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数学 不等式 (组 )及其应用 第二章 方程与不等式 1 定义 (1)用 连接起来的式子叫做不等式； (2)使不等式成立的未知数的值叫做 ； (3)一个含有未知数的不等式的解的全体 ， 叫做 ； (4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程 ， 叫做解不等式 不等号 不等式的解 不等式的解集 2 不等式的基本性质 性 质 1 若 a b ， 则 a c b c 性 质 2 若 a b ， c 0 ， 则 ac bc 或 a c b c 性 质 3 若 a b ， c 0 ， 则 ac bc 或 a c b c 3 解一元一次不等式的步骤及程序 除了 “ 不等式两边都乘或除以一个负数时 ， 不等号的方向改变 ” 这个要求之外 ， 与解一元一次方程类似 4 列不等式解应用题的一般步骤 (1)审题； (2)设元； (3)找出能够包含未知数的不等量关系； (4)列 出不等式； (5)解不等式； (6)检验并写出答案 5 解不等式组 一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上 ， 再求出它们的公共部分 ， 就得到不等式组的解集 6 一元一次不等式组的解集表示 类 型 ( a b ) 解集 在数 轴 上 的表 示 口 诀 x a x b x a 同大取大 x a x b x b 同小取小 x a x b b x a 大小小大中 间夹 x a x b 无解 大大小小取不了 1 “ 解与解集 ” 的联系与区别 不等式的解是指使不等式成立的每一个数 ， 而不等式的解集是 指由全体不等式的解 组 成的一个集合 因此 ， 不等式的解可以是 一个或多个 值 ， 而不等式的解集 应 包含 满 足不等式的所有解 不等式的解与不等式的解集的区 别 ：解集是能使不等式成立的 未知数的取 值 范 围 ， 是所有解的集合 ， 而不等式的解 则 是使不等 式成立的未知数的 值 ， 二者的关系是：解集包括解 ， 所有的解 组 成了解集 2 在数 轴 上表示解集 时 ， 大于号向右 ， 小于号向左 ， 有等号的 用 实 心 圆 点 ， 无等号的用空心 圆 圈 3 利用列不等式解决 实际问题 ， 其关 键 是根据 题 中的 “ 超 过 ”“ 不足 ”“ 大于 ”“ 小于 ”“ 不低于 ”“ 不少于 ” 等反映数量 关系的 词语 (特 别 要注意理解好生活和生 产实际 中 “ 不超 过 ”“ 至 少 ” 的含 义 ， 这 两者 转 化 为 相 应 的不等号 应 分 别 是 “ ” 和 “ ” ) ， 列出不等式 ， 迎刃而解 1 (2015怀化 )下列不等式变形正确的是 ( ) A 由 a b得 ac bc B由 a b得 2a 2b C 由 a b得 a b D由 a b得 a 2 b 2 2 (2015桂林 )下列数值中不是不等式 5x2x 9的解的是 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 C D 3 ( 2015 丽水 ) 如图 ， 数轴上所表示关于 x 的不等式组的解集是 ( ) A x 2 B x 2 C x 1 D 1 x 2 4 ( 2015 临沂 ) 不等式组 2x 6 ， x 2 0 的解集 ， 在数轴上表示正确的是 ( ) , A) , B) , C) , D) A C 5 (2015东营 )东营市出租车的收费标准是：起步价 8元 (即行驶 距离不超过 3千米都需付 8元车费 )， 超过 3千米以后 ， 每增加 1千米 ， 加收 1.5元 (不足 1千米按 1千米计 )某人从甲地到乙地经过的路 程是 x千米 ， 出租车费为 15.5元 ， 那么 x的最大值是 ( ) A 11 B 8 C 7 D 5 B 【 例 1】 (2015乐山 )下列说法不一定成立的是 ( ) A 若 a b， 则 a c b c B若 a c b c， 则 a b C 若 a b， 则 ac2 bc2 D若 ac2 bc2， 则 a b 【 点评 】 “ 0”是很特殊的一个数 ， 因此 ， 解答不等式的 问 题时 ， 应 密切关注 “ 0”存在与否 ， 以防掉 进 “ 0”的陷阱不等 式的基本性 质 ： (1)不等式两 边 加 (或减 )同一个数 (或式子 )， 不等号的方向不 变 (2)不等式两 边 乘 (或除以 )同一个正数 ， 不等号的方向不 变 (3)不等式两 边 乘 (或除以 )同一个 负 数 ， 不等号的方向改 变 C 对应训练 1 ( 1) ( 2015 南充 ) 若 m n ， 下列不等式不一定成立的是 ( ) A m 2 n 2 B 2 m 2 n C. m 2 n 2 D m 2 n 2 (2) ( 2015 黄石 ) 当 1 x 2 时 ， ax 2 0 ， 则 a 的取值范围是 ( ) A a 1 B a 2 C a 0 D a 1 且 a 0 D A 【例 2 】 ( 2015 南京 ) 解不等式 2( x 1) 1 3x 2 ， 并把它的解集在 数轴上表示出来 解：去括号 ， 得 2x 2 13x 2， 移项 ， 得 2x 3x2 2 1， 合 并同类项 ， 得 x1， 系数化为 1， 得 x 1， 这个不等式的解集在 数轴上表示为： 【 点评 】 整个解一元一次不等式的 过 程与解一元一次方程极 为 相 似 ， 只是最后一步把系数化 为 1时 ， 需要看清未知数的系数是正数 还 是 负 数 如果是正数 ， 不等号方向不 变 ；如果是 负 数 ， 不等号方 向改 变 对应训练 2 ( 1) ( 2015 铜仁 ) 不等式 5x 3 3x 5 的最大整数解是 _ (2) ( 2015 巴中 ) 解不等式： 2x 1 3 3x 2 4 1 ， 并把解集表示在数轴上 3 解：去分母得 ， 4(2x 1)3(3x 2) 12， 去括号得 ， 8x 49x 6 12， 移项得 ， 8x 9x6 12 4， 合并同类项得 ， x 2， 把 x的系数化为 1得 ， x2.在数轴上表示为： 【例 3 】 ( 2015 扬州 ) 解不等式组 3x 4x 1 ， 5x 1 2 x 2 ， 并把它的解集在数轴上 表示出来 解： 3x 4x 1 ， 5x 1 2 x 2 ， 由 得： x 1 ；由 得： x 1 ， 不等式组 的解集为 1 x 1 ， 【 点评 】 求不等式 组 的解集 ， 不管 组 成 这 个不等式 组 的不 等式有几个 ， 都要先分 别 求解每一个不等式 ， 再利用口 诀 或利用 数 轴 求出它 们 的公共解集 ， 还 要确定其中的特殊解 对应训练 3 ( 1) ( 2015 巴彦 淖尔 ) 不等式组 2x 3 4x 1 ， 1 3 （ x 3 ） 2 ， 的解集在数轴上表示 正确的是 ( ) , A) , B) , C) , D ) (2) ( 2015 绥化 ) 关于 x 的不等式组 x a ， x 1 ， 的解集为 x 1 ， 则 a 的取值 范围是 ( ) A a 1 B a 1 C a 1 D a 1 D D (3) ( 2015 广安 ) 不等 式组 3x 4 0 ， 1 2 x 24 1 ， 的所有整数解的积为 _ _ (4) ( 2015 上海 ) 解不等式组： 4x 2x 6 ， x 1 3 x 1 9 ， 并把解集在数轴上表示出 来 0 解： 4x 2x 6 ， x 1 3 x 1 9 ， 解不等式 得： x 3 ， 解不等式 得： x 2 ， 不等式组的解集为 3 x 2 ， 在数轴上表示不等式组的解集为： 【例 4 】 ( 2015 株洲 ) 为了举行班级晚会 ， 孔明准备去商店购买 20 个 乒乓球做道具 ， 并买一些乒乓球拍做奖品已知乒乓球每个 1.5 元 ， 球拍每 个 22 元如果购买金额不超过 200 元 ， 且买的球拍尽可能多 ， 那么孔明应 该买多少个球拍？ 解：设购买球拍 x 个 ， 依题意得： 1.5 20 22x 200 ， 解之得： x 7 8 11 ， 由于 x 取整数 ， 故 x 的最大值为 7 ， 答：孔明应该买 7 个球拍 【 点评 】 利用列不等式解决 实际问题 ， 其关 键 是根据 题 中的 “ 超 过 ”“ 不足 ”“ 大于 ”“ 小于 ”“ 不低于 ”“ 不少于 ” 等反 映数量关系的 词语 ， 列出不等式或不等式 组 ， 问题 便迎刃 而解 对应训练 4 ( 1) 小宏准备用 50 元钱买甲、乙两种饮料共 10 瓶 ， 已知甲饮料每瓶 7 元 ， 乙饮料每瓶 4 元 ， 则小宏最多能买 _ _ 瓶甲饮料 (2) ( 2015 益阳 ) 大学生小刘回乡创办小微企业 ， 初期购得原材料若干吨 ， 每 天生产相同件数的某种产品 ， 单件产品所耗费的原材料相同 当生产 6 天后剩 余原材料 36 吨 ， 当生产 10 天后剩余原材料 30 吨若剩余原材料数量小于或 等于 3 吨 ， 则需补充原材料以保证正常生产 求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数； 若生产 16 天后 ， 根据市场需求每天产量提高 20 % ， 则最多再生产多少 天后必须补充原材料？ 3 解： 设初期购得原材料 a 吨 ， 每天所耗 费的原材料为 b 吨 ， 根据题意得： a 6b 36 ， a 10b 3 0. 解得 a 45 ， b 1.5. 答：初期购得原材料 45 吨 ， 每天所耗费的原材料为 1. 5 吨 设再生产 x 天后必须补充原材料 ， 依题意得： 45 16 1.5 1.5 ( 1 20 % ) x 3 ， 解得： x 1 0. 答：最多再生产 10 天后必须补充原材料 试题 已知关于 x 的不等式组 x a 0 ， 3 2x 1 的整数解共有 5 个 ， 求 a 的取 值范围 错解 解：由不等式组 x a 0 ， 3 2x 1 ， 得 x a ， x 2. 又因为不等式组有 5 个整数解 ， 所以 a x 2 ， 这 5 个整数解应是 3 ， 2 ， 1 ， 0 ， 1 ， 所以 a 3. 剖析 本 题 主要考 查 学生是否会利用逆向思 维 法解决含有待定字母的一元一 次不等式 组 的特解 ， 此例 错 在忽 视 了在 a x 2 中有 5 个整数解 时 ， a 虽 不 唯一 ， 但也有一定限制 ， a 的取 值 范 围 在 3 与 4 之 间 的任一 处 ， 其中包括 3 但不包括 4 ， 所以在确定 a 的取 值 范 围时扩 大了解的范 围 正解 由 x a 0 ， 3 2x 1 ， 得 x a ， x 2 ， 不等式组有 5 个整数解 ， a x 2 ， 则 知这 5 个整数解应是 3 ， 2 ， 1 ， 0 ， 1 ， a 的取值范围是 4 a 3
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