中考数学第一轮知识点习题复习 锐角三角函数和解直角三角形课件.ppt

锐角三角函数和解直角三角形 第五章 图形的性质 (一 ) 1 锐角三角函数的意义 ： Rt ABC中 ， 设 C 90 ， 为 Rt ABC的一个锐角 ， 则： 的正弦 sin _； 的余弦 cos _； 的正切 tan _ 的对边 斜边 的邻边 斜边 的对边 的邻边 2 30 ， 45 ， 60 的三角函数值 如下表： 正弦 余弦 正切 30 _ 1 2 _ _ 3 2 _ _ 3 3 _ 45 _ 2 2 _ _ 2 2 _ _1 _ 60 _ 3 2 _ _ 1 2 _ _ 3 _ 3.同角三角函数之间的关系： sin2 cos2 _； tan _ 互余两角三角函数之间的关系 ：若 90 (0 90 ， 0 90 )， 则 sin cos， cos sin， tantan 1. 函数的增减性： (0 90 ) (1)sin， tan的值都随 _； (2)cos随 _ 1 sin cos 增大而增大 增大而减小 4 解直角三角形的概念、方法： 解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素 ， 求出所有未知 元素的过程叫做解直角三角形 直角三角形中的边角关系：在 Rt ABC中 ， C 90 ， A， B， C所对的边分别为 a， b， c， 则： (1)边与边的关系： _； (2)角与角的关系： _； (3)边与角的关系： _ a2 b2 c2 A B 90 si n A c os B ac ， cos A si n B bc ， ta n A ab ， tan B ba 5 直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用 ， 它经常涉 及测量、工程、航海、航空等 ， 其中包括了一些概念 ， 一定要根据题 意明白其中的含义才能正确解题 (1)铅垂线：重力线方向的直线； (2)水平线：与铅垂线垂直的直线 ， 一般情况下 ， 地平面上的两点确定 的直线我们认为是水平线； (3)仰角：向上看时 ， 视线与水平线的夹角； (4)俯角：向下看时 ， 视线与水平线的夹角； ( 5 ) 坡角：坡面与水平面的夹角； ( 6 ) 坡度： 坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度 ( 或坡比 ) ， 一般情况 下 ， 我们用 h 表示坡的铅直高度 ， 用 l 表示坡的水平宽度 ， 用 i 表示坡 度 ， 即 i h l tan ， 显然 ， 坡度越大 ， 坡角就越大 ， 坡面也就越陡； (7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90 的锐角 叫做方向角 注意：东北方向指北偏东 45 方向 ， 东南方向指南偏东 45 方向 ， 西 北方向指北偏西 45 方向 ， 西南方向指南偏西 45 方向我们一般画 图的方位为“上北下南 ， 左西右东” 1 当有些 图 形不是直角三角形 时 ， 应 大胆 尝试 添加 辅 助 线 ， 把它 们 分 割成一些直角三角形或矩形 ， 把 实际问题转 化 为 直角三角形 进 行解决 2解直角三角形的类型和解法 已知条件 图 形 解法 一直角 边 和一 锐 角 ( a ， A ) B 90 A ， c a sin A ， b a tan A 已知斜 边 和一个 锐 角 ( c ， A ) B 90 A ， a c si n A, b c cos A 已知两直角 边 ( a ， b ) c a 2 b 2 ， 由 t an A a b 求 A ， B 90 A 已知斜 边 和一条 直角 边 ( c ， a ) b c 2 a 2 ， 由 si n A a c 求 A ， B 90 A 3.解直角三角形小口 诀 ： 有斜用弦 ， 无斜用切 ，宁乘毋除，取原避中 有斜用弦：已知斜边时用正弦或余弦； 无斜用切：与直角边有关，没斜边时用正切； 宁乘毋除：能用乘法时尽量回避除法运算，减小计算量和误差； 取原避中：计算时尽量使用原始数据，少用计算过程中得到的近似数 以减小误差 1 ( 2014 锦州 ) 计算： tan 45 1 3 ( 3 1) 0 _ 2 ( 2014 本溪 ) 在 ABC 中 ， B 45 ， cos A 1 2 ， 则 C 的度数是 _ _ _ 3 ( 2013 鞍山 ) ABC 中 ， C 90 ， AB 8 ， c os A 3 4 ， 则 BC 的长 _ _ _ 4 ( 2015 阜新 ) 如图 ， 为了测量楼的高度 ， 自楼的顶部 A 看地面上的一点 B ， 俯角为 30 ， 已知地面上的这点与楼的水平距离 BC 为 30 m ， 那么楼 的高度 AC 为 _ _ _ _ _ m ( 结果保留根号 ) 2 3 75 2 7 10 3 5 (2015大连 )如图 ， 从一个建筑物的 A处测得 对面楼 BC的顶部 B的仰角为 32， 底部 C的俯角 为 45 ， 观测点与楼的水平距离 AD为 31 m， 则 楼 BC的高度约为 _m (结果取整数 ， 参考 数据： sin32 0.5， cos32 0.8， tan32 0.6) 6 (2015抚顺 )如图 ， 在 A处看建筑物 CD的顶 端 D的仰角为 ， 且 tan 0.7， 向前行进 3米到达 B处 ， 从 B处看 D的仰角为 45 (图中各点均在同 一平面内 ， A， B， C三点在同一条直线上 ， CD AC)， 则建筑物 CD的高度为 _米 50 7 7 (2014抚顺 )如图 ， 河流两岸 a， b互相平行 ， 点 A， B是河岸 a上的两 座建筑物 ， 点 C， D是河岸 b上的两点 ， A， B的距离约为 200米 ， 某人在 河岸 b上的点 P处测得 APC 75 ， BPD 30 ， 则河流的宽度约为 _米 100 8 (2014阜新 )如图 ， 将矩形 ABCD沿 AE折叠 ， 点 D恰好落在 BC边 上的点 F处 ， 如果 AB AD 2 3， 那么 tan EFC值是 _ 52 9 ( 2015 盘锦 ) 如图 ， 小明家小区空地上有两棵笔直的树 CD ， EF ， 一天 ， 他在 A 处测得树顶 D 的仰角 DAC 30 ， 在 B 处测得树顶 F 的仰角 FBE 45 ， 线段 BF 恰好经过树顶 D ， 已知 A ， B 两处的距离为 2 米 ， 两棵树之间的距离 CE 3 米 ， A ， B ， C ， E 四点在一条直线上 ， 求树 EF 的高度 ( 3 1.7 ， 2 1.4 ， 结果保留一位小数 ) 解：设 CD x 米 ， 在 Rt BCD 中 ， DBC 45 ， BC CD x ， 在 Rt D AC 中 ， D AC 30 ， ta n DAC CD AC ， x 2 3 x ， 解得 x 3 1 ， BC CD 3 1 ， 在 Rt FBE 中 ， DBC 45 ， FE BE BC CE 3 1 3 5.7 ， 答：树 EF 的高度约 为 5.7 米 10 (2015本溪 )张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树 CD 的高度 ， 如图 ， 山坡与水平面成 30 角 (即 MAN 30 )， 在山坡底部 A处测得大树顶端点 C的仰角为 45 ， 沿坡面前进 20米 ， 到达 B处 ， 又测 得树顶端点 C的仰角为 60 (图中各点均在同一平面内 )， 求这棵大树 CD 的高度 (结果精确到 0.1米 ， 参考数据： 1.732) 解：如图 ， 过 B 作 BE CD 交 CD 延长线于 E ， CAN 45 ， MAN 30 ， C AB 15 ， CBE 60 ， DBE 30 ， CBD 30 ， CBD CAB ACB ， CAB A CB 15 ， AB BC 20 ， 在 Rt BCE 中 ， CBE 60 ， BC 20 ， CE BC sin CBE 20 3 2 10 3 ， BE BC c os CBE 20 0.5 10 ， 在 Rt DB E 中 ， DBE 30 ， BE 10 ， DE BE tan DBE 10 3 3 10 3 3 ， CD CE DE 10 3 10 3 3 20 3 3 1 1.5 ， 答：这棵大树 CD 的高度大约为 1 1. 5 米 11 ( 201 5 锦州 ) 如图 ， 三沙市一艘海监船某天在黄岩岛 P 附近海域由南向北巡航 ， 某一时刻航行到 A 处 ， 测得 该岛在北偏东 30 方向 ， 海监船以 20 海里 / 时的速度继 续航行 ， 2 小时后到达 B 处 ， 测得该岛在北偏东 75 方 向 ， 求此时海监船与黄岩岛 P 的距离 BP 的长 ( 参考数 据： 2 1.41 4 ， 结果精确到 0 .1) 解：过 B 作 BD AP 于 D ， 由已知条件得： AB 20 2 40 ， P 75 30 45 ， 在 Rt AB D 中 ， AB 40 ， A 30 ， BD 1 2 AB 20 ， 在 Rt BDP 中 ， P 45 ， PB 2 BD 20 2 28.3 ( 海 里 ) 答：此时海监船与黄岩岛 P 的距离 BP 的长约为 28. 3 海里 12 ( 2015 葫芦 岛 ) 如图 ， 小岛 A 在港口 B 的北偏东 50 方向 ， 小岛 C 在港口 B 的北偏西 25 方向 ， 一艘轮船以 每小时 20 海里的速度从港口 B 出发向小岛 A 航行 ， 经过 5 小时到达小岛 A ， 这时测得小岛 C 在小岛 A 的北偏西 70 方向 ， 求小岛 A 距离小岛 C 有多少海里？ ( 最后结果精确到 1 海里 ， 参考数据： 2 1.1 414 ， 3 1.7 32 ) 解：由题意得 ， ABC 25 50 75 ， B AC 180 70 50 60 ， 在 ABC 中 ， C 45 ， 过点 B 作 BD AC ， 垂足为点 D ， AB 20 5 100 ， 在 Rt AB D 中 ， BAD 60 ， BD AB s in 60 100 3 2 50 3 ， AD AB c os 60 100 1 2 50 ， 在 Rt BCD 中 ， C 45 ， CD BD 50 3 ， AC AD CD 50 50 3 137 ( 海 里 ) ， 答：小岛 A 距离小岛 C 约是 137 海里 锐角三角函数的定义 【 例 1】 ABC中 ， a， b， c分别是 A， B， C的对边 ， 如果 a2 b2 c2， 那么下列结论正确的是 ( ) A csinA a B bcosB c C atanA b D ctanB b 【 点评 】 本题 主要考查了三角函数的定义和勾股定理的逆定理 解决本题 的关键是掌握好三角函数的定义 A 对应训练 1 ( 2014 武汉 ) 如图 ， PA ， PB 切 O 于 A ， B 两点 ， CD 切 O 于点 E ， 交 PA ， PB 于 C ， D. 若 O 的半径为 r ， PC D 的周长等于 3r ， 则 tan AP B 的值是 ( ) A . 5 12 13 B . 12 5 C . 3 5 13 D . 2 3 13 B 锐角三角函数的计算 【 例 2】 (1)tan30 sin60 cos230 sin245 tan45 . 解：原式 33 32 ( 32 ) 2 12 12 34 12 34 (2) ( 辽阳模拟 ) 已知 ， 均为锐角 ， 且满足 | si n 12 | （ tan 1 ） 2 0 ， 则 _ _ _ _ 75 【 点评 】 利用特殊角的三角函数 值进 行数的运算 ， 往往与 绝对值 、 乘方、开方、二次根式相 结 合 准确地 记 住三角函数 值 是解决此 类题 目的关 键 ， 所以必 须 熟 记 对应训练 2 计算： c os 2 60 cos 6 01 si n 3 0 tan 2 45 si n 2 45 . 解：原式 ( 12 ) 2 1 2 1 12 1 12 14 解直角三角形 【例 3 】 ( 2 0 15 襄阳 ) 如图 ， AD 是 ABC 的中线 ， ta n B 1 3 ， c os C 2 2 ， AC 2 . 求： (1)BC 的长； (2) si n A DC 的值 解：过点 A 作 AE BC 于点 E ， co s C 2 2 ， C 45 ， 在 Rt ACE 中 ， CE AC c os C 1 ， AE CE 1 ， 在 Rt ABE 中 ， tan B 1 3 ， 即 AE BE 1 3 ， BE 3AE 3 ， BC BE CE 4 ( 2) AD 是 ABC 的中线 ， CD 1 2 BC 2 ， DE CD CE 1 ， AE BC ， DE AE ， A DC 45 ， sin A DC 2 2 【 点评 】 将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件 对应训练 3 ( 锦州模拟 ) 在 ABC 中 ， AD 是 BC 边上的高 ， C 45 ， si n B 1 3 ， AD 1. 求 BC 的长 解：在 Rt ABD 中 ， si n B AD AB 1 3 ， 又 AD 1 ， AB 3 ， BD 2 AB 2 AD 2 ， BD 3 2 1 2 2 2 . 在 Rt A DC 中 ， C 45 ， CD AD 1. BC BD DC 2 2 1 解直角三角形的实际运用 【例 4 】 ( 20 14 广安 ) 为邓小平诞辰 1 10 周年献礼 ， 广安市政府对城市建 设进行了整改 ， 如图 ， 已知斜坡 AB 长 60 2 米 ， 坡角 ( 即 BAC) 为 45 ， BC AC ， 现计划在斜坡中点 D 处挖去部分斜坡 ， 修建一个平行于水平线 CA 的休闲平台 DE 和一条新的斜坡 BE( 下面两个小题结果都保留根号 ) (1) 若修建的斜坡 BE 的坡比为 3 1 ， 求休闲平台 DE 的长是多少米？ (2) 一座建筑物 GH 距离 A 点 33 米远 ( 即 AG 33 米 ) ， 小亮在 D 点测得建 筑物顶部 H 的仰角 ( 即 H DM) 为 30 . 点 B ， C ， A ， G ， H 在同一个平面 内 ， 点 C ， A ， G 在同一条直线上 ， 且 HG CG ， 问建筑物 GH 高为多少 米？ 解： ( 1) FM CG ， B DF BAC 45 ， 斜坡 AB 长 60 2 米 ， D 是 AB 的中点 ， BD 30 2 米 ， DF BD cos BD F 30 2 2 2 30( 米 ) ， BF DF 30 米 ， 斜坡 BE 的坡比为 3 1 ， BF EF 3 1 ， 解得 EF 10 3 ( 米 ) ， DE DF EF ( 30 10 3 ) 米答：休闲平台 DE 的长 是 (30 10 3 ) 米 (2) 设 GH x 米 ， 则 MH GH GM (x 30) 米 ， DM AG AP 33 30 63 ( 米 ) ， 在 Rt D MH 中 ， t an 30 MH DM ， 即 x 30 63 3 3 ， 解得 x 30 21 3 ， 答：建筑物 GH 的高为 ( 30 21 3 ) 米 【 点评 】 此 题 考 查 了坡度、坡角 问题 以及俯角、仰角的定 义 要注意 根据 题 意构造直角三角形 ， 并解直角三角形；注意掌握数形 结 合思想与 方程思想的 应 用 对应训练 4 ( 2015 鞍山 ) 如图 ， 一艘海上巡逻船在 A 地巡航 ， 测得 A 地在观测站 B 的南偏东 45 方向上 ， 在观测站 C 的南偏西 60 方向上 ， 观测站 B 在观 测站 C 的正西方向 ， 此时 A 地与观测站 B 的距离为 20 2 n mile / h . ( 1 ) 求 A 地与观测站 C 的距离是多少海里 ( 2 ) 现收到故障船 D 的求救信号 ， 要求巡逻船从 A 地马上前去救援 ( C ， A ， D 共线 ) ， 已知 D 船位于观测站 B 的南偏西 15 方向上 ， 巡逻船的速度是 12 n mile / h ， 求巡逻船从 A 地到达故障船 D 处需要多长时间 ( 结果保留小数点后一位 ， 参考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ， 5 2.2 4 ) 解： ( 1 ) 过点 A 作 AE BC 于点 E ， 由题意可知 ABE 45 ， A CE 30 ， 在 Rt AEB 中 ， AB 20 2 n mile ， 所以 AE AB sin ABE 20 2 2 2 20 ( n mile ) ， 在 Rt AE C 中 ， AC AE sin ACE 20 1 2 40 ( n mile ) ， 所 以 A 地与观测站 C 的距离是 40 n mile ( 2 ) 过点 A 作 AF BD 于点 F ， 由题意可知 ABF 45 15 60 ， 在 Rt AF B 中 ， AF AB sin ABF 20 2 3 2 10 6 ( n mile ) ， 因为 BAC 180 45 30 105 ， 所以 D 105 60 45 ， 在 Rt A F D 中 ， AD AF sin D 10 6 2 2 20 3 ( n mile ) ， 20 3 12 5 3 3 2.9 ( h ) ， 所以巡逻船从 A 地到达故障船 D 处需要 2.9 h 7.运用三角函数解决实际应用问题 试题 ( 2015 铁岭 ) 如图 ， 大楼 AN 上悬挂一条幅 AB ， 小颖在坡面 D 处 测得条幅顶部 A 的仰角为 30 ， 沿坡面向下走到坡脚 E 处 ， 然后向大楼 方向继续行走 10 米来到 C 处 ， 测得条幅的底部 B 的仰角为 45 ， 此时 小颖距大楼底端 N 处 20 米 ， 已知坡面 DE 20 米 ， 山坡的坡度 i 1 3 ( 即 tan DEM 1 3 ) ， 且 D ， M ， E ， C ， N ， B ， A 在同一平面内 ， E ， C ， N 在同一条直线上 ， 求条幅的长度 ( 结果精确到 1 米 ， 参考数据： 3 1.7 3 ， 2 1.4 1 ) 审题视角 (1)分清已知条件和未知条件 (待求 )； (2)将问题集中到一个直角三角形中； (3)利用直角三角形的边角之间关系 (三角函数 )求解 规范解题 解：过点 D 作 DH AN 于 H ， 过点 E 作 FE DH 于 F ， 坡面 DE 20 米 ， 山坡的坡度 i 1 3 ， EF 10 米 ， DF 10 3 米 ， DH DF EC CN (10 3 3 0) 米 ， A DH 30 ， AH 3 3 DH (10 10 3 ) 米 ， AN AH EF (20 10 3 ) 米 ， BCN 45 ， CN BN 20 米 ， AB AN BN 10 3 1 7( 米 ) ， 答：条幅的长度是 17 米 答题思路 解直角三角形 应 用 题 的一般步 骤为 ： 第一步：分析 理解 题 意 ， 分清已知与未知 ， 画出示意 图 ； 第二步：建模 根据已知条件与求解目 标 ， 把已知条件与求解量尽量 集中在有关的三角形中 ， 建立一个解直角三角形的数学模型； 第三步：求解 利用三角函数有序地解出三角形 ， 求得数学模型的解 ； 第四步： 检验 检验 上述所求的解是否符合 实际 意 义 ， 从而得出 实际 问题 的解 . 20.忽略直角三角形出错 试题 在 A B C 中 ， A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 且 a b c 3 4 5 ， 求证： si n A si n B 75 . 错解 设 a 3k ， b 4k ， c 5k ， 则 si n A ac 3k5k 35 ， si n B bc 4k5k 45 ， si n A si n B 35 45 75 . 剖析 本题中没有说明 C 90 ，而直接应用正弦、余弦函数的定 义是错误的，应先证明 ABC为直角三角形，且 C 90 后才能用 定义 正解 设 a 3k ， b 4k ， c 5k ( k 0 ) ， a 2 b 2 ( 3k ) 2 ( 4k ) 2 25k 2 c 2 ， ABC 是以 c 为斜边的直角三角形 C 90 ， 则 si n A a c 3k 5k 3 5 ， si n B b c 4k 5k 4 5 ， si n A si n B 3 5 4 5 7 5