1-麦克斯韦速度分布

实验一麦克斯韦速率分布函数的实验验证十九世纪物理学的两大成就电磁学和统计物理的理论建树都联系着麦克斯韦(J.C.Maxwell)的巨大贡献。在原子、分子仅是化学家的猜想假说的背景下，1859年麦克斯韦把一瓶气体看作宏观总体，去分析组成这一总体的微观分子速率为不同值者在给定温度下各占多少(相对)，运用概率理论导出了著名的麦克斯韦速度分布率，提出并解决了分子运动速率的分布问题。他的这一工作奠定了气体统计力学的基础，标志着物理学新纪元的开始。这至今仍被人们认为是科学史上的佳活。【实验目的】了解气体分子速率分布的统计规律性，掌握一种验证麦克斯韦速率分布函数的实验方法【实验原理】根据理想气体分子运动的统计假设，各个分子运动的速度各不相同，而且通过碰撞不断发生改变。对一个分子来说，在任何时刻它的速度的方向和大小受到许多偶然因素的影响，因而是不能预知的。但理论和实验都证明，从整体上讲来，这些分子的速度是受一定规律支配的。现以气体分子的速率在整体上所遵循的规律来说明这一点。麦克斯韦速率分布定律和速率分布函数从微观上来说明一定质量的气体中所有分子的速率状况时，因为分子数极多，而且由于分子间不断地发生碰撞，各分子的速率又是偶然地忽大忽小地改变的，所以不可能给出各个分子在任一时刻的速率。又因为在热学研究中，我们关心的实际上是气体的宏观性质，而宏观性质又总是大量气体分子运动的总的平均效果，所以也没有必要确切地知道每个分子在任一时刻的速率。因此，从微观上讨论一定量气体中分子的速率状况时，只需说明在总数为N的分子中，具有各种速率的分子数有多少，或它们占分子总数的比率有多大，即分子按速率的分布。按经典力学的概念，气体分子的速率可以连续地取从0到无限大的任何值，因此，说明分子按速率的分布时就采用按速率区间分组的办法，即给出速率在任一区间V到v+dv的分子数dN，占分子总数N的比率dN/N。给出了各个速率区间的这一比率，就给出了vv分子按速率的分布。这就是从微观上说明大量分子的速率状况的方法，它是一种统计的方法。一般地说，在不同的速率v附近，相同的速率间隔dv内的分子数dN是不同的。这就是v说，比率dN/N和速率v有关，是速率v的函数。在速率区间dv足够小的情况下，这一比v率应和区间的大小成正比。因而可以写出:v=F(v)dv(1)N由此定义的函数dNF(v)=v(2)Ndv称作为速率分布函数。它的意义是在速率v附近单位速率区间内的分子数占分子总数的比率。如果知道了速率分布函数F(v)，就可以用积分方法求出速率v在某一有限速率范围，v1到v内的分子数AN占分子总数的比率2ANVdNV=JV2尸=JV2F(v)dv(3)NVNV11如果对从0到R的所有可能的速率范围积分，上式显然等于1,即J“F(v)dv=10这一关系式是由速率分布函数F(v)本身的物理意义所决定的。它是速率分布函数F(v)必须满足的条件，叫做分布函数的归一化条件。在气体中，由于分子间的碰撞是完全无规则的(指两分子碰撞前的速度的方向和大小)，所以每个气体分子的速率都不断地作随机(偶然性的)变化。正是由于这种无规则的频繁的碰撞，才使得从整体上说，气体分子的速率遵守一定的规律。这种规律表现为：在一定的宏观条件下，气体分子按速率的分布是一定的；或者说，速率分布函数具有确定的形式。这种大量分子的无规则运动在整体上遵守的规律性叫统计规律性。速率分布函数的具体形式就叫速率分布定律。早在1860年，麦克斯韦就从理论上导出了在平衡态下，气体分子速率分布的统计规律，称为麦克斯韦速率分布定律，它给出在平衡态下气体分子速率在v到v+dv区间内的分子数占分子总数的比率：dN.,卩、戡,/八=4兀()3/2e-2kTv2dv(4)N2兀kT式中T为气体的绝对温度，卩为每个分子的质量，k为玻尔兹曼常量。由此可得出(2)式速率分布函数F(v)的具体形式为：n2F(v)=4兀()3/2e-2kTv2(5)2兀kT称作为麦克斯韦速率分布函数。6)表示F(v)与v的函数关系的曲线叫做麦克斯韦速率分布曲线，如图1所示。它形象地表示出气体分子按速率分布的情况，图中任一区间v到v+dv内曲线下的面积表示速率在这一区间内的分子数占总分子数的比率。曲线形状直观地显示出速率很小和速率很大的分子所占的比率都很小。在速率为v处v到F(v)有极大值。v称作为最可几速率。它的物理意义是:如果把整个速率范围分成许多相等的小区间，则速率在v所在的区间内的分子数所占的比率p可根据：笛=0得出dv1V?可见，温度越高，V越大。而与v对应的F值为:ppF(v)=()1/2/e即温度越高，F（v）的值越小。图2给出在两个不同温度T和T（TT）下理想气体分子p1221的速率分布曲线，它说明v和F（v）随温度变化的情况。叭辺必须指出，麦克斯韦速率分布定律是一个统计规律，它只对大数目dN才有意义。实际上，由于分子运动的无序性，在任何速率区间v到v+dv的分子数都是不断变化的。（4）式中dN表示在这一区间的分子数的统计平均值。因此，区间dv应该是宏观小微观大。如果此区间过小，使其中只有少数分子，则dN的涨落将非常大而使dN的值失去实际意义。至于说速率恰为某一速率v（精确值）时的分子数是多少，那就根本没有意义了。图2温度不同的速率分布比较实验装置】图3为麦克斯韦速率分布实验装置总图，它由三部分组成:稳压电源、主机和接收装置。图4为主机放大图。图3麦克斯韦速率分布实验装置主要部件图4实验装置主机主要有驱动部件室内含驱动凸轮等（图4中，1）。模拟气体（小钢珠或玻璃小球）实验腔壁（图4中，3）。刻有0-180mm范围的标尺，用来指示向上抛出小球的高度（图4中，4）。实验腔底板在凸轮驱动装置的驱动下，它能以不同频率振动（图4中，5）。水平仪（图4中，9）用来指示实验腔的水平度。填料漏斗（图4中，10）。麦克斯韦速率分布实验装置通过模拟气体分子（小钢珠或玻璃小球）的随机运动来演示气体的热性质。马达的转动带动实验腔底板振动，而实验腔底板的振动将模拟气体分子处于无规则运动状态。部分模拟气体分子通过实验腔侧面板上的窗口逸出，其中沿水平方向运动和稍稍偏离水平方向运动的分子则穿过安装在窗外的过滤腔（图5）到达接收装置。利用图5如图3中所示的带记录器的接收装置，可测定模拟气体分子的速率分布，由此验证麦克斯韦气体速率分布函数。通过稳压电源调节马达转速，可得到所需的底板振动频率。底板的振动频率对应于模拟气体分子的温度，因此，改变底板的振动频率即代表了模拟气体温度的改变。【实验内容】1、将仪器主机调整到垂直位置。2、装配好过滤腔。3、设定封口条位置，使气体实验腔与过滤腔隔离。4、从填料漏斗向实验腔内填入400颗小钢珠或玻璃小球。为此，先称出100颗钢珠或小球的质量，然后填入4倍质量的钢珠或小球。5、将实验腔高度设定在6cm，底板振动频率调整到3000/min。6、调整接收装置高度使过滤器出口至接收装置顶部的距离为80mm，并调整接收装置至水平。7、开启稳压电源，启动马达，使钢珠（玻璃小球）开始无规则运动。8、移动封口条，开启实验腔侧面的中间窗口，观察逸出窗口并穿过过滤器进入接收装置的模拟气体分子的运动。9、等接收装置收集到足够数量的钢珠（玻璃小球）后，停止马达。10、根据接收装置收集到的钢珠（玻璃小球）的分布，按照公式SgV=sh为出口到接收装置底部的距离t2h计算出不同位置钢珠（玻璃小球）的水平运动速率。11、画出钢珠（玻璃小球）按速率的分布曲线，与麦克斯韦速率分布曲线作定性比较。12、确定钢珠（玻璃小球）的最可几速率vp。13、改变实验腔底板的振动频率，重复以上实验，验证速率分布曲线随温度的变化。【思考题】1、研究麦克斯韦速率分布曲线的意义2、麦克斯韦速率分布曲线与那些因数有关【参考文献】夏学江等，力学与热学（下册），清华大学出版社（1985）