中考数学考点专题复习 分式及其运算课件.ppt

数学 分式及其运算 第一章 数与式 1 分式的基本概念 (1) 形如 的式子叫分式； (2) 当 时 ， 分式 A B 有意义； 当 时 ， 分式 A B 无意义； 当 时 ， 分式 A B 的值为零 2 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘 ( 或除以 ) ， 分式的值不 变 ， 用式子表示为 A B ( A ， B 是整式 ， 且 B 中含有字母 ， B 0 ) B0 B 0 A 0且 B0 同一个不等于零的整式 A B A M B M ， A B A M B M ( M 是不等于零的整式 ) 4 最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式 ， 那么这个分式叫做最简 分式 5 分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去 ， 这种变形叫做约分 ， 约分的 根据是分式的基本性质 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式 ， 这种变 形叫做分式的通分 ， 通分的根据是分式的基本性质通分的关键是 确定几个分式的最简公分母 6 分式的混合运算 在分式的混合运算中 ， 应先算乘方 ， 再将除法化为乘法 ， 进行约 分化简 ， 最后进行加减运算若有括号 ， 先算括号里面的灵活运 用运算律 ， 运算结果必须是最简分式或整式 1 分式与分数有许多类似的地方 ， 因此在分式的学习中 ， 要注 意与分数进行类比学习理解 2 分式运算中的常用技巧 分式运算 题 型多 ， 方法活 ， 要根据特点灵活求解如： 分 组 通 分； 分步通分； 先 “ 分 ” 后 “ 通 ” ； 重新排序； 整体通分 ； 化 积为 差 ， 裂 项 相消 3 分式求值中的常用技巧 分式求 值 可根据所 给 条件和求 值 式的特征 进 行适当的 变 形、 转 化 主要有以下技巧： 整体代入法； 参数法； 平方法； 代入 法； 倒数法 1 ( 2015 常州 ) 要使分式 3 x 2 有意义 ， 则 x 的取值范围是 ( ) A x 2 B x 2 C x 2 D x 2 2 ( 2015 丽水 ) 分式 1 1 x 可变形为 ( ) A 1 x 1 B. 1 x 1 C 1 x 1 D. 1 x 1 D D 3 ( 2015 济南 ) 化简 m 2 m 3 9 m 3 的结果是 ( ) A m 3 B m 3 C. m 3 m 3 D. m 3 m 3 4 ( 2015 江西 ) 下列运算正确的是 ( ) A (2 a 2 ) 3 6 a 6 B a 2 b 2 3 ab 3 3 a 2 b 5 C. b a b a b a 1 D. a 2 1 a 1 a 1 1 A C 5 (2015莱芜 )甲乙两人同时从 A地出发到 B地 ， 如果甲的速度 v 保持不变 ， 而乙先用 v的速度到达中点 ， 再用 2v的速度到达 B地 ， 则下列结论中正确的是 ( ) A 甲乙同时到达 B地 B 甲先到达 B地 C 乙先到达 B地 D 谁先到达 B地与速度 v有关 B 【例 1 】 (1) ( 2016 原创 ) 下列各式中 ， 属于分式的是 ( ) A. x 1 2 B. 3 x 1 C. 2 x 5 D. 2 3 ( a b ) (2) ( 2015 金华 ) 要使分式 1 x 2 有意义 ， 则 x 的取值应满足 ( ) A x 2 B x 2 C x 2 D x 2 B D (3) ( 2015 衡阳 ) 若分式 x 2 x 1 的值为 0 ， 则 x 的值为 ( ) A 2 或 1 B 0 C 2 D 1 C 【点评】 (1) 根据分式定 义 ：形如 A B ( A ， B 表示两个整式 ) ， 且 B 中含 有字母 ， 则 式子 A B 叫做分式； (2) 分式有意 义 就是使分母不 为 0 ， 解不等式即可求出 ， 有 时还 要考 虑 二次根式有意 义 ； ( 3) 首先求出使分子 为 0 的字母的 值 ， 再 检验这 个字母的 值 是否使分母 的 值为 0 ， 当它使分母的 值 不 为 0 时 ， 这 就是所要求的字母的 值 对应训练 1 ( 1) 如果代数式 x x 1 有意义 ， 那么 x 的取值范围是 ( ) A x 0 B x 1 C x 0 D x 0 且 x 1 (2) 当 x _ _ 时 ， 分式 | x | 3 x 3 的值为 0. D 3 【例 2 】 (1) 如果把 5 x x y 的 x 与 y 都扩大 10 倍 ， 那么这个代数式的值 ( ) A 不变 B 扩大 50 倍 C 扩大 10 倍 D 缩小到原来的 1 10 (2) ( 2015 益阳 ) 下列等式成立的是 ( ) A. 1 a 2 b 3 a b B. 2 2 a b 1 a b C. ab ab b 2 a a b D. a a b a a b A C (3) ( 2014 济宁 ) 已知 x y xy ， 求代数式 1 x 1 y (1 x)(1 y) 的值 解： x y xy ， 1 x 1 y ( 1 x )( 1 y ) y x xy ( 1 x y xy ) x y xy 1 x y xy 1 1 0 0 【 点评 】 (1)分式的基本性 质 是分式 变 形的理 论 依据 ， 所有分 式 变 形都不得与此相 违 背 ， 否 则 分式的 值 改 变 ； (2)将分式化 简 ， 即 约 分 ， 要先找出分子、分母的公因式 ， 如果 分子、分母是多 项 式 ， 要先将它 们 分 别 分解因式 ， 然后再 约 分 ， 约 分 应彻 底； (3)巧用分式的性 质 ， 可以解决某些 较 复 杂 的 计 算 题 ， 可 应 用逆 向思 维 ， 把要求的算式和已知条件由两 头 向中 间 凑的方式来求代数 式的 值 对应训练 2 ( 1) 下列计算错误的是 ( ) A. 0.2 a b 0.7 a b 2 a b 7 a b B. x 3 y 2 x 2 y 3 x y C. a b b a 1 D. 1 c 2 c 3 c (2) ( 2015 河北 ) 若 a 2b 0 ， 则 a 2 b 2 a 2 ab 的值为 _ _ A 3 2 【例 3 】 ( 20 15 宜宾 ) 化简： ( 1 a 1 1 a 2 1 ) a 2 a a 2 1 . 解：原式 a 1 1 （ a 1 ）（ a 1 ） （ a 1 ）（ a 1 ） a （ a 1 ） a （ a 1 ）（ a 1 ） （ a 1 ）（ a 1 ） a （ a 1 ） 1 a 1 【点评】 ( 1) 分式的加减运算要把分子作 为 一个整体 进 行加减 ， 当分子是多 项 式 时 ， 一定要添加括号； (2) 分式化 简时 ， 分子分母能因式分解的一定先因式分解 ， 既可方便确定最 简 公分母 ， 又有利于 约 分达到 简 化 运算的效果； ( 3) 乘除法是同 级 运算 ， 必 须严 格按照从左到右的 顺 序 ， 切不可先乘后除 ， 如 a b 1 b a 是 错误 的 对应训练 3 ( 1) 化简： ( 2015 泸州 ) m 2 m 2 2m 1 ( 1 1 m 1 ) ； (2) ( 2015 连云港 ) 化简： (1 1 m 1 ) m 2 4 m 2 m . 解 ： ( 1 ) 原式 m 2 （ m 1 ） 2 m 1 1 m 1 m 2 （ m 1 ） 2 m 1 m m m 1 解：原式 m 2m 1 m （ m 1 ）（ m 2 ）（ m 2 ） mm 2 【例 4 】 ( 2015 牡丹江 ) 先化简： (x 4 x x 1 ) x 2 4x 4 x 1 ， 其中的 x 选一 个适当的数代入求值 解：原式 x （ x 1 ） 4 x x 1 x 1 （ x 2 ） 2 （ x 2 ）（ x 2 ） x 1 x 1 （ x 2 ） 2 x 2 x 2 ， 当 x 1 时 ， 原式 1 3 【 点评 】 分式化 简 求 值时 ， 应 注意：当自主确定代数式中字母 的取 值时 ， 一定要注意所 选 取的 值 不能使原分式中的分母 为 0； 另外可整体代入 计 算的要整体代入 ， 以达到 简 便 计 算的目的 对应训练 4 ( 1) ( 2014 十堰 ) 已知 a 2 3a 1 0 ， 则 a 1 a 2 的值为 ( ) A. 5 1 B 1 C 1 D 5 (2) ( 2015 黔东南州 ) 先化简 ， 再求值： m 3 3m 2 6m ( m 2 5 m 2 ) ， 其中 m 是方程 x 2 2x 3 0 的根 B 解： m 3 3m 2 6m ( m 2 5 m 2 ) m 3 3m （ m 2 ） （ m 3 ）（ m 3 ） m 2 1 3m （ m 3 ） x 2 2x 3 0 ， ( x 3 )( x 1 ) 0 ， 解得 x 1 3 ， x 2 1 ， m 是方程 x 2 2x 3 0 的根 ， m 1 3 ， m 2 1 ， m 3 0 ， m 3 ， m 1 ， 所以原式 1 3m （ m 3 ） 1 3 1 （ 1 3 ） 1 12 试题 ( 2014 河南 ) 先化简 ， 再求值： x 2 1 x 2 x ( 2 x 2 1 x ) ， 其中 x 2 1 审题视角 本 题 考 查 分式的化 简 及求 值 ， 针对 本 题 ， 应 从运算 顺 序上入 手即先 计 算括号里的分式加法 ， 再将除法 转 化 为 乘法 ， 最后 约 分化 简 ， 代入 x 的 值进 行 计 算 规范答题 解：原式 （ x 1 ）（ x 1 ） x （ x 1 ） ( 2x x 2 1 x ) （ x 1 ）（ x 1 ） x （ x 1 ） x （ x 1 ） 2 1 x 1 当 x 2 1 时 ， 原式 1 2 1 1 2 2 答题思路 分式化 简 求 值 的一般步 骤 第一步：若有括号的 ， 先 计 算括号内的运算 ， 括号内如果是异 分母加减运算 时 ， 需将异分母分式通分化 为 同分母分式运算 ， 然 后将分子合并同 类项 ， 把括号去掉 ， 简 称： 去括号 ； 第二步：若有除法运算的 ， 将分式中除号 ( )后面的式子分子 、分母 颠 倒 ， 并把 这 个式子前的 “ ” 变为 “ ” ， 保 证 几个分 式之 间 除了 “ 、 ” 就只有 “ 或 ” ， 简 称： 除法变乘法 ； 第三步： 计 算分 式乘法运算 ， 利用因式分解、 约 分来 计 算乘法 运算 ， 简 称： 先算乘法 ； 第四步：最后按照式子 顺 序 ， 从左到右 计 算分式加减运算 ， 直 到化 为 最 简 形式 ， 简 称： 再算加减 ； 第五步：将所 给 数 值 代入求 值 ， 代入数 值时 要注意使原分式有 意 义 ，简 称： 代入求值 试题 ( 2015 烟台 ) 先化简： x 2 x x 2 2x 1 ( 2 x 1 1 x ) ， 再从 2 x 3 的范 围内选取一个你最喜欢的值代入 ， 求值 错解 解：原式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 当 x 0 时 ， 原式 0. 剖析 ( 1) 由于 x 的 值 是根据自己的理解情况 给 出的 ， 所以此 题 是一道 开放型的 试题 ， 但在 选择 x 的 值时 ， 一定注意所 选择 的 x 的 值 要保 证 原分式 有意 义 ； ( 2) 在 选择 x 的 值时 ， 注意 x 除不能取 0 ， 1 外 ， 取其他 值 均可 正解 解：原式 x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 2x x 1 x （ x 1 ） x （ x 1 ） （ x 1 ） 2 x （ x 1 ） x 1 x 2 x 1 ， 当 x 2 时 ， 原式 4