中考数学考点专题复习 实数及其运算课件.ppt

数学 实数及其运算 第一章 数与式 1 实数的有关概念 (1)数轴：规定了 _， 和 的直线叫做数轴 ， 数轴上所有的点与全体 一一对应 (2)相反数：只有 _不同 ， 而 相同的两个数互为相反 数 a， b互为相反数 a b _ (3)倒数：乘积是 1的两个数互为倒数 a， b互为倒数 ab _ 特别地 ， _没有倒数 原点 正方向 单位长度 实数 符号 绝对值 0 1 0 (4) 绝对值：在数轴上 ， 一个数对应的点离原点的 ， 叫做这个 数的绝对 值 | a | a ， （ a 0 ） 0 ， （ a 0 ） a . （ a 0 ） | a |是一个非负数 ， 即 | a | _ _ 距离 0 (5)平方根 ， 算术平方根 ， 立方根： 平方根 如果 x2 a， 那么 x叫做 a的平方根 ， 记 作 _x _ 算术平方 根 正数 a的正的平方根 ， 叫做这个数的算术平方根 立方根 如果 x3 a， 那么 x叫做 a的立方根 ， 记作 _x _ a 3a 2 实数的分类 (1) 按实数的定义分类： 实 数 有理数 整数 正整数 零 自然数 负整数 分数 正分数 负分数 有限小数或无 限循环小数 无理数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 (2)根据需要 ， 我们也可以按符号进行分类 实数 正实数 零 负实数 3 科学记数法 ， 近似数 把一个绝对值大于 10(或者小于 1)的实数记为 的形式 ( 其中 1|a|10， n是整数 )， 这种记数法叫做科学记数法；一个近似 数 ， 到哪一位 ， 就说这个数精确到哪一位如： 3.14549 精确到 0.01为 _， 精确到 0.001为 a 10n 四舍五入 3.15 3.145 4 零指数幂 ， 负整数指数幂 任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1 ， 即 ； 任何不等于零的数的 p 次幂 ， 等于这个数 p 次幂的倒数 ， 即 a0 1(a0) a p 1a p ( a 0 ， p 为正整数 ) 5 实数的运算 实数的运算顺序是先算 ， 再算 _， 最后算 _， 如果有括号 ， 先算 ， 再算 ， 最后算 _， 同级运算应 乘方和开方 乘除 加减 小括号 中括号 大括号 从左到右依次进行 1 常见的四种无理数： ( 1 ) 开 方开不尽的数： 2 ， 3 ， 5 等； ( 2 ) 部分三角函数 值 ： si n60 ， ta n30 等； ( 3 ) 有 规 律但不循 环 的小数：如 0.1 0100 1000 1 ( 每两个 1 之 间 0 的个数 依次加 1 ) 等； ( 4 ) 化 简 后含 ( 圆 周率 ) 的数： ， 1 等 2 科学记数法中 a 与 n 的确定 科学 记 数法的表示形式 为 a 10 n 的形式 ， 其中 1 | a | 10 ， n 为 整数 ( 1 ) 确定 a ： a 是只有一位整数的数 ， 即 1 | a | 10 ； ( 2 ) 确定 n ： 当原数的 绝对值 10 时 ， n 是正整数 ， n 等于原数的整数位数减去 1 ， 或等于原数 变 成 a 时 ， 小数点移 动 的位数； 当 0 原数的 绝对值 1 时 ， n 是 负 整数 ， n 的 绝对值 等于原数中左起 第一个非零数前零的个数 ( 含整数位数的零 ) ；或 n 的 绝对值 等于原数 变为 a 时 ， 小数点移 动 的位数 3 实数比较大小的五种常用方法 ( 1) 数 轴 比 较 法：将两数表示在数 轴 上 ， 右 边 的点表示的数 总 比左 边 的 点表示的数大 (2) 代数比 较 法： 正数大于零； 负 数小于零；正数大于一切 负 数；两个 负 数 ，绝对值 大的数反而小 (3) 差 值 比 较 法： 设 a ， b 是两个任意 实 数 ， 则 ： a b 0 a b ； a b 0 a b ； a b 0 a b . (4) 倒数比 较 法：若 1 a 1 b ， a 0 ， b 0 ， 则 a b . (5) 平方比 较 法： 由 a b 0 ， 可得 a b ， 可以把 a 与 b 的大小 问题转 化成比 较 a 和 b 的大小 问题 。 1 ( 2015 威海 ) 检验 4 个工件 ， 其中超过标准质量的克数记作正数 ， 不足标准质量的克数记作负数 从轻重的 角度看 ， 最接近标准的工件是 ( ) A 2 B 3 C 3 D 5 2 ( 2015 黔南州 ) 下列说法错误的是 ( ) A 2 的相反数是 2 B 3 的倒数是 1 3 C ( 3 ) ( 5 ) 2 D 11 ， 0 ， 4 这三个数中最小的数是 0 A D 3 ( 2015 长沙 ) 下列实数中 ， 为无理数的是 ( ) A 0.2 B. 1 2 C. 2 D 5 4 ( 2015 六盘水 ) 下列运算结果正确的是 ( ) A 87 ( 83 ) 7221 B 2.6 8 7.4 2 10 C 3.77 7. 1 1 4.6 6 D 101 102 102 103 C A 5 (2015海南 )据报道 ， 2015年全国普通高考报考人数约为 9 420 000人 ， 数据 9 420 000用科学记数法表示为 9.42 10n， 则 n的 值是 ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 C 【例 1 】 ( 20 15 泰州 ) 下列 4 个数： 9 ， 22 7 ， ， ( 3 ) 0 ， 其中无理数是 ( ) A. 9 B. 22 7 C D ( 3 ) 0 C 【 点评 】 判断一个数是不是无理数 ， 关 键 就看它能否 写成无限不循 环 小数 ， 掌握常 见 无理数的四种 类 型有助 于 识别 无 理数 2 对应训练 1 ( 1) ( 20 13 安顺 ) 下列各数中 ， 3.1 4159 ， 3 8 ， 0.1 31 131 1 13 ， ， 25 ， 1 7 无理数的个数有 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 (2 ) ( 2015 广州 ) 四个数 3.1 4 ， 0 ， 1 ， 2 中为负数的是 ( ) A 3.1 4 B 0 C 1 D 2 B A 【例 2 】 ( 20 15 北京 ) 计算： ( 1 2 ) 2 ( 7 ) 0 | 3 2| 4 si n 60 . 对应训练 2 ( 2015 六盘水 ) 计算： | 3 2| 3 tan 30 ( 1 2 ) 1 ( 3 ) 0 ( 2 ) 2 . 解：原式 4 1 2 3 4 32 5 3 【 点评 】 实 数运算要 严 格按照法 则进 行 ， 特 别 是混 合运算 ， 注意符号和 顺 序是非常重要的 解：原式 2 3 3 33 2 1 2 1 【 例 3】 (1)(2015宜昌 )中国倡导的 “ 一带一路 ” 建设将促进 我国与世界各国的互利合作 ， 根据规划 ， “ 一带一路 ” 地区覆盖 总人口约为 4 400 000 000人 ， 这个数用科学记数法表示为 ( ) A 44 108 B 4.4 109 C 4.4 108 D 4.4 1010 (2)下列近似数中精确到千位的是 ( ) A 90200 B 3.450 102 C 3.4 104 D 3.4 102 【 点评 】 (1)科学 记 数法一般表示的数 较 大或很小 ， 所以解 题 时 一定要仔 细 ； (2)科学 记 数法写出 这 个数后可 还 原成原数 进 行 检验 B C 对应训练 3 (1)近似数 2.5万精确到 _位 (2)(2015宁夏 )生物学家发现了一种病毒的长度约为 0.000 004 32毫米数据 0.000 004 32用科学记数法表示为 ( ) A 0.432 10 5 B 4.32 10 6 C 4.32 10 7 D 43.2 10 7 千 B 【 例 4】 (1)(2015六盘水 )下列说法正确的是 ( ) A | 2| 2 B 0的倒数是 0 C 4的平方根是 2 D 3的相反数是 3 (2)已知 |a| 1， |b| 2， |c| 3， 且 a b c， 那么 a b c (3)设 |a| 4， |b| 2， 且 |a b| (a b)， 试求 a b所有值的和 解： |a| 4， |b| 2， a 4， b 2， 又 |a b| (a b)0， a b0， 可知 a 4， b 2， 所以 a b 4 2 6 ， 或 a b 4 ( 2) 2， 6 ( 2) 8， a b所有值的和 是 8 【 点评 】 (1)互 为 相反数的两个数和 为 0； (2)正数的 绝对值 是 它本身 ， 负 数的 绝对值 是它的相反数 ， 0的 绝对值 是 0； (3)两个非 负 数的和 为 0， 则这 两个数分 别 等于 0. D 2或 0 对应训练 4 ( 1) ( 2015 河北 ) 下列说法正确的是 ( ) A 1 的相反数是 1 B 1 的倒数是 1 C 1 的立方根是 1 D 1 是无理数 (2) 计算： ( 1 2 ) _ ； | 1 2 | _ ； ( 1 2 ) 0 _ ； ( 1 2 ) 1 _ (3) 若 ab 0 ， 则 | a | a | b | b | ab | ab 的值等于 A 1 2 1 2 1 2 1或 3 【例 5 】 ( 1) ( 2015 成都 ) 实数 a ， b 在数轴上对应的点的位置如图所 示 ， 计算 |a b| 的结果为 ( ) A a b B a b C b a D a b (2) ( 2014 呼和浩特 ) 实数 a ， b ， c 在数轴上对应的点如下图所示 ， 则下 列式子中正确的是 ( ) A ac bc B | a b | a b C a b c D a c b c C D 【 点评 】 数形 结 合借助数 轴 找到数的位置 ， 或由数找到在数 轴 上的点的位置及其相反数的位置 ， 再根据数 轴 上右 边 的数大于左 边 的数 ， 确定各数的大小或根据大减小 为 正 ， 小减大 为负 ， 以及 有理数的加法、乘法法 则 来确定数的运算后的符号 对应训练 5 ( 1) 在如图所示的数轴上 ， 点 B 与点 C 关于点 A 对称 ， A ， B 两点对应 的实数分别是 3 和 1 ， 则点 C 所对应的实数是 ( ) A 1 3 B 2 3 C 2 3 1 D 2 3 1 (2) ( 2015 威海 ) 已知实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示 ， 下列结论错误的 是 ( ) A | a | 1 | b | B 1 a b C 1 | a | b D b a 1 D A 【例 6 】 ( 1) ( 2015 潍坊 ) 在 | 2| ， 2 0 ， 2 1 ， 2 这四个数中 ， 最大的数 是 ( ) A | 2| B 2 0 C 2 1 D. 2 (2) ( 2015 常州 ) 已知 a 2 2 ， b 3 3 ， c 5 5 ， 则下列大小关系正确的是 ( ) A a b c B c b a C b a c D a c b A A 【 点评 】 实 数的大小比 较 要依据数 值 特点灵活运用比 较 大小的 几种方法来 进 行 ， 本 题 利用平方比 较 法 对应训练 6 ( 1) ( 2015 成都 ) 比较大小： 5 1 2 _ 5 8 .( 填 “ ”“ ” 或 “ ” ) (2) 比较 2.5 ， 3 ， 7 的大小 ， 正确的是 ( ) A 3 2.5 7 B 2.5 3 7 C 3 7 2. 5 D. 7 2.5 3 A 试题 若一个实数的 (1)倒数； (2)绝对值； (3)平方； (4)立方； (5) 平方根； (6)算术平方根； (7)立方根等于它的本身 ， 则这个数分别 为 (1)_； (2)_； (3)_； (4)_； (5)_； (6)_； (7)_ 错解 (1)1； (2)正数； (3)1； (4)1或 1； (5)1； (6)0； (7)1和 1. 剖析 对 倒数、 绝对值 、平方、平方根等概念理解不全面是最容 易 产 生 错误 的 正解 (1)1或 1 (2)正数或 0(或非负数 ) (3)1或 0 (4) 1， 0或 1 (5)0 (6)0或 1 (7) 1， 0或 1