第五讲随机变量及其分布一

第五讲第五讲 随机变量及其分布随机变量及其分布（一）（一）在前一章，我们学习了随机试验和随机事件概率大小的计算。随机现象大量存在，基本结果的描述也千变万化，如 正面，反面；男孩，女孩；红球，白球，黑球；1,2,3,4,5,6.但从概率的定义和前面的实例来看，计算概率时我们并不关心具体基本结果的描述，而更多的是一种数量关系。另外，在许多随机试验中，除试验结果之外，往往有另一个量与每个结果相关联，如赌博时投掷硬币，人们总是不加思素地将正面和反面转化成赢和输了多少钱；再如，摸球中奖活动，人们摸中红球、白球、黑球等时，总是和中几等奖、多少奖金联系起来。这样，就自然建立了一个对应关系。实际上，给随机试验的每个结果都赋予一个数值，在样本空间 和实数值建立一种对应关系，是我们应用数学理论和方法来深入和系统地研究随机试验规律的基础。随机变量概念的提出和研究在概率论史经历了一个相当长的过程，并引起过不少争议。让我们从离散型随机变量开始。1.离散型随机变量离散型随机变量(1)X(正面)=1,X(反面)=0;(2)X(红球)=5,X(白球)=2，X(黑球)=1;(3)考虑向一单位园圃上投掷飞标，落点位置所组成的样本空间22(,):1x yxy，假如需要根据落点是否靠近圆心评分，定义如下：当221/8xy时，获 10 分；当221/81/4xy时，获 8分；当221/41/2xy时，获 6分；其余情形，获 5分。概括起来，所谓离散型随机变量，就是样本空间到实数值上的一个对应关系，并且最多取可数个不同的值。具体地说，用:XR 表示对应关系，所有可能的取值记为12,nxxx.当然，每个基本结果的出现具有随机性，因此X取每个值也具有随机性（严格来讲，要求X取每个值构成事件，即：:()nXxww=F）。当给定一个概率空间(,F,P)时，我们可以计算X取每个值的概率大小。.如，(1)假设硬币是均匀的，那么(1)1/2P X，(0)1/2P X；假设硬币不均匀，出现正面的概率为 3/5，出现反面的概率为2/5，那么(1)3/5P X，(0)2/5P X；(2)假设摸到每个球的可能性相同，那么(5)1/3P X，(2)1/3P X，(1)1/3P X；(3)假设随意投掷飞标，即落在每个点是等可能的，那么 (10)1/64,(8)3/64,(6)3/16,(5)3/4.P XP XP XP X 一般地，(:()iipPXx 并称 1212,nnxxxppp 为X的分分布布列列。1.11iip 从前一章有关概率的性质可得：2.0ip 对任意集合B，我们可由下式来计算概率 :(:()iii xBPXBp 特别地，对任何x ，:()()iii xxF xPXxp：()称()F x为X的分布函数分布函数 不难看出()F x具有下列性质：2.()F x 单调增加 1.0()1F x，lim()0 xF x，lim()1xF x 4.()F x是一个阶梯型的函数，在每个 ix处有跳跃，跳跃高度恰好为ip 3.()F x左极限存在，右连续 注：对于离散型随机变量，我们更多地使用分布列，因为它常常更简洁、更具有特色。以上我们根据具体概率模型，构造一个随机变量，并得到该随机变量的分布列。但实际上，在今后大量研究中，我们并不指出具体的随机试验，而直接指明随机变量和其分布；有时甚至不指明随机变量而仅仅给出分布，直接研究分布的性质 这样，我们称 1212,nnxxxppp 为分布列分布列，如果它满足 1.11iip 2.0ip 有时，为了明确起见，我们假定每个0ip，或者说，我们省略0ip 的列 离散随机变量的例子：离散随机变量的例子：(1).常数随机变量常数随机变量 最简单的随机变量是常数，它在整个样本空间上仅取一个值 如 Xc 这时()1P Xc(2).两点分布两点分布 一个随机变量 仅取两个值，如 0，1 并且(1),(0)1-P XpP Xp 1 0 1-pp (3).Bernoulli 二项分布二项分布 回忆前面学过的n重-Bernoulli 试验。对每个样本点，用X表示中出现 1 的次数，那么X可取 0,1,2,n，并且(:()(1)kn knPXkppk :(,;)b k n p二项分布是概率论中最重要的分布之一，也成为研究其他分布的基础。它有下列重要性质：1.注意到每个试验只有两个结果:成功和失败，既然X表示成功的次数，那么nX就是失败的次数，也同样取值为0,1,2,n。令YnX，那么Y也服从二项分布。由于二项分布应用广泛，人们已经准备了二项分布 表，以 备 查。但 表 只 限 于0.5p，如 果0.5p，那么10.5p我们考虑失败次数概率(,;)(-,;1-)b k n pb n k np即可。固定,n p，既然(,;)(1)1(1,;)(1)b k n pnpkb kn pkp 2.单调性与最可能成功次数因此，当(1)knp时，(,;)b k n p单调增加；当(1)knp时，(,;)b k n p单调减少。如果(1)np不是整数，那么最可能成功次数为(1)np。进 一 步，如 果(1)np是 整 数，那 么(,;)(-1,;)b k n pb kn p，并且达到最大值，我们称(1),(1)-1npnp为最可能成功次数 3.Poisson定理 如果nnp，那么 (,;)!kneb k n pk 证：证：该定理可用于近似计算，当n很大，np不太大时，(,;)!keb k n pk例例.某人每次射击时击中目标的概率为0.001，射击5000次，求击中两弹或两弹以上的概率.解解:(4).Poisson分布分布(),0,1,2,!kP Xkekk如果一个随机变量X取非负整数0,1,2,，并且具有下列分布 那么，我们称X为 Poisson 随机变量或 称X服从Poisson 分布，其中为其参数。Poisson分布同样是一个重要的分布，有着广泛的应用，它也是Poisson过程的基础。今后，将介绍更多背景知识。例例.通过某交叉路口的汽车流可看成普阿松过程，若在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率.解：解：(5).几何分布几何分布 考虑一个随机试验E它只有两个结果，如成功和失败，概率为p,1p。现将试验独立重复进行，直至出现成功为止。用X表示所需的试验次数。显然，X只取正整数1,2,3,。另外，X取每个值的概率为 1()(1)kP Xkpp几何分布具有一个很有趣的性质，即无记忆性无记忆性：即使前m次试验都已失败，但直到成功所需的试验次数X仍为几何分布。(|P Xk前m次试验都已失败)-1(1-)kpp证：证：(6).负二项分布负二项分布 继续上面的例子：给定正整数r，用rX表示首次获得r次 成 功 所 需 的 试 验 次 数。那 么rX取 值,1,2,rrr ，并且 11()(1)1kkP Xkppr(7).超几何分布超几何分布 考虑产产品品抽抽检检问题。假定 N件产品中有 M件次品，现在随意不放回抽检 n件，用 X表示其中所含次品的个数。那么()MnMknkP Xknk 0,1,2,min(,)kn M既然 min(,)0()1n MkP Xk我们实际上证明了 0nkMnMNknkn若,n k不变，N,/M Np,则(1)kn kMnMnknkppnkk 当 N 很大时，超几何分布可以用二项分布来近似计算（不放回抽样可用放回抽样近似）（不放回抽样可用放回抽样近似）