中考数学考点专题复习 特殊三角形课件.ppt

数学 特殊三角形 第五章 图形的性质 (一 ) 1 计 算有关 线 段 长问题 ， 如果所求 线 段是在直角三角形中 ， 一 般 应 用勾股定理求解 ， 即直角三角形斜 边 的平方等于两直角 边 的 平方之和 2 有关等腰三角形的 问题 ， 若条件中没有明确底和腰 时 ， 一般 应 从某一 边 是底 还 是腰 这 两个方面 进 行 讨论 ， 还 要特 别 注意构成 三角形的条件；同 时 ， 在底角没有被指定的等腰三角形中 ， 应 就 某角是 顶 角 还 是底角 进 行 讨论 注意运用分 类讨论 的方法 ， 将 问 题 考 虑 全面 ， 不能想当然 3 面 积 法：用面 积 法 证题 是常用的技巧方法之一 ， 使用 这 种方 法 时 一般是利用某个 图 形的多种面 积 求法或面 积 之 间 的和差关 系 列出等式 ， 从而得到要 证 明的 结论 4 在涉及折叠的相关 问题 中 ， 若原 图 形中含有直角或折叠后 产 生直角 ， 常常把所求的量与已知条件利用折叠的性 质 ， 借助等量 代 换转 化到一个直角三角形中 ， 利用勾股定理建立方程求解 1 ( 2015 盐城 ) 若一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 5 ， 则它的周长为 ( ) A 12 B 9 C 12 或 9 D 9 或 7 2 ( 2015 广西 ) 如图 ， 在 ABC 中 ， AB AC ， B AC 100 ， AB 的 垂直平分线 DE 分别交 AB ， BC 于点 D ， E ， 则 B A E ( ) A 80 B 60 C 50 D 40 A D 3 ( 2015 广西 ) 下列各组线段中 ， 能够组成直角三角形的一组是 ( ) A 1 ， 2 ， 3 B 2 ， 3 ， 4 C 4 ， 5 ， 6 D 1 ， 2 ， 3 4 ( 20 15 青岛 ) 如图 ， 在 A BC 中 ， C 90 ， B 30 ， AD 是 ABC 的角平分线 ， DE AB ， 垂足为点 E ， DE 1 ， 则 BC ( ) A. 3 B 2 C 3 D. 3 2 D C 5 (2015陕西 )如图 ， 在 ABC中 ， A 36 ， AB AC， BD 是 ABC的角平分线若在边 AB上截取 BE BC， 连接 DE， 则图 中等腰三角形共有 ( ) A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 D 【 例 1】 (1)(2015荆门 )已知一个等腰三角形的两边长分别是 2和 4， 则该等腰三角形的周长为 ( ) A 8或 10 B 8 C 10 D 6或 12 (2)(2014潍坊 )等腰三角形一条边的边长为 3， 它的另两条边的边 长是关于 x的一元二次方程 x2 12x k 0的两个根 ， 则 k的值是 ( ) A 27 B 36 C 27或 36 D 18 解析：分两种情况： 当其他两条边中有一个为 3时 ， 将 x 3代入 原方程 ， 得 32 12 3 k 0， k 27， 将 k 27代入原方程 ， 得 x2 12x 27 0， 解得 x 3或 9.3， 3， 9不能够组成三角形； 当 3为底时 ， 则其他两条边相等 ， 即 0， 此时 144 4k 0， k 36.将 k 36代 入原方程 ， 得 x2 12x 36 0， 解得 x 6.3， 6， 6能够组成三角形 ， 故答案为 B 【 点评 】 在等腰三角形中 ， 如果没有明确底 边 和腰 ， 某一 边 可 以是底 ， 也可以是腰同 样 ， 某一角可以是底角也可以是 顶 角 ， 必 须 仔 细 分 类讨论 C B 对应训练 1 ( 1) ( 2015 南宁 ) 如图 ， 在 ABC 中 ， AB AD DC ， B 70 ， 则 C 的度数为 ( ) A 35 B 40 C 45 D 50 (2) ( 2015 乌鲁木齐 ) 等腰三角形的一个外角是 60 ， 则它的顶角的度 数是 _ _ A 120 【例 2 】 ( 20 15 北京 ) 如图 ， 在 ABC 中 ， AB AC ， AD 是 BC 边上 的中线 ， BE AC 于点 E. 求证： CBE BA D. 解：证明： AB AC ， AD 是 BC 边上的中线 ， AD BC ， AD 平分 BAC ， BE AC ， CBE C CAD C 90 ， 又 CAD BAD ， CBE B A D 【点评】 等腰三角形的 顶 角平分 线 、底 边 上的中 线 、底 边 上的高相互重 合 对应训练 2 ( 2014 菏泽 ) 在 ABC 中 ， AD 平分 BAC ， BD AD ， 垂足为点 D ， 过点 D 作 DE AC ， 交 AB 于点 E ， 若 AB 5 ， 求线段 DE 的长 解： ( 1 ) AD 平分 BAC ， BAD CAD ， DE AC ， C A D A DE ， BAD A DE ， AE DE ， AD DB ， A DB 90 ， E A D ABD 90 ， A DE B DE A DB 90 ， ABD B DE ， DE BE ， AB 5 ， DE BE AE 2.5 【例 3 】 如图在等边 ABC 中 ， AB C 与 ACB 的平分线相交于点 O ， 且 OD AB ， OE AC . (1) 试判定 O DE 的形状 ， 并说明你的理由； (2) 线段 BD ， DE ， EC 三者有什么关系？写出你的判断过程 解： ( 1 ) ODE 是等边三角形 ， 其理由是： ABC 是等边三角形 ， ABC A CB 60 ， OD AB ， OE AC ， O DE A BC 60 ， OED A CB 60 O DE 是等边三角形 ( 2 ) 答： BD DE EC ， 其理由是： OB 平分 ABC ， 且 ABC 60 ， ABO OBD 30 ， OD AB ， BO D ABO 30 ， DB O DOB ， DB DO ， 同理 ， EC EO ， DE OD OE ， BD DE EC 对应训练 3 ( 1) ( 2014 益阳 ) 如图 ， 将等边 AB C 绕顶点 A 顺时针方向旋转 ， 使边 AB 与 AC 重合得 ACD ， BC 的中点 E 的对应点为 F ， 则 E A F 的度数是 _ (2) ( 2015 铜仁 ) 已知 ， 如图 ， 点 D 在等边三角形 AB C 的边 AB 上 ， 点 F 在边 AC 上 ， 连接 DF 并延长交 BC 的延长线于点 E ， EF F D . 求证： AD CE. 解：证明：作 DG BC 交 AC 于 G ， 如图所示： 则 DGF ECF ， 在 DF G 和 E FC 中 ， D GF E CF ， DFG E FC ， FD EF ， DFG EFC ( AAS ) ， GD CE ， A BC 是等边三角形 ， A B ACB 60 ， DG BC ， AD G B ， AGD A CB ， A AD G A GD ， AD G 是等 边三角形 ， AD GD ， AD CE 60 【例 4 】 (1) ( 2015 北京 ) 如图 ， 公路 AC ， BC 互相垂直 ， 公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开若测得 AM 的长为 1.2 km ， 则 M ， C 两点间的距离为 ( ) A 0.5 km B 0.6 km C 0.9 km D 1.2 km (2) ( 2015 桂林 ) 下列各组线段能构成直角三角形的一组是 ( ) A 30 ， 40 ， 50 B 7 ， 12 ， 13 C 5 ， 9 ， 12 D 3 ， 4 ， 6 D A 【 点评 】 (1)在直角三角形中 ， 斜 边 上的中 线 等于斜 边 的一半 理解 题 意 ， 将 实际问题转 化 为 数学 问题 是解 题 的关 键 (2)在 应 用勾股定理的逆定理 时 ， 应 先 认 真分析所 给边 的大小关系 ， 确 定最大 边 后 ， 再 验证 两条 较 小 边 的平方和与最大 边 的平方之 间 的关系 ， 进 而作出判断 对应训练 4 ( 1) ( 2015 大连 ) 如图 ， 在 ABC 中 ， C 90 ， AC 2 ， 点 D 在 BC 上 ， ADC 2 B ， AD 5 ， 则 BC 的长为 ( ) A. 3 1 B. 3 1 C. 5 1 D. 5 1 ,第 ( 1) 题图 ) ,第 ( 2) 题图 ) (2) ( 2015 苏州 ) 如图 ， 四边形 ABCD 为矩形 ， 过点 D 作 对角线 BD 的垂 线 ， 交 BC 的延长线于点 E ， 取 BE 的中点 F ， 连接 DF ， DF 4. 设 AB x ， AD y ， 则 x 2 (y 4) 2 的值为 _ _ D 16 试题 ( 2015 营口 ) 【问题探究】 ( 1 ) 如图 ， 锐角 ABC 中分别以 AB ， AC 为边向外作等腰 AB E 和等腰 A CD ， 使 AE AB ， AD AC ， BAE CAD ， 连接 BD ， CE ， 试猜想 BD 与 CE 的大小关系 ， 并说明理由 【深入探究】 ( 2 ) 如图 ， 四边形 ABC D 中 ， AB 7 cm ， BC 3 cm ， ABC AC D A DC 45 ， 求 BD 的长 审题视角 ( 1 ) 首先根据等式的性 质证 明 EAC BAD ， 则 根据 SA S 即 可 证 明 E AC BA D ， 根据全等三角形的性 质 即可 证 明； ( 2 ) 在 A BC 的外 部 ， 以 A 为 直角 顶 点作等腰直 角 BAE ， 使 BAE 90 ， AE AB ， 连 接 EA ， EB ， EC ， 证 明 E AC BA D ， 证 明 BD CE ， 然后在直角三角形 BCE 中利用勾股定理即可求解 规范答题 解： (1) 证明解： (1 ) BD C E. 理由是： B AE C AD ， B AE B AC C AD B AC ， 即 E AC B AD ， 在 EAC 和 B A D 中 ， AE AB ， EAC B AD ， AC AD ， EAC B AD ， BD CE ； (2) 如图 ， 在 ABC 的外部 ， 以 A 为直角顶点作等腰直角 BAE ， 使 BAE 90 ， AE AB ， 连接 EA ， EB ， EC. ACD A DC 45 ， AC AD ， CAD 90 ， BAE BAC CA D B AC ， 即 EAC BA D ， 在 EAC 和 B A D 中 ， AE AB ， EAC BAD ， AC AD ， EAC B AD ， BD CE. AE AB 7 ， BE 7 2 7 2 7 2 ， ABE AEB 45 ， 又 ABC 45 ， ABC ABE 45 45 90 ， EC BE 2 BC 2 （ 7 2 ） 2 3 2 107 ， BD CE 107 . 答题思路 第一步：通 读问题 ， 根据 问题选择 合理的几何分析 方法； 第二步： (1)综 合法 (由因 导 果 )：从命 题 的 题设 出 发 ， 通 过 一系 列的有关定理、公理、定 义 的运用 ， 逐步向前推 进 ， 直到 问题 的 解决； (2)分析法 (执 果索因 )， 从命 题 的 结论 考 虑 ， 推敲使其成立 需必 备 的条件 ， 然后再把条件看成要 证 的 结论继续 推敲 ， 如此逐 步向上逆推 ， 直到已知的条件 为 止； (3)两 类结 合法 ， 将分析法与 综 合法合并使用 比 较 起来 ， 分析法利于思考 ， 综 合法宜于表达 因此 ， 在 实际 思考 问题时 ， 可 综 合使用 ， 灵活 处 理 ， 以 缩 短 题 设 与 结论 之 间 的距离 ， 直到完全沟通； 第三步： 视问题 需要 ， 添加合理的 辅 助 线 ， 把已知与未知集中 在一起； 第四步：从已知出 发 ， 一步一步作推理 ， 使得 问题 得以 证 明； 第五步：反思回 顾 ， 查 看关 键 点、易 错 点 ， 完善解 题 步 骤 试题 1 在 ABC中 ， 高 AD和高 BE相交于 H， 且 BH AC， 求 ABC的度数 剖析 当 ABC是锐角三角形时 ， 高 AD和高 BE的交点 H在三角形内 ；当 ABC是为钝角三角形时 ， 高 AD和高 BE的交点 H在三角形 外在解与高有关的问题时 ， 应考虑全面 错解 解：如图 ， 在 Rt BHD和 Rt ACD中 ， C CAD 90 ， C HBD 90 ， HBD CAD.又 BH AC ， BHD ACD， BD AD. ADB 90 ， ABC 45 . 正解 这里的 ABC有两种情况 ， ABC是锐角 (图 )或 ABC是钝角 ( 图 )如图 ， 在 Rt BHD和 Rt ACD中 ， 易得 DCA DHB.又 AC BH， DHB DCA， AD DB， DBA 45 ， ABC 135 .综上： ABC 试题 2 已知 ABC 是等腰三角形 ， 由 A 所引 BC 边上的高恰好等于 BC 边长的一半 ， 试求 BAC 的度数 错解 解：如图 ， AD BC ， AD 1 2 BC BD CD ， BAD B C CAD 45 ， B AC 90 . 剖析 ( 1 ) 对 于等腰三角形 问题 ， 当 给 出的条件 ( 如 边 、角情况 ) 不明 时 ， 一般要 分情况逐一考察 ， 否 则 容易出 现错 解或漏解的 错误 ( 2 ) 当 顶 角是 锐 角 时 ， 腰上的高在三角形内；当 顶 角 为 直角 时 ， 腰上的高 与另一腰重合；当 顶 角 为钝 角 时 ， 腰上的高在三角形外 这 是在解与等腰三 角形腰上的高有关的 问题时 ， 应 考 虑 的几个方面 正解 题目中并没有指明 BC 是等腰 ABC 的底或腰当 BC 为底时 ， 可 求得 BAC 90 ；当 BC 为腰时 ， 还应对 B 的大小进行讨论： ( 1 ) 当顶角 B 是锐角时 ， 如图 ， AD 1 2 BC 1 2 AB ， AD BC ， B 30 ， 从而 BAC C 75 . ( 2 ) 当顶角 B 为直角时 ， 高 AD 和腰 AB 重合 ， 与已知矛盾 ， 故 B 90 . ( 3 ) 当顶角 B 为钝角时 ， 如图 ， AD 1 2 BC 1 2 AB ， AD BC ， DBA 30 ， 从而 B AC C 1 2 DBA 1 2 30 15 .综上 ， BA C 的度数 为 90 或 75 或 15