中考数学总复习 第六章 图形的性质（二）第24讲 直线与圆的位置关系课件.ppt

第 24讲 直线与圆的位置关系 浙江专用 直线和圆的位置关系 (1)设 r是 O的半径 ， d是圆心 O到直线 l的距离 直线和 圆的位 置 图形 公共 点个 数 圆心到直线的 距离 d 与半 径 r 的关系 公共点 名称 直线 名称 相交 2 d r 交点 割线 相切 1 d r 切点 切线 相离 0 d r 无 无 (2)切线的性质： 切线的性质定理：圆的切线 _经过切点的半径 推论 1：经过切点且垂直于切线的直线必经过 _ 推论 2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 _ (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且 _这条半径的直 线是圆的切线 (4)切线长定义：从圆外一点作圆的切线 ， 把圆外这一点到切点间的 _的长叫做切线长 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长 _ (5)三角形的内切圆：和三角形三边都 _的圆叫做三角形的内 切圆 ， 内切圆的圆心是 _ 内切圆的圆心叫做三角形的 _， 内切圆的半径是内心到三边 的距离 ， 且在三角形内部 垂直于 圆心 切点 垂直于 线段 相等 相切 三角形三条角平分线的交点 内心 1 证直线为圆的切线的两种方法 (1)若知道直线和圆有公共点时 ， 常连结公共点和圆心 ， 证明直线垂直半 径； (2)不知道直线和圆有公共点时 ， 常过圆心向直线作垂线 ， 证明垂线段的 长等于圆的半径 2 圆中的分类讨论 圆是一种极为重要的几何图形 ， 由于图形位置 、 形状及大小的不确定 ， 经常出现多结论情况 (1)由于点在圆周上的位置的不确定而分类讨论； (2)由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论； (3)由于弦的位置不确定而分类讨论； (4)由于直线与圆的位置关系的不确定而分类讨论 3 常见的辅助线 (1)当已知条件中有切线时 ， 常作过切点的半径 ， 利用切线的性质定 理来解题； (2)遇到两条相交的切线时 (切线长 )， 常常连结切点和圆心、连结圆心 和圆外的一点、连结两切点 1 (2016湘西州 )在 Rt ABC中 ， C 90 ， BC 3 cm， AC 4 cm ， 以点 C为圆心 ， 以 2.5 cm为半径画圆 ， 则 C与直线 AB的位置关系 是 ( ) A 相交 B 相切 C 相离 D 不能确定 2 (2016酒泉 )如图 ， AB和 O相切于点 B， AOB 60 ， 则 A 的大小为 ( ) A 15 B 30 C 45 D 60 A B 3 (2016湖州 )如图 ， 圆 O是 Rt ABC的外接圆 ， ACB 90 ， A 25 ， 过点 C作圆 O的切线 ， 交 AB的延长线于点 D， 则 D的度数是 ( ) A 25 B 40 C 50 D 65 4 (2016德州 ) 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 ， 书 中有下列问题 “ 今有勾八步 ， 股十五步 ， 问勾中容圆径几何？ ” 其意思 是： “ 今有直角三角形 ， 勾 (短直角边 )长为 8步 ， 股 (长直角边 )长为 15步 ， 问该直角三角形能容纳的圆形 (内切圆 )直径是多少？ ” ( ) A 3步 B 5步 C 6步 D 8步 B C 5 ( 2 0 1 6 台州 ) 如图 ， 在 A B C 中 ， AB 10 ， AC 8 ， BC 6 ， 以边 AB 的中点 O 为圆心 ， 作半圆与 AC 相切 ， 点 P ， Q 分别是边 BC 和半 圆上的动点 ， 连结 PQ ， 则 PQ 长的最大值与最小值的和是 ( ) A 6 B 2 13 1 C 9 D. 32 3 C 判断直线与圆的位置关系 【 例 1】 (1)如图 ， O的半径为 4 cm， OA OB， OC AB于点 C， OB 4， OA 2， 试说明 AB是 O的切线 解： OA OB ， AB OA 2 OB 2 （ 2 5 ） 2 （ 4 5 ） 2 10. 又 S AOB 1 2 AB OC 1 2 OA OB ， OC OA OB AB 2 5 4 5 10 4. 又 O 的半径为 4 ， AB 是 O 的切线 (2)如图 ， 已知在 OAB中 ， OA OB 13， AB 24， O的半径长为 r 5.判断直线 AB与 O的位置关系 ， 并说明理由 解：直线 AB 与 O 相切理由：过点 O 作 OC AB 于 C ( 图略 ) OA OB 13 ， AC BC 1 2 AB 12. 在 Rt AOC 中 ， OC OA 2 AC 2 13 2 12 2 5 r ， 直线 AB 与 O 相切 【 点评 】 在判定直线与圆相切时 ， 若直线与圆的公共点已知 ， 证题 方法是 “ 连半径 ， 证垂直 ” ；若直线与圆的公共点未知 ， 证题方法是 “ 作垂线 ， 证半径 ” 这两种情况可概括为一句话： “ 有交点连半径 ， 无交点作垂线 ” 对应训练 1 (1)(2015齐齐哈尔 )如图 ， 两个同心圆 ， 大圆的半径为 5， 小圆的半 径为 3， 若大圆的弦 AB与小圆有公共点 ， 则弦 AB的取值范围是 ( ) A 8AB10 B 8 AB10 C 4AB5 D 4 AB5 A (2)(2016永州 )如图 ， 给定一个半径长为 2的圆 ， 圆心 O到水平直线 l的 距离为 d， 即 OM d.我们把圆上到直线 l的距离等于 1的点的个数记为 m. 如 d 0时 ， l为经过圆心 O的一条直线 ， 此时圆上有四个到直线 l的距离 等于 1的点 ， 即 m 4， 由此可知：当 d 3时 ， m _；当 m 2时 ， d的取值范围是 _ 1 1 d 3 圆的切线的性质 【例 2 】 ( 2 0 1 6 天津 ) 在 O 中 ， AB 为直径 ， C 为 O 上一点 ( 1 ) 如图 ， 过点 C 作 O 的切线 ， 与 AB 的延长线相交于点 P ， 若 C A B 27 ， 求 P 的大小； ( 2 ) 如图 ， D 为 AC 上一点 ， 且 OD 经过 AC 的中点 E ， 连结 DC 并延长 ， 与 AB 的延长线相交于点 P ， 若 C A B 10 ， 求 P 的大小 解： ( 1 ) 如图 ， 连结 OC ， O 与 PC 相切于点 C ， OC PC ， 即 OC P 90 ， C A B 27 ， C OB 2 C A B 54 ， 在 Rt C OP 中 ， P C OP 90 ， P 90 C OP 36 ； ( 2 ) E 为 AC 的中点 ， OD AC ， 即 A EO 90 ， 在 Rt A OE 中 ， 由 E A O 10 ， 得 A OE 90 E A O 80 ， AC D 1 2 A OD 40 ， AC D 是 AC P 的一个外角 ， P AC D A 40 10 30 . 【 点评 】 本题主要考查了切线的性质和应用 ， 要熟练掌握切线的性 质：圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的 直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 对应训练 2 (2016丹东 )如图 ， AB是 O的直径 ， 点 C在 AB的延长线上 ， CD与 O相切于点 D， CE AD， 交 AD的延长线于点 E. (1)求证： BDC A； (2)若 CE 4， DE 2， 求 AD的长 ( 1 ) 证明：如图 ， 连结 OD ， CD 是 O 的切线 ， ODC 90 ， 即 ODB B DC 90 ， AB 为 O 的直径 ， ADB 90 ， 即 ODB A DO 90 ， B DC ADO ， OA OD ， ADO A ， B DC A ； ( 2 ) 解： CE AE ， E A DB 90 ， DB EC ， D C E B DC ， B D C A ， A DC E ， E E ， A EC C ED ， CE DE AE CE ， EC 2 DE A E ， 16 2 ( 2 A D) ， A D 6. 切线的判定与性质的综合运用 【 例 3】 (2016永州 )如图 ， ABC是 O的内接三角形 ， AB为直径 ， 过点 B的切线与 AC的延长线交于点 D， E是 BD中点 ， 连结 CE. (1)求证： CE是 O的切线； (2)若 AC 4， BC 2， 求 BD和 CE的长 ( 1 ) 证明：连结 OC ， 如图所示 ， BD 是 O 的切线 ， C B E A ， A B D 90 ， AB 是 O 的直径 ， AC B 90 ， A C O B C O 90 ， BCD 90 ， E 是 BD 中点 ， CE 1 2 BD BE ， B C E C B E A ， OA OC ， AC O A ， A C O B C E ， B C E B C O 90 ， 即 OC E 90 ， CE OC ， CE 是 O 的切线； ( 2 ) 解： AC B 90 ， AB AC 2 BC 2 4 2 2 2 2 5 ， ta n A BD AB BC AC 2 4 1 2 ， BD 1 2 AB 5 ， CE 1 2 BD 5 2 . 【 点评 】 本题考查了切线的判定与性质 ， 解题的关键是：熟记切线 的判定定理与性质定理：经过半径的外端 ， 并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的直径 对应训练 3 ( 2 0 1 6 衢州 ) 如图 ， AB 为 O 的直径 ， 弦 CD AB ， 垂足为点 P ， 直 线 BF 与 AD 的延长线交 于点 F ， 且 AF B A B C . ( 1 ) 求证：直线 BF 是 O 的切线； ( 2 ) 若 CD 2 3 ， OP 1 ， 求线段 BF 的长 ( 1 ) 证明： A FB A B C ， A B C ADC ， A F B ADC ， CD BF ， A P D A B F ， CD AB ， AB BF ， 直线 BF 是 O 的切线 ( 2 ) 解：连结 OD ( 图略 ) ， CD AB ， PD 1 2 CD 3 ， OP 1 ， OD 2 ， OA 2 ， AP OA OP 3 ， AB 4 ， P A D B A F ， A P D A B F ， A P D A B F ， AP AB PD BF ， 3 4 3 BF ， BF 4 3 3 . 试题 如图 ， P 是 O 外一点 ， PA 切 O 于点 A ， AB 是 O 的直径 ， BC OP 交 O 于点 C. ( 1 ) 判断直线 PC 与 O 的位置关系 ， 并证明你的结论； ( 2 ) 若 BC 2 ， s in 1 2 A P C 1 3 ， 求 PC 的长及点 C 到 PA 的距离 审题视角 ( 1 ) 直线 PC 与 O 交于点 C ， 可以初步判定直线与圆相切或相交； ( 2 ) P A 切 O 于点 A ， 根据切线的性质 ， 可知 P A O 90 ， 连结 CO ， 能 证得 P C O P A O 90 ， PC 与 O 相 切；而后由 PC 是切线解得 PC 长 规范答题 解： (1)直线 PC与 O相切 证明：如图 ， 连结 OC， BC OP， 1 2， 3 4. OB OC， 1 3， 2 4. 又 OC OA， OP OP， POC POA(SAS)， PCO PAO. PA切 O于点 A， PAO 90 ， PCO 90 ， PC与 O相切 ( 2 ) P OC P OA ， 5 6 1 2 A P C ， s in 5 s in 1 2 A P C 1 3 . P C O 90 ， 2 5 90 ， co s 2 s in 5 1 3 . 3 1 2 ， co s 3 1 3 . 如图 ， 连结 AC ， AB 是 O 的直径 ， AC B 90 ， AB BC co s 3 2 1 3 6 ， OA OB OC 3 ， AC AB 2 BC 2 4 2 ， 在 Rt P OC 中 ， OP OC s in 5 9 ， PC OP 2 OC 2 6 2 . 如图 ， 过点 C 作 CD PA 于 D ， AC B P A O 90 ， 3 7 90 ， 7 8 90 ， 3 8 ， co s 8 co s 3 1 3 . 在 Rt C A D 中 ， AD AC co s 8 4 2 1 3 4 3 2 . CD AC 2 AD 2 16 3 ， 即点 C 到 PA 的距离为 16 3 . 答题思路 第一步：探索可能的结论 ， 假设符合要求的结论存在； 第二步：从条件出发 (即假设 )求解； 第三步：确定符合要求的结论存在或不存在； 第四步：给出明确结果； 第五步：反思回顾 ， 查看关键点 ， 易错点及答题 规范 试题 在 Rt A B C 中 ， C 90 ， AC 3 ， BC 4 ， 若以 C 为圆心 ， R 为半径的圆与斜边 AB 只有一个公共点 ， 求 R 的值 错解 解： C 与 AB 只有一个公共点 ， C 与 AB 相切 ， 如图 ， AB 3 2 4 2 5 ， S A BC 1 2 A B C D 1 2 A C B C ， CD AC B C AB 3 4 5 12 5 ， 圆与 AB 相切时 ， 即 R CD 12 5 . 剖析 当 C 与 AB 相切时 ， 只有一个交点 ， 同时要注意 AB 是线段 ， 当 圆的半径 R 在一定范围内时 ， 斜边 AB 与 C 相交且只有一个公共点 正解 当 O 与 AB 相切时 ， 圆与 AB 只有一个公共点 ， 如图 ， AB 3 2 4 2 5 ， S A BC 1 2 A B C D 1 2 AC B C ， CD AC B C AB 3 4 5 12 5 ； 当 C 与斜边 AB 相交时 ， 点 A 在圆内部 ， 点 B 在圆上或圆外时 ， 圆与 AB 只有一个公共点 ， 如图 ， 此时 AC R BC ， 即 3 R 4. 故答案为： 3 R 4 或 R 12 5 .