匀直线阵第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射74 忽略 的差别对场点幅度的影响，第i个阵元在场点所产生的电场为irNiEEEdkidkii3,2,1,ee)cos(1)-(j1)cos(j1（8-6-3）coskd（8-6-4）则式（8-6-3）可写为NiEEii3,2,1,e1)-(j1（8-6-5）各阵元在场点所产生的电场的叠加即为均匀直线阵的辐射电场：令NiiNiiEEE11)-j(11e（8-6-6）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射75其中，是首项为 ，公比为 的等比级数前N项和。利用等比级数求和公式，可得1)-(jj2j1)1-(jeee1eNNii11ajeq)21sin()2sin(e)ee(e)ee(ee1e1e21j21j21j21j2j2j2jjj11)-j(NNNNNNNii（8-6-7）代入式（8-6-6），有21j121j1e),(e)21sin()2sin(NNNfENEE（8-6-8）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射76式中)21sin()2sin(),(NfN （8-6-9）称为阵因子方向性函数，简称阵因子，阵因子与阵元本身的结构尺寸和取向无关。由对称振子场的表达式（8-5-5 a），有11j110mj10m1e),(2jesin)cos()coscos(2jrkrkfrIeklklrIeE（8-6-10）式中，为阵元的方向性函数，也称阵元因子。阵元因子仅取决于阵元的结构尺寸和取向，与阵元的排列方式无关。),(1f第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射77将式（8-6-10）代入式（8-6-8），可得)21j(110m1e),(),(2jNkrNffrIeE)21j(10m1e),(2jNkrfrIe（8-6-11）可见，均匀直线阵的方向性函数为),(),(),(1Nfff（8-6-12）上式表明，均匀直线阵的方向性函数为阵元因子和阵因子的乘积，则称为方向性函数乘积原理。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射78 方向性函数乘积原理可以推广到面天线阵和体天线阵。设沿x方向为N元均匀直线阵，沿z方向有M行等间距排列的N元均匀直线阵，则构成NM元均匀面阵，该面阵的总方向性函数为),(),(),(),(1MNffff（8-6-13）设在xo z平面上为NM 元均匀面阵，沿y方向有P列NM 元均匀面阵（一般P=2），则构成NM P元均匀体阵，该体阵的总方向函数为),(),(),(),(),(1PMNfffff（8-6-14）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射798.6.2 均匀直线阵阵因子特性1.阵因子主向 使阵因子取极大值的方向称为阵因子主向。令 ，即可求出阵因子的主向。0d),(dNf由式（8-6-9）和（8-6-4），可得均匀直线阵阵因子的主向：)arccos(mkd（8-6-15）由上式可知，均匀直线阵的阵因子主向与阵元间距、波长以及阵元间的馈电相位差有关。当 确定后，阵因子主瓣指向随 而变化。当 ，即各阵元电流等幅同相时，m=90，d0第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射80主向在与阵轴相垂直的平面内，于是称之为均匀边射阵或均匀侧射阵。当 或 时，m=0 或 m=180，主向在阵轴方向，故称为均匀端射阵。当 及 时，称为斜射阵。若 从 变到 ，主向便从 变到 ，从而实现了波束扫描，这就是相控阵雷达天线的基本原理。kd0kdkdkdo0o1802.阵因子主瓣宽度 均匀直线阵的归一化阵因子方向性函数为kdNfffFNNN),()(),(),(max（8-6-16）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射81 由主瓣宽度的定义，即令 。对于均匀边射阵和均匀斜射阵，当天线阵的电长度 较大时，做相应的近似处理，可得阵因子主瓣宽度为707.0),(FNd120.5mom5.0sin51rad)(sin886.02NdNd（8-6-17a）对于端射阵而言，当 时，做相应的近似处理，可得120.5NdNdo5.0108rad)(886.022 （8-6-17b）由式（8-6-17）可见，在相同阵元、相同间距和相同频率条件下，均匀边射阵的主瓣宽度最小，均匀端射阵的主瓣宽度最大，第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射82均匀斜射阵的主瓣宽度介于均匀边射阵和均匀端射阵之间，且与有 关。m3旁瓣电平由式（8-6-9），令 ，当N足够大时，做相应的近似处理，可得旁瓣电平的表示式：1)2sin(N3,2,1dB)()12(2lg20)(SLLiiPi（8-6-18）由此知，第一旁瓣电平为dB)(5.1332lg20SLLP（8-6-19）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射838.7 面天线的辐射面天线的辐射 微波波段常用的是面天线，面天线也称为口径面天线，其口径尺寸远大于工作波长。常见的面天线有喇叭天线、抛物面天线、卡塞格伦天线、波导缝隙阵列天线等。面天线广泛应用于微波中继通信、卫星通信、卫星电视广播以及雷达、导航和电子对抗等无线电系统中。分析面天线常用的方法是口径面场法。口径面场法求解辐射场分为两个步骤：先作一个包围天线的封闭面，求出该封闭面上的场；然后根据惠更斯原理，利用该封闭面上的场求出空间辐射场。第一步为求解内场问题，第二步为求解外场问题。我们仅讨论求解外场问题，即在已知口径面上场分布的情况下求解辐射场。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射848.6.3 例题分析 由半波对称振子构成的均匀二元阵如图8-6-2所示。求该天线阵的归一化方向性函数，并用方向性函数乘积原理定性绘制 E面和H面的方向图。1.设阵元间距 ，阵元馈电为等幅同相，相位差 ；2d02.设阵元间距 ，阵元馈电为等幅反相，相位差 ；2d3.设阵元间距 ，阵元馈电幅度相等，相位差 。4d2第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射85第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射86 将 代入式（8-6-9），并由式（8-6-4），可得二元阵的阵因子方向性函数为 2N)cos(21cos22cos22sin2cos2sin22sinsin),(2kdf已知半波对称振子的归一化方向性函数为 sin)cos2cos(),(1F第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射87则该二元线阵的归一化方向性函数为)cos(21cossin)cos2cos(),(),(),(21kdFFF 1、将 ，代入式，可得 2d0)cos2cos(sin)cos2cos(),(F E面是过z轴（常数）的平面，有无限多个。仅考虑两个：xoz平面和yoz平面。对于xoz平面，在第一像限内，由式，该平面的归一化方向性函数为 2第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射88)sin2cos(sin)cos2cos(),(F其方向图为 对于yoz平面，则该平面的归一化方向性函数为 21sin)cos2cos(),(F第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射89其方向图为 H面，（xoy平面），则该平面的归一化方向性函数为 2)cos2cos(1),(F第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射90其方向图为 2.，由式，该情况下，归一化方向性函数为 2d)cos2sin(sin)cos2cos(),(F 由式可得xoz平面（E面）的归一化方向性函数为 第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射91)sin2sin(sin)cos2cos(),(F方向图为 yoz平面（E面）的归一化方向性函数为 00sin)cos2cos(),(F第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射92方向图为 H 面（xoy 平面）的归一化方向性函数为)cos2sin(1),(F方向图为 第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射933.，由式，该情况下，归一化方向性函数为 4d2)1(cos4cossin)cos2cos(),(Fxoz平面（E面）的归一化方向性函数为)1(sin4cossin)cos2cos(),(F方向图为 第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射94yoz平面（E面）的归一化方向性函数为 22sin)cos2cos(),(F方向图为 第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射95方向性函数为)1(cos4cos1),(Fxoy平面（H面）的归一化方向性函数为 第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射96 设闭合曲面S内的源在闭合曲面S上产生的标量函数为 ，源在闭合曲面S外某一点P所产生的标量函数为 ，可视为是由S上的标量函数 产生的。下面应用格林第二恒等式：8.7.1 基尔霍夫公式 惠更斯原理指出，任何波阵面上的任一点都可以看作一个新的子波源，它们发出球面次波，这些次波叠加组成新的波阵面。根据惠更斯原理，包围波源的闭合面（称为惠更斯面）上任一点的场均可以认为是一个子波源，闭合面外任一点的场是闭合面上各子波源在该点处所产生的场的叠加。PPSVSVd)(d)(22（8-7-1）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射97 由 计算 的公式基尔霍夫公式，它是惠更斯原理的数学描述。P图8-7-1 惠更斯原理第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射98 取无限大闭合曲面 包围整个空间场域，闭曲面S包围场源，于是S与 所包围的区域V是无源区，如图8-7-1所示。设区域V内某定点P的位矢为 ，任意点 处的标量函数为 ，则 满足齐次亥姆霍兹方程：SSrr)(r)(r0)()(22rkr（8-7-2）式中，表示对 求导。r 令格林第二恒等式（8-7-1）中函数 为RrrrrGkRrrk4e4e),(jj（8-7-3）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射99其中，称为格林函数，当 时满足齐次亥姆霍兹方程：),(rrGrr0),(),(22rrGkrrG（8-7-4）因为 点是格林函数的奇异点，以P点为球心作半径为a的小球面 ，将该点排除。记 所包围的空间区域为 。因此，在 的区域中，和 均具有二阶连续偏导数，可以应用格林第二恒等式，故有rr0S0S0V0VV)(r),(rrGSGGVGGSSSVVd)(d0022（8-7-5）将式（8-7-2）和（8-7-4）代入式（8-7-5）左边，可得0d)()(d222200VkGGkVGGVVVV第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射100式（8-7-5）变为 SGGSSSd)(0（8-7-6）先考虑右边的第三项。由于场源分布在有限区域，在足够远的界面上 ，；，；而 。因此当 时，上的面积分为零，即SR121RRnRG121RRG2 RSRS0d)(SSGG（8-7-）)0d)(d)(SSSGGSGG0d)(SSGG第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射101 再考虑式（8-7-6）右边的第二项。将式（8-7-3）代入，有0d)(SSGGSaSakaSakSakde41de)j1(4100jj2（8-7-8）上式等号右边第二项的积分为VkVSVVSddd00022 （8-7-9）现在令 ，使曲面 收缩到P点，因为体积 内各点的 值有限，所以积分（8-7-9）为零。于是式（8-7-8）变为0a0S00V0V)(de)j1(41d)(00j2rSakaSGGSkaS（8-7-10）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射102 将式（8-7-7）和（8-7-10）代回式（8-7-6），可得空间点 P的标量函数：式中，在闭合曲面S上。SrrrGrrGrrd)(),(),()()(S（8-7-11）r 电磁场的任一直角坐标分量均满足式（8-7-11），故场的矢量表达式为SrErrGrrGrErEd)(),(-),()()(S（8-7-12）第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射103SrHrrGrrGrHrHd)(),(-),()()(S（8-7-13）式（8-7-12）和（8-7-13）即为矢量场的基尔霍夫公式。由此可见，当包围场源的闭合曲面上的 和 已知时，便可以通过面积分求得闭合曲面外任一点的电磁场。EH 对于实际口径面天线而言，其有效辐射面仅仅是封闭曲面S上的一部分，如喇叭天线和抛物面天线的口径面，因此，对封闭曲面的积分就变为对口径面的面积分。第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射104 设天线口径面位于 的平面，其上电磁场的某一坐标分 量 已知。在口径面上取一惠更斯元 ，其法向为z方向，如图8-7-2所示。图8-7-2 口径面的辐射Sd0z8.7.2 口径面的辐射场 第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射105SkSzSzdjdd00（8-7-14）kRRkRkRkRkRRkRGj22jej)(14e4e)j1(（8-7-15）对于远区，可认为 ,即 ,由于 ,故仅取 项,则有rR/RkR1SRkSRkSGkRkRdcos4ejdcos4ejdjj（8-7-16）因此，在惠更斯元上有zkrrj0e)()(设惠更斯元上场的传播方向为z方向，则其上的场可以表示为第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射106SRrrkRSd)ecos(1)(21j)(j0（8-7-17）最常见的口径面是矩形口径面。若口径面上各点场的相位相同且振幅相等，称为同相等幅矩形口径面；若口径面上各点场的相位相同，而振幅按一定规律分布，称为同相不等幅矩形口径面。将式（8-7-14）和式（8-7-16）代入式（8-7-11），可得整个口径面S上的场在 处所产生的辐射场：r第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射107 同相等幅口径面只是一种理想情况，分析它的目的在于把实际遇到的情况与之比较，从而对实际天线进行评价。1.同相等幅矩形口径面的辐射场8.7.3同相等幅矩形口径面的辐射 设矩形口径面的尺寸为 ，且 ，。取口径面位于z=0平面，如图7-8-3所示。ba22 a2b2 设均匀平面波从-z向+z方向投射到该口径面上，该口径面上的场分布为zkyrErEj0)e(e)(第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射108图7-8-3 均匀同相矩形口径面的辐射场第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射109 由式（8-7-17）可得，口径面外位矢为 的场点P处的辐射电场为ryxREEkRbbaaP d)dcos(1e12jj0 （8-7-18）式中，R为口径面上点 处的惠更斯元与场点P之间的距离：)0,(yx2222222222)()(yxyyxxzyxzyyxxR222222)()()(2122ryrxyyxxrryxyyxxr对于远区，上式可以近似写为 。xryrryyxxrR即 ，则cossinrx sinsinry 第八章第八章 电磁波的辐射电磁波的辐射110 bbaayxkrkPyxrEEdde)cos(1e2j)sincos(sinjj0rkyrabEj22110esinsin2)cos(14je（8-7-19）其中，。cossin1kasinsin2kb由式（8-7-19）可知，辐射场的归一化方向性函数为2211sinsin2)cos(1),(),(fF),(),(),(),(),(11NyxFFFFF（8-7-