中考数学总复习 第三章 函数 第14节 二次函数的图象和性质课件.ppt

数学 第 14节 二次函数的图象和性质 四川专用 定义：形如 (a0， a， b， c为常数 ) 的函数 ， 叫做二 次函数 ， 其中 x是自变量 ， a， b， c分别是函数解析式的二次项系数 ， 一次项 系数和常数项 y ax2 bx c 是二次函数 y ax2 bx c与 x轴的交点的横坐标 ) 1. 当 b 2 4ac 0 时 ， 抛物线与 x 轴有两个交点 ， 方程有两个 25 不相等 的实数根 2. 当 b 2 4ac 0 时 ， 抛物线与 x 轴有一个交点 ， 方程有两个 26 相等 的实数根 3. 当 b 2 4ac 0 时 ， 抛物线与 x 轴无交点 ， 方程 27 无 实数根 1 (2016南充 )抛物线 y x2 2x 3的对称轴是 ( ) A 直线 x 1 B直线 x 1 C 直线 x 2 D直线 x 2 2 (2014成都 )将二次函数 y x2 2x 3化为 y (x h)2 k的形式 ， 结 果为 ( ) A y (x 1)2 4 B y (x 1)2 2 C y (x 1)2 4 D y (x 1)2 2 B D 3 (2016成都 )二次函数 y 2x2 3的图象是一条抛物线 ， 下列关于该 抛物线的说法 ， 正确的是 ( ) A 抛物线开口向下 B 抛物线经过点 (2， 3) C 抛物线的对称轴是直线 x 1 D 抛物线与 x轴有两个交点 4 (2015攀枝花 )将抛物线 y 2x2 1向右平移 1个单位长度 ， 再向上 平移 1个单位长度所得的抛物线解析式为 ( ) A y 2(x 1)2 B y 2(x 1)2 2 C y 2(x 1)2 2 D y 2(x 1)2 1 D C 5 ( 2014 泸州 ) 已知抛物线 y x 2 2x m 1 与 x 轴有两个不同的交点 ， 则函 数 y m x 的大致图象是 ( ) D 6 ( 导学号 14 952075 )( 2016 巴中 ) 如图是二次函数 y ax 2 bx c 图象的 一部分 ， 图象过点 A( 3 ， 0 ) ， 对称轴为直线 x 1 ， 给出四个结论： c 0 ； 若点 B( 3 2 ， y 1 ) ， C ( 5 2 ， y 2 ) 为函数图象上的两点 ， 则 y 1 y 2 ； 2a b 0 ； 4ac b 2 4a 0 . 其中 ， 正确结论的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 B 7 ( 导学号 149 520 76 )( 2016 泸州 ) 若二次函数 y 2x 2 4x 1 的图象与 x 轴交于 A ( x 1 ， 0 ) ， B ( x 2 ， 0 ) 两点 ， 则 1 x 1 1 x 2 的值为 _ _ 4 【 例 1】 (1)(2016宁波 )已知函数 y ax2 2ax 1(a是常数 ， a0)， 下列 结论正确的是 ( ) A 当 a 1时 ， 函数图象过点 ( 1， 1) B 当 a 2时 ， 函数图象与 x轴没有交点 C 若 a 0， 则当 x1时 ， y随 x的增大而减小 D 若 a 0， 则当 x1时 ， y随 x的增大而增大 (2)(2016怀化 )二次函数 y x2 2x 3的开口方向、顶点坐标分别是 ( ) A 开口向上 ， 顶点坐标为 ( 1， 4) B 开口向下 ， 顶点坐标为 (1， 4) C 开口向上 ， 顶点坐标为 (1， 4) D 开口向下 ， 顶点坐标为 ( 1， 4) D A (3) ( 导学号 14 952077 )( 2016 泰州 ) 二次函数 y x 2 2x 3 的图象如图所 示 ， 若线段 AB 在 x 轴上 ， 且 AB 为 2 3 个 单位长度 ， 以 AB 为边作等边 ABC ， 使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上 ， 则点 C 的坐标为 (1 7 ， 3 ) 或 (2 ， 3) 【 例 2】 (导学号 14952078)已知抛物线 y a(x h)2 2(a， h是常数 ， a0)与 x轴交于点 A， B， 与 y轴交于点 C， 点 M为抛物线顶点 (1)若点 A( 1， 0)， B(5， 0)， 求抛物线的解析式； (2)若点 A( 1， 0)， 且 ABM是直角三角形 ， 求抛物线的解析式； (3)若抛物线与直线 y1 x 6相交于 M， D两点 ， 用含 a的式子表示点 D 的坐标；当 CD x轴时 ， 求抛物线的解析式 分析： ( 1 ) 利用对称性得到抛物线的对称轴为直线 x 2 ， 然后把 A 点坐标代 入 y a ( x 2 ) 2 2 中求出 a 即可得到抛物线解析式 ； ( 2 ) 易得 ABM 是等腰直角 三角形 ， M ( h ， 2 ) ， 根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半得 AB 4 ， 于是得到 B 点坐标为 ( 5 ， 0 ) 或 ( 3 ， 0 ) ， 把 A ( 1 ， 0 ) ， B 代入 y a ( x h ) 2 2 中 ， 然 后分别解方程组求出对应的 a 和 h 的值 ； ( 3 ) 利用一次函数解析式求出 M ( 4 ， 2 ) ， 再通过解方程组 y a （ x 4 ） 2 2 ， y x 6 得 D 点坐标 ； 先表示出 C ( 0 ， 16a 2 ) ， 利 用 CD x 轴得到 C 点和 D 点的纵坐标相等得到关于 a 的方程 ， 然后解方程求出 a 可得到抛物线解析式 解： (1) 抛物线过点 A( 1 ， 0 ) ， B (5 ， 0 ) ， 抛物线的对称轴为直线 x 2 ， 把 A( 1 ， 0 ) 代入 y a(x 2) 2 2 得 a( 1 2) 2 2 0 ， 解得 a 2 9 ， 抛物线解析式为 y 2 9 (x 2) 2 2 (2) 点 A 与点 B 为对称点 ， ABM 是等腰直角三角形 ， 而 M(h ， 2) ， AB 2 | 2| 4 ， B 点坐标为 ( 5 ， 0 ) 或 (3 ， 0 ) ， 把 A( 1 ， 0 ) ， B ( 5 ， 0 ) 代入 y a(x h) 2 2 得 a （ 1 h ） 2 2 0 ， a （ 5 h ） 2 2 0 ， 解得 h 3 ， a 1 2 ， 此时抛物线解析式为 y 1 2 (x 3) 2 2 ；把 A( 1 ， 0 ) ， B (3 ， 0 ) 代入 y a(x h) 2 2 得 a （ 1 h ） 2 2 0 ， a （ 3 h ） 2 2 0 ， 解得 h 1 ， a 1 2 ， 此时抛物线解析式为 y 1 2 (x 1) 2 2 (3) 把 M(h ， 2) 代入 y x 6 得 h 6 2 ， 解得 h 4 ， 解方程组 y a （ x 4 ） 2 2 ， y x 6 ， 得 x 4 ， y 2 或 x 4a 1 a ， y 1 2a a . D 点坐标为 ( 4a 1 a ， 1 2a a ) ； 当 x 0 时 ， y a(0 4) 2 2 16a 2 ， 则 C(0 ， 16a 2) ， CD x 轴 ， 1 2a a 16a 2 ， 解得 a 1 4 ， 抛物线解析式为 y 1 4 (x 4) 2 2 或 y 1 4 (x 4) 2 2 【 例 3】 画出函数 y 2x2 8x 6的图象 ， 根据图象回答： (1)方程 2x2 8x 6 0的解是什么； (2)当 x取何值时 ， y 0； (3)当 x取何值时 ， y 0. 解：函数 y 2x2 8x 6的图象如图由图象可知： (1)方程 2x2 8x 6 0的解 x1 1， x2 3 (2)当 1 x 3时 ， y 0 (3)当 x 1或 x 3时 ， y 0 考虑问题不周全或忽略了某些条件而出错 【 例 4】 已知函数 y (m 2)xm2 2m 4 10 x 2是关于 x的二次函数 ， 求： (1)满足条件的 m的值； (2)抛物线的对称轴是什么？ y是怎样随着 x的变化而变化的？ 解： (1)根据题意得 m2 m 4 2且 m 20， 解得 m 3 (2)把 m 3代入函数解析式得 y 5x2 10 x 2 5(x 1)2 7， 则对称轴是 x 1， 函数开口向下 ， 则当 x 1时 ， y随 x的增大而增大 ， 当 x 1时 ， y随 x的增大而减小 1 (2016益阳 )关于抛物线 y x2 2x 1， 下列说法错误的是 ( ) A 开口向上 B 与 x轴有两个重合的交点 C 对称轴是直线 x 1 D 当 x 1时 ， y随 x的增大而减小 2 (2016泰安 )二次函数 y ax2 bx c的图象如图所示 ， 那么一次函 数 y ax b的图象大致是 ( ) D A 3 (2016衢州 )二次函数 y ax2 bx c(a0)图象上部分点的坐标 (x， y) 对应值列表如下： 则该函数图象的对称轴是 ( ) A 直线 x 3 B直线 x 2 C 直线 x 1 D直线 x 0 x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 B 4 ( 导学号 14 952079 ) 如图 ， Rt OAB 的顶点 A( 2 ， 4 ) 在抛物线 y ax 2 上 ， 将 Rt OAB 绕点 O 顺时针旋转 90 ， 得到 OCD ， 边 CD 与该抛物线交于 点 P ， 则点 P 的坐标为 ( ) A ( 2 ， 2 ) B (2 ， 2 ) C ( 2 ， 2) D (2 ， 2 ) 5 ( 2016 凉山州 ) 将抛物线 y x 2 先向下平移 2 个单位 ， 再向右平移 3 个 单位后所得抛物线的解析式为 C y x2 6x 11 6 (导学号 14952080)(2016梧州 )如图所示 ， 抛物线 y ax2 bx c(a0) 与 x轴交于点 A( 2， 0)， B(1， 0)， 直线 x 0.5与此抛物线交于点 C， 与 x 轴交于点 M， 在直线上取点 D， 使 MD MC， 连接 AC， BC， AD， BD， 某 同学根据图象写出下列结论： a b 0； 当 2x0； 四边 形 ACBD是菱形 ； 9a 3b c0.其中正确的是 .(填序号 ) 7 ( 导学号 14 952081 )( 2016 菏泽 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 抛物线 y ax 2 bx 2 过 B( 2 ， 6 ) ， C(2 ， 2 ) 两点 (1) 试求抛物线的解析式； (2) 记抛物线顶点为 D ， 求 BCD 的面积； (3) 若直线 y 1 2 x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BD C( 包括端 点 B ， C ) 部分有两个交点 ， 求 b 的取值范围 解： (1) 将 B ， C 坐标代入 ， 得 4a 2b 2 6 ， 4a 2b 2 2 ， 解得 a 1 2 ， b 1. 抛物线解析式为 y 1 2 x 2 x 2 (2) y 1 2 x 2 x 2 1 2 (x 1) 2 3 2 . 顶点坐标 (1 ， 3 2 ) ， 易求得直线 BC 的解析式为 y x 4 ， 对称轴与 BC 的交点 H(1 ， 3 ) ， S BDC S B DH S DHC 1 2 3 2 3 1 2 3 2 1 3 (3) 由 y 1 2 x b ， y 1 2 x 2 x 2 ， 消去 y 得到 x 2 x 4 2b 0 ， 当 0 时 ， 直线与抛物线相切 ， 即 1 4(4 2b) 0 ， b 15 8 ， 当直线 y 1 2 x b 经过点 C 时 ， b 3 ， 当直线 y 1 2 x b 经过 点 B 时 ， b 5 ， 直线 y 1 2 x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段 BD C( 包括端 点 B ， C ) 部分有两个交点 ， 15 8 b 3